Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές — Ιανουάριος 2025¶
Μεταγραφή από τη φωτογραφία 20260902_204929.jpg.
20260902_204929.jpg¶
Θεωρία Γραφημάτων & Εφαρμογές - Διακριτά Μαθ/κά ΙΙ Ιανουάριος 2025 Όλες οι απαντήσεις πρέπει να είναι σαφείς και να εξηγούνται επαρκώς με βάση τη θεωρία, εκτός από το θέμα 7 όπου απαντάτε 'σωστό' ή 'λάθος'.
Συμπληρώστε τα στοιχεία σας και επιστρέψτε τα θέματα μαζί με την κόλλα σας
1 Εξηγείστε γιατί το υπο-γράφημα \((\{a, b, d\} , \{\{a, b\} , \{a, d\} , \{b, d\}\})\) του G1 δεν είναι δισυνεκτική συνιστώσα ως προς ακμές. 1 μονάδα
[Σχήμα: Μη-κατευθυνόμενο γράφημα G1 με κορυφές a, b, c, d, e, f] [Σχήμα: Μη-κατευθυνόμενο γράφημα G2 με κορυφές a, b, c, d, e, f, με έντονες ακμές]
2 a Στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα G2 βρείτε ένα σύνολο κύκλων χωρίς κοινή ακμή ανά δύο, που η ένωσή τους να είναι το G2. b Βρείτε τους κύκλους του G2 που δεν περιέχουν τις κορυφές a, c, και είναι στοιχειώδεις ως προς το δέντρο επικάλυψης που αποτελείται από τις έντονες ακμές.. 2 μονάδες
3 Στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα G2 βρείτε όλα τα μη-επεκτάσιμα μονοπάτια που δεν περιέχουν την κορυφή f. 1 μονάδα
4 Απλοποιείστε την ισότητα \(\Gamma \oplus (B \oplus A) \oplus A = B \oplus (\Gamma \oplus B)\) ώστε κάθε ένα από τα σύνολα A, B, \(\Gamma\) να εμφανίζεται το πολύ μία φορά σε κάθε παράσταση. Βρείτε σύνολα A, B, \(\Gamma\) για τα οποία η ισότητα να αληθεύει. 1 μονάδα
5 a Στο κατευθυνόμενο γράφημα G4 βρείτε τις ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες. b Εξηγείστε γιατί, στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα G3 δεν υπάρχει κλειστό ίχνος με άκρα τις κορυφές a, b που να περιέχει την κορυφή e. 2 μονάδες
[Σχήμα: Μη-κατευθυνόμενο γράφημα G3 με κορυφές a, b, c, d, e, f] [Σχήμα: Κατευθυνόμενο γράφημα G4 με κορυφές 0, 1, 2, 3]
6 Αποδείξτε ότι: Άν το \(\Gamma\) είναι δισυνεκτικό ως προς κορυφές, δεν θα έχει κομβικό σημείο. 1 μονάδα
7 Για κάθε μία από τις παρακάτω υποθετικές ιδιότητες, βρείτε άν είναι σωστή ή λάθος. Δεν χρειάζεται να εξηγήσετε τις απαντήσεις σας. Το \(\Gamma\) είναι πάντα ένα τυχαίο μη-κατευθυνόμενο γράφημα, με δύο τουλάχιστον κορυφές. Οι ερωτήσεις είναι ισοβαρείς. 1,5 μονάδα
a Η ένωση δύο συνεκτικών γραφημάτων με μία τουλάχιστον κοινή κορυφή, θα είναι συνεκτικό γράφημα b Άν το \(\Gamma\) είναι δισυνεκτικό ως προς κορυφές, θα υπάρχει κύκλος που θα περιέχει όλες τις κορυφές του \(\Gamma\). c Άν το \(\Gamma\) έχει μόνο δύο χορδές ως προς κάποιο δέντρο επικάλυψης, θα περιέχει μόνο δύο κύκλους.
8 Έστω η σχέση \(P = \{ (2, 2) , (0, 0) , (1, 1) \}\) πάνω στο σύνολο των ακέραιων αριθμών. Αποδείξτε ότι η P είναι μεταβατική. 0,5 μονάδα
Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (άλλες παραλλαγές χαρτιού, όχι διπλότυπα της ίδιας σελίδας· βλ. σημειώσεις):
20250123_120959.jpg,473019465_1147182800289091_272858738890314509_n.png,PXL_20260902_1704049153.jpg,rn_image_picker_lib_temp_0b56d9ee-cb8a-4509-b9de-57b8db108a25.jpg,IMG_9716.png(η τελευταία ανήκει στην παραλλαγή του Σεπτεμβρίου 2024)
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2025-01¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1, 2, 3, 5¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν
Δεν λύθηκαν: τα σχήματα G1, G2, G3, G4 δεν έχουν μεταγραφεί με ακμές.
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Αριστερό μέλος: \(\Gamma\oplus(B\oplus A)\oplus A=\Gamma\oplus B\oplus(A\oplus A)=\Gamma\oplus B\). Δεξί μέλος: \(B\oplus(\Gamma\oplus B)=\Gamma\oplus(B\oplus B)=\Gamma\).
Η ισότητα γίνεται \(\Gamma\oplus B=\Gamma\). Εφαρμόζοντας \(\Gamma\oplus\) και στα δύο μέλη: \(B=\varnothing\) (το \(A\) και το \(\Gamma\) είναι τυχαία).
Απλοποίηση: \(\Gamma\oplus B=\Gamma\), ισοδύναμα \(B=\varnothing\). Παράδειγμα: \(A=\{1\}\), \(B=\varnothing\), \(\Gamma=\{2\}\): αριστερά \(\{2\}\oplus\varnothing\oplus\{1\}\oplus\{1\}=\{2\}\), δεξιά \(\varnothing\oplus(\{2\}\oplus\varnothing)=\{2\}\).
Θέμα 6¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Ορισμός που χρησιμοποιούμε: το Γ είναι δισυνεκτικό ως προς κορυφές αν είναι συνεκτικό, έχει ≥3 κορυφές και δύο οποιεσδήποτε κορυφές ανήκουν σε κοινό κύκλο (ισοδύναμα έχουν δύο εσωτερικά ξένα μονοπάτια).
Έστω ότι υπάρχει κομβικό σημείο \(x\). Τότε το \(\Gamma-x\) έχει δύο διαφορετικές συνιστώσες· πάρε \(u,w\) σε διαφορετικές συνιστώσες. Από την υπόθεση υπάρχει κύκλος που περιέχει τα \(u,w\), άρα δύο εσωτερικά ξένα μονοπάτια \(u\)–\(w\). Το \(x\) ανήκει το πολύ σε ένα από αυτά, άρα το άλλο δεν περνά από το \(x\) και συνδέει τα \(u,w\) στο \(\Gamma-x\) — αντίφαση.
(Αν ο ορισμός στο μάθημα είναι «συνεκτικό χωρίς κομβικά σημεία», το ζητούμενο είναι άμεσο.)
Θέμα 7¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
- (a) Σωστό: έστω \(G_1,G_2\) συνεκτικά με κοινή κορυφή \(v\). Κάθε κορυφή τους ενώνεται με το \(v\) με μονοπάτι, άρα όλες ενώνονται μεταξύ τους.
- (b) Λάθος: το \(K_{2,3}\) είναι δισυνεκτικό αλλά δεν έχει κύκλο με 5 κορυφές (επαληθεύτηκε με πρόγραμμα).
- (c) Λάθος: το \(K_4\) χωρίς μία ακμή (4 κορυφές, 5 ακμές) έχει ως προς ένα δέντρο επικάλυψης (3 ακμές) ακριβώς δύο χορδές, αλλά έχει 3 κύκλους: δύο τρίγωνα και ένα τετράπλευρο. Γενικά οι δύο στοιχειώδεις κύκλοι \(C_1,C_2\) δίνουν και τον \(C_1+C_2\), που είναι κύκλος όταν οι \(C_1,C_2\) μοιράζονται μονοπάτι. Επαληθεύτηκε: 3 κύκλοι.
Θέμα 8¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(P=\{(2,2),(0,0),(1,1)\}\). Αν \((x,y)\in P\) και \((y,z)\in P\), τότε από τη μορφή των ζευγών \(x=y\) και \(y=z\), άρα \(x=z\) και \((x,z)=(x,x)\in P\) (όλα τα \((x,x)\) με \(x\) ένα από τα 0, 1, 2 ανήκουν στην P). Άρα η P είναι μεταβατική.