Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές — Ιούλιος 2024¶
Μεταγραφή από τα Screenshot_20240725_131032_Viber.jpg και IMG_20240708_142836.jpg.
Screenshot_20240725_131032_Viber.jpg¶
Όλες οι απαντήσεις πρέπει να είναι σαφείς και να εξηγούνται επαρκώς με βάση τη θεωρία, εκτός από το θέμα 7 όπου απαντάτε 'σωστό' ή 'λάθος'.
Συμπληρώστε τα στοιχεία σας και επιστρέψτε τα θέματα μαζί με την κόλλα σας
1 Στο κατευθυνόμενο γράφημα G1: βρείτε ένα υπογράφημα που να είναι ισχυρά συνεκτικό, αλλά να μήν είναι ισχυρά συνεκτική συνιστώσα. 1,5 μονάδα
[Σχήμα: Κατευθυνόμενο γράφημα G1 με κορυφές 0, 1, 2, 3] [Σχήμα: Μη-κατευθυνόμενο γράφημα G2 με κορυφές a, b, c, d, e]
2 Στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα G2 βρείτε όλα τα δέντρα επικάλυψης. 1,5 μονάδα
3 Στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα G2 βρείτε όλα τα μη-επεκτάσιμα μονοπάτια με άκρο την κορυφή b. 1,5 μονάδα
4 Βρείτε μία παράσταση που να είναι ίση με την \(A \oplus (A \oplus \Gamma) \oplus (B \oplus A)\) , και όπου κάθε ένα από τα σύνολα A, B, \(\Gamma\) να εμφανίζεται το πολύ μία φορά. 1 μονάδα
5 Στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα G3 βρείτε τις δισυνεκτικές συνιστώσες ως προς κορυφές που δεν περιέχουν την κορυφή a. 1,5 μονάδα
[Σχήμα: Μη-κατευθυνόμενο γράφημα G3 με κορυφές a, b, c, d, e, f]
6 Έστω ότι το \(\Gamma\) είναι συνεκτικό, έχει \(n \ge 3\) κορυφές, και έχει n ακμές. Αποδείξτε ότι το \(\Gamma\) θα έχει κύκλο. 1,5 μονάδα
7 Για κάθε μία από τις παρακάτω υποθετικές ιδιότητες, βρείτε άν είναι σωστή ή λάθος. Οι ερωτήσεις είναι ισοβαρείς. Δεν χρειάζεται να εξηγήσετε τις απαντήσεις σας. Το \(\Gamma\) είναι πάντα ένα τυχαίο μη-κατευθυνόμενο γράφημα. 1,5 μονάδα
a Άν το \(\Gamma\) είναι δισυνεκτικό ως προς κορυφές, κάποιος κύκλος του θα περιέχει όλες τις κορυφές του. b Άν το \(\Gamma\) είναι δισυνεκτικό ως προς ακμές, κάθε κορυφή του θα περιέχεται σε κάποιο κύκλο. c Άν το \(\Gamma\) έχει ακριβώς n κορυφές και m ακμές, και \(n = m+1\) , το \(\Gamma\) θα είναι συνεκτικό.
IMG_20240708_142836.jpg¶
1 Στο κατευθυνόμενο γράφημα G1, βρείτε τις ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες. 1,5 μονάδα
[Σχήμα: Κατευθυνόμενο γράφημα G1 με κορυφές 1, 2, 3, 4] [Σχήμα: Μη-κατευθυνόμενο γράφημα G2 με κορυφές a, b, c, d, e]
2 Στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα G2, βρείτε ένα δέντρο επικάλυψης ως προς το οποίο ο κύκλος \((a, \_ b, \_ c, \_ d, \_ a)\) να μην είναι στοιχειώδης.. 1,5 μονάδα
3 Στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα G2 βρείτε όλα τα μη-επεκτάσιμα μονοπάτια με άκρο την κορυφή a, που δεν έχουν μέγιστο μήκος. 1,5 μονάδα
4 Βρείτε μία παράσταση που να είναι ίση με την \(B \oplus (A \oplus A) \oplus (B \oplus A) \oplus A\) , και όπου κάθε ένα από τα σύνολα A, B να εμφανίζεται το πολύ μία φορά. 1 μονάδα
5 Στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα G3 βρείτε ένα υπο-γράφημα που να είναι δισυνεκτικό ως προς ακμές, αλλά να μην είναι δισυνεκτική συνιστώσα ως προς ακμές. 1,5 μονάδα
[Σχήμα: Μη-κατευθυνόμενο γράφημα G3 με κορυφές a, b, c, d, e, f]
6 Έστω ότι στο μη-κατευθυνόμενο γράφημα \(\Gamma\) κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον 2. Αποδείξτε ότι το \(\Gamma\) θα έχει κύκλο. 1,5 μονάδα
7 Για κάθε μία από τις παρακάτω υποθετικές ιδιότητες, βρείτε άν είναι σωστή ή λάθος. Οι ερωτήσεις είναι ισοβαρείς. Δεν χρειάζεται να εξηγήσετε τις απαντήσεις σας. Το \(\Gamma\) είναι πάντα ένα τυχαίο μη-κατευθυνόμενο γράφημα. 1,5 μονάδα
a Δύο διαφορετικές δισυνεκτικές συνιστώσες του \(\Gamma\) ως προς κορυφές, δεν μπορούν να έχουν κοινή ακμή. b Άν το \(\Gamma\) είναι συνεκτικό, κάποιο μονοπάτι του \(\Gamma\) θα περιέχει όλες τις κορυφές του \(\Gamma\) . c Άν το \(\Gamma\) δεν είναι δισυνεκτικό ως προς ακμές, θα υπάρχει κορυφή που δεν περιέχεται σε κύκλο.
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.1-pro-preview, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2024-07¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1, 2, 3, 5 (εκδοχές Α και Β)¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν
Δεν λύθηκαν: τα σχήματα G1, G2, G3 δεν έχουν μεταγραφεί με ακμές.
Θέμα 4, εκδοχή Α¶
Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Λύση 1: \(A\oplus(A\oplus\Gamma)=\Gamma\). Μένει \(\Gamma\oplus(B\oplus A)\).
Απάντηση: \(A\oplus B\oplus\Gamma\).
Λύση 2: Η πράξη της συμμετρικής διαφοράς \(\oplus\) είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική, με ουδέτερο στοιχείο το κενό σύνολο \(\emptyset\), και ικανοποιεί \(X \oplus X = \emptyset\) καθώς και \(X \oplus \emptyset = X\) για κάθε σύνολο \(X\).
Αναδιατάσσοντας τους όρους: $\(A \oplus (A \oplus \Gamma) \oplus (B \oplus A) = (A \oplus A \oplus A) \oplus B \oplus \Gamma\)$
Επειδή \(A \oplus A = \emptyset\), έχουμε: $\((A \oplus A) \oplus A = \emptyset \oplus A = A\)$
Επομένως, η παράσταση απλοποιείται σε: $\(A \oplus B \oplus \Gamma\)$ (ή ισοδύναμα \(A \oplus (B \oplus \Gamma)\)), όπου κάθε σύνολο εμφανίζεται ακριβώς μία φορά.
Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Η πράξη της συμμετρικής διαφοράς \(\oplus\) είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική. Επίσης, για κάθε σύνολο \(X\) ισχύει \(X \oplus X = \emptyset\) και \(X \oplus \emptyset = X\). Αναλύοντας την αρχική παράσταση έχουμε: \(B \oplus (A \oplus A) \oplus (B \oplus A) \oplus A\) Αντικαθιστούμε το \(A \oplus A\) με \(\emptyset\): \(= B \oplus \emptyset \oplus (B \oplus A) \oplus A\) \(= B \oplus (B \oplus A) \oplus A\) Λόγω προσεταιριστικότητας και αντιμεταθετικότητας, αναδιατάσσουμε τους όρους: \(= (B \oplus B) \oplus (A \oplus A)\) \(= \emptyset \oplus \emptyset\) \(= \emptyset\)
Η τελική παράσταση είναι το κενό σύνολο \(\emptyset\). Σε αυτήν, τα σύνολα \(A\) και \(B\) εμφανίζονται 0 φορές, ικανοποιώντας τον περιορισμό της εκφώνησης να εμφανίζονται "το πολύ μία φορά".
Θέμα 4, εκδοχή Β¶
Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Λύση 1: \(B\oplus(A\oplus A)\oplus(B\oplus A)\oplus A\): \(A\oplus A=\varnothing\), μετά \(B\oplus B=\varnothing\) και \(A\oplus A=\varnothing\) (το \(A\) εμφανίζεται δύο φορές ακόμη).
Απάντηση: \(\varnothing\) (καμία εμφάνιση των A, B).
Λύση 2: Η πράξη της συμμετρικής διαφοράς \(\oplus\) είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική, με ουδέτερο στοιχείο το κενό σύνολο \(\emptyset\), και ικανοποιεί \(X \oplus X = \emptyset\) καθώς και \(X \oplus \emptyset = X\) για κάθε σύνολο \(X\).
Αναδιατάσσοντας τους όρους: $\(A \oplus (A \oplus \Gamma) \oplus (B \oplus A) = (A \oplus A \oplus A) \oplus B \oplus \Gamma\)$
Επειδή \(A \oplus A = \emptyset\), έχουμε: $\((A \oplus A) \oplus A = \emptyset \oplus A = A\)$
Επομένως, η παράσταση απλοποιείται σε: $\(A \oplus B \oplus \Gamma\)$ (ή ισοδύναμα \(A \oplus (B \oplus \Gamma)\)), όπου κάθε σύνολο εμφανίζεται ακριβώς μία φορά.
Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Η πράξη της συμμετρικής διαφοράς \(\oplus\) είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική. Επίσης, για κάθε σύνολο \(X\) ισχύει \(X \oplus X = \emptyset\) και \(X \oplus \emptyset = X\). Αναλύοντας την αρχική παράσταση έχουμε: \(B \oplus (A \oplus A) \oplus (B \oplus A) \oplus A\) Αντικαθιστούμε το \(A \oplus A\) με \(\emptyset\): \(= B \oplus \emptyset \oplus (B \oplus A) \oplus A\) \(= B \oplus (B \oplus A) \oplus A\) Λόγω προσεταιριστικότητας και αντιμεταθετικότητας, αναδιατάσσουμε τους όρους: \(= (B \oplus B) \oplus (A \oplus A)\) \(= \emptyset \oplus \emptyset\) \(= \emptyset\)
Η τελική παράσταση είναι το κενό σύνολο \(\emptyset\). Σε αυτήν, τα σύνολα \(A\) και \(B\) εμφανίζονται 0 φορές, ικανοποιώντας τον περιορισμό της εκφώνησης να εμφανίζονται "το πολύ μία φορά".
Θέμα 6, εκδοχή Α¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Συνεκτικό Γ με \(n\ge3\) κορυφές και \(n\) ακμές. Αν ήταν άκυκλο, θα ήταν δέντρο με \(n-1\) ακμές — αντίφαση. Άρα έχει κύκλο.
Θέμα 6, εκδοχή Β¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Κάθε κορυφή έχει βαθμό ≥ 2. Έστω \(P=(v_0,v_1,\dots,v_k)\) μονοπάτι μέγιστου μήκους (υπάρχει, το γράφημα έχει ακμές αφού οι βαθμοί ≥2). Η \(v_0\) έχει ≥2 γείτονες· ένας είναι ο \(v_1\), έστω \(w\) άλλος. Αν \(w\notin P\), το \((w,v_0,\dots,v_k)\) θα ήταν μεγαλύτερο μονοπάτι — αντίφαση. Άρα \(w=v_i\) με \(i\ge2\), και το \((v_0,v_1,\dots,v_i,v_0)\) είναι κύκλος.
Θέμα 7, εκδοχή Α¶
Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Λύση 1: - (a) Λάθος: το \(K_{2,3}\) είναι δισυνεκτικό ως προς κορυφές αλλά δεν έχει κύκλο που να περνά από και τις 5 κορυφές του. - (b) Σωστό, με την προϋπόθεση ότι το γράφημα έχει ≥2 κορυφές: χωρίς γέφυρες, κάθε κορυφή έχει ακμή και η ακμή αυτή ανήκει σε κύκλο. (Για το γράφημα με μία κορυφή η πρόταση θα ήταν λάθος· ο ορισμός των σημειώσεων δεν είναι γνωστός.) - (c) Λάθος: τρίγωνο συν απομονωμένη κορυφή: \(n=4\), \(m=3\), \(n=m+1\), αλλά δεν είναι συνεκτικό.
Λύση 2: a. Λάθος b. Σωστό c. Λάθος
Λύση 3 (τρίτη γνώμη): a) Σωστό. Οι δισυνεκτικές συνιστώσες ως προς κορυφές (blocks) ενός γραφήματος αποτελούν διαμέριση του συνόλου των ακμών του. Επομένως, δύο διαφορετικές δισυνεκτικές συνιστώσες δεν μπορούν να έχουν καμία κοινή ακμή (μπορούν να έχουν το πολύ μία κοινή κορυφή, η οποία ονομάζεται σημείο άρθρωσης).
b) Λάθος. Ένα μονοπάτι που περιέχει όλες τις κορυφές του γραφήματος ονομάζεται μονοπάτι Hamilton. Η συνεκτικότητα από μόνη της δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη μονοπατιού Hamilton. Για παράδειγμα, το γράφημα αστέρας \(K_{1,3}\) είναι συνεκτικό, αλλά δεν διαθέτει κανένα μονοπάτι που να διέρχεται από όλες τις κορυφές του.
c) Λάθος. Ένα γράφημα που δεν είναι δισυνεκτικό ως προς ακμές σημαίνει ότι διαθέτει τουλάχιστον μία γέφυρα (ή δεν είναι συνεκτικό). Παρόλα αυτά, είναι εφικτό κάθε κορυφή του να ανήκει σε κάποιο κύκλο. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε ένα γράφημα που αποτελείται από δύο ξεχωριστά τρίγωνα τα οποία ενώνονται μεταξύ τους με μία ακμή (γέφυρα), το γράφημα αυτό δεν είναι δισυνεκτικό ως προς ακμές, αλλά κάθε κορυφή του ανήκει σε έναν από τους δύο κύκλους.
Θέμα 7, εκδοχή Β¶
Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Λύση 1: - (a) Σωστό: δύο διαφορετικές δισυνεκτικές συνιστώσες ως προς κορυφές έχουν το πολύ μία κοινή κορυφή (κομβικό σημείο), άρα καμία κοινή ακμή. - (b) Λάθος: το αστέρι \(K_{1,3}\) είναι συνεκτικό αλλά κανένα μονοπάτι του δεν περνά από και τα 3 φύλλα. - (c) Λάθος: δύο τρίγωνα ενωμένα με γέφυρα: δεν είναι δισυνεκτικό ως προς ακμές, αλλά κάθε κορυφή ανήκει σε κύκλο. Επαληθεύτηκε η γέφυρα με πρόγραμμα.
Λύση 2: a. Λάθος b. Σωστό c. Λάθος
Λύση 3 (τρίτη γνώμη): a) Σωστό. Οι δισυνεκτικές συνιστώσες ως προς κορυφές (blocks) ενός γραφήματος αποτελούν διαμέριση του συνόλου των ακμών του. Επομένως, δύο διαφορετικές δισυνεκτικές συνιστώσες δεν μπορούν να έχουν καμία κοινή ακμή (μπορούν να έχουν το πολύ μία κοινή κορυφή, η οποία ονομάζεται σημείο άρθρωσης).
b) Λάθος. Ένα μονοπάτι που περιέχει όλες τις κορυφές του γραφήματος ονομάζεται μονοπάτι Hamilton. Η συνεκτικότητα από μόνη της δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη μονοπατιού Hamilton. Για παράδειγμα, το γράφημα αστέρας \(K_{1,3}\) είναι συνεκτικό, αλλά δεν διαθέτει κανένα μονοπάτι που να διέρχεται από όλες τις κορυφές του.
c) Λάθος. Ένα γράφημα που δεν είναι δισυνεκτικό ως προς ακμές σημαίνει ότι διαθέτει τουλάχιστον μία γέφυρα (ή δεν είναι συνεκτικό). Παρόλα αυτά, είναι εφικτό κάθε κορυφή του να ανήκει σε κάποιο κύκλο. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε ένα γράφημα που αποτελείται από δύο ξεχωριστά τρίγωνα τα οποία ενώνονται μεταξύ τους με μία ακμή (γέφυρα), το γράφημα αυτό δεν είναι δισυνεκτικό ως προς ακμές, αλλά κάθε κορυφή του ανήκει σε έναν από τους δύο κύκλους.