Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές — Φεβρουάριος 2021 — Ελεύθερου κειμένου¶
Μεταγραφή από τις φωτογραφίες image0–image6, 47.png, Inked6_LI.jpg, graf.PNG, graffffff.PNG και Screenshot_1.png.
image0.png¶
Ερώτηση: 1 (Ελεύθερου Κειμένου)
Αφαιρέστε μία κορυφή α του παρακάτω γραφήματος Γ , ώστε το γράφημα Γ-α να είναι συνεκτικό και να έχει περισσότερα κομβικά σημεία από το Γ .
[Σχήμα: Μη κατευθυνόμενο γράφημα με κορυφές 1 έως 7. Ακμές: (3, 1), (3, 4), (1, 7), (7, 4), (4, 2), (4, 5), (2, 5), (2, 6), (5, 6).]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
Ερώτηση: 2 (Ελεύθερου Κειμένου)
Έστω Τ το δέντρο επικάλυψης που αποτελείται από τις έντονες ακμές. Να γραφτεί ο κύκλος ( 1 , _ , 2 , _ , 6 , _ , 5 , _ , 4 , _ , 3 , _ , 1 ) ως άθροισμα στοιχειωδών κύκλων ως προς το Τ .
[Σχήμα: Μη κατευθυνόμενο γράφημα με κορυφές 1 έως 6. Έντονες ακμές: (3, 1), (1, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 5). Απλές ακμές: (1, 2), (2, 4), (3, 4), (5, 6).]
image1.png¶
[Συνέχεια Ερώτησης 2]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
Ερώτηση: 3 (Ελεύθερου Κειμένου)
Βρείτε ένα μη-επεκτάσιμο μονοπάτι που να μην είναι μονοπάτι μέγιστου μήκους.
[Σχήμα: Μη κατευθυνόμενο γράφημα με κορυφές 1 έως 6. Ακμές: (3, 1), (1, 4), (4, 5), (1, 2), (1, 5), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (5, 6).]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
image2.png¶
Ερώτηση: 4 (Ελεύθερου Κειμένου)
Βρείτε όλες τις ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες που δεν περιέχουν την κορυφή 4 .
[Σχήμα: Κατευθυνόμενο γράφημα με κορυφές 1, 3, 4, 5. Προσανατολισμένες ακμές: 1 → 3, 3 → 4, 3 → 5, 5 → 1, 5 → 4.]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
Ερώτηση: 5 (Ελεύθερου Κειμένου)
Βρείτε άν υπάρχει κλειστό ίχνος που περιέχει όλες τις κορυφές του γραφήματος.
[Σχήμα: Μη κατευθυνόμενο γράφημα με 7 κορυφές (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Ακμές: (3, 1), (1, 4), (4, 5), (1, 5), (1, 2), (2, 7), (2, 6), (6, 7).]
47.png¶
Ερώτηση: 5 (Ελεύθερου Κειμένου)
Βρείτε άν υπάρχει κλειστό ίχνος που περιέχει όλες τις κορυφές του γραφήματος.
[Σχήμα: Μη κατευθυνόμενο γράφημα με 7 κορυφές (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Ακμές: (3, 1), (3, 4), (1, 7), (7, 4), (1, 5), (4, 5), (5, 2), (2, 6), (5, 6).]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
image3.png¶
[Συνέχεια Ερώτησης 5]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
Ερώτηση: 6 (Ελεύθερου Κειμένου)
Προσθέστε μία ακμή στο γράφημα, ώστε το νέο γράφημα να μην έχει γέφυρες.
[Σχήμα: Μη κατευθυνόμενο γράφημα με κορυφές 1 έως 8. Ακμές: (1, 7), (7, 4), (4, 3), (3, 7), (3, 5), (5, 2), (2, 6), (5, 6), (6, 8).]
Inked6_LI.jpg¶
Ερώτηση: 6 (Ελεύθερου Κειμένου)
Βρείτε το υπο-γράφημα που είναι αποτέλεσμα του αθροίσματος των κύκλων: ( 1 , {1, 2} , 2 , {2, 6} , 6 , {6, 5} , 5 , {5, 1} , 1 ) , ( 1 , {1, 2} , 2 , {2, 5} , 5 , {5, 4} , 4 , {4, 1} , 1 ) , ( 1 , {1, 5} , 5 , {5, 4} , 4 , {4, 3} , 3 , {3, 1} , 1 ) .
[Σχήμα: Μη κατευθυνόμενο γράφημα με 6 κορυφές (1, 2, 3, 4, 5, 6). Ακμές: (1, 2), (2, 6), (1, 6), (6, 5), (1, 3), (3, 4), (1, 4), (4, 5), (1, 5), (2, 5).]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
image4.png¶
[Η φωτογραφία επαναλαμβάνει την Ερώτηση 6 της image3.png, με το ίδιο κείμενο και σχήμα.]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
Ερώτηση: 7 (Ελεύθερου Κειμένου)
Βρείτε μία κορυφή u, ώστε να μην υπάρχει μη-επεκτάσιμο μονοπάτι με άκρο την u .
[Σχήμα: Μη κατευθυνόμενο γράφημα με 7 κορυφές (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Ακμές: (1, 7), (1, 2), (7, 2), (2, 3), (2, 6), (3, 6), (3, 5), (5, 6), (4, 5).]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
image5.png¶
[Η φωτογραφία επαναλαμβάνει την Ερώτηση 7 της image4.png, με το ίδιο κείμενο και σχήμα.]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
image6.png¶
[Συνέχεια Ερώτησης 6]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
Ερώτηση: 7 (Ελεύθερου Κειμένου)
Βρείτε ένα ισχυρά συνεκτικό υπογράφημα του γραφήματος, με δύο τουλάχιστον κορυφές, που να μην είναι ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του.
[Σχήμα: Κατευθυνόμενο γράφημα με κορυφές 1, 3, 4, 5. Προσανατολισμένες ακμές: 1 → 3, 4 → 1, 5 → 1, 3 → 4, 4 → 5.]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
graf.PNG¶
[Ο αριθμός ερώτησης δεν φαίνεται στη φωτογραφία.]
Βρείτε όλες τις δισυνεκτικές συνιστώσες ως προς ακμές που περιέχουν την κορυφή 6 .
[Σχήμα: Μη κατευθυνόμενο γράφημα με 7 κορυφές (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Ακμές: (1, 3), (1, 5), (3, 4), (4, 5), (4, 7), (2, 5), (2, 6), (5, 6).]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
graffffff.PNG¶
Ερώτηση: 6 (Ελεύθερου Κειμένου)
Βρείτε όλα τα υπο-γραφήματα που είναι ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες.
[Σχήμα: Κατευθυνόμενο γράφημα με κορυφές 1, 3, 4, 5. Προσανατολισμένες ακμές: 1 → 3, 4 → 1, 5 → 1, 3 → 4, 4 → 5.]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
Screenshot_1.png¶
[Ο αριθμός ερώτησης δεν φαίνεται στη φωτογραφία.]
Βρείτε μία κορυφή u, ώστε να μην υπάρχει μη-επεκτάσιμο μονοπάτι με άκρο την u .
[Σχήμα: Μη κατευθυνόμενο γράφημα με κορυφές 2, 4, 5, 6, 7 (δεν φαίνονται κορυφές 1 και 3). Ακμές: (4, 7), (4, 5), (7, 5), (7, 6), (5, 6), (2, 5), (2, 6).]
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.1-pro-preview, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2021-02¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1 (image0.png)¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Κομβικά σημεία του Γ (ακμές 31, 34, 17, 74, 42, 45, 25, 26, 56): μόνο η 4 (η αφαίρεσή της χωρίζει το {1,3,7} από το {2,5,6}). Πλήθος: 1.
Αφαιρώντας την \(α=3\) μένει το συνεκτικό γράφημα με ακμές 17, 74, 42, 45, 25, 26, 56. Εκεί οι 7 (η 1 κρέμεται από αυτήν) και 4 (χωρίζει το {1,7} από το {2,5,6}) είναι κομβικά: 2 > 1.
Απάντηση: \(α=3\) (επίσης κάνουν δουλειά οι \(α=7\), \(2\), \(5\)· η \(α=1\) όχι, μένει 1 κομβικό). Επαληθεύτηκε με πρόγραμμα.
Θέμα 2 (image0–image1)¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
T = {31, 14, 25, 26, 45}. Χορδές (ακμές εκτός T): 12, 24, 34, 56. Ο κύκλος \((1,2,6,5,4,3,1)\) έχει ακμές 12, 26, 65, 54, 43, 31, άρα οι χορδές του είναι 12, 34, 56. Κάθε κύκλος είναι άθροισμα των στοιχειωδών κύκλων των χορδών του: - \(C(12)\): 1–2–5–4–1 (ακμές 12, 25, 54, 41) - \(C(56)\): 5–6–2–5 (ακμές 56, 62, 25) - \(C(34)\): 3–4–1–3 (ακμές 34, 41, 13)
Άθροισμα (συμμετρική διαφορά): οι 25 (στον \(C(12)\) και \(C(56)\)) και 14 (στον \(C(12)\) και \(C(34)\)) φεύγουν· μένουν 12, 54, 56, 62, 34, 13 = ο ζητούμενος κύκλος.
Απάντηση: \((1,\dots,1)=C(12)+C(56)+C(34)\).
Θέμα 3 (image1.png)¶
Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Λύση 1: Μη-επεκτάσιμο μονοπάτι: κανένα άκρο του δεν έχει γείτονα εκτός μονοπατιού. Γράφημα με ακμές 31, 14, 45, 12, 15, 25, 26, 34, 56 (6 κορυφές· μέγιστο μήκος 5, π.χ. 3–1–2–6–5–4).
Το \(3-1-5-4\) (μήκος 3): ο 3 έχει γείτονες 1, 4 και ο 4 έχει γείτονες 1, 5, 3 — όλοι ήδη στο μονοπάτι· άρα μη-επεκτάσιμο. Έχει μήκος 3 < 5.
Απάντηση: το μονοπάτι \((3,1,5,4)\). (Επαληθεύτηκε με πρόγραμμα· άλλο: \(2-1-5-6\).)
Λύση 2: Απάντηση: Το μονοπάτι \(P = (6, 2, 1, 4, 5)\) (ή αντίστροφα \(5 - 4 - 1 - 2 - 6\), ή \(6 - 5 - 4 - 1 - 2\)).
Αιτιολόγηση: 1. Εγκυρότητα απλού μονοπατιού: Οι ακμές \((6, 2), (2, 1), (1, 4), (4, 5)\) ανήκουν όλες στο γράφημα και οι κορυφές \(\{6, 2, 1, 4, 5\}\) είναι διακριτές. 2. Μη-επεκτασιμότητα (maximal): - Το άκρο \(6\) έχει γείτονες \(\{2, 5\}\). Και οι δύο ανήκουν ήδη στο μονοπάτι \(P\), άρα το μονοπάτι δεν μπορεί να επεκταθεί από το \(6\). - Το άκρο \(5\) έχει γείτονες \(\{1, 2, 4, 6\}\). Όλοι ανήκουν ήδη στο \(P\), άρα το μονοπάτι δεν μπορεί να επεκταθεί από το \(5\). - Συνεπώς, το \(P\) είναι μη-επεκτάσιμο μονοπάτι. 3. Όχι μέγιστου μήκους: Το μήκος του \(P\) είναι 4 (περιέχει 5 κορυφές), ενώ το μέγιστο δυνατό μήκος στο γράφημα είναι 5 (μονοπάτι Hamilton με 6 κορυφές), όπως για παράδειγμα το μονοπάτι \(3 - 4 - 5 - 1 - 2 - 6\).
Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Ένα μονοπάτι είναι μη-επεκτάσιμο αν τα άκρα του δεν έχουν γειτονικές κορυφές που να μην ανήκουν ήδη στο μονοπάτι. Το μέγιστο μήκος μονοπατιού στο συγκεκριμένο γράφημα είναι 5 ακμές (π.χ. το μονοπάτι \(3 - 4 - 1 - 2 - 6 - 5\) που διέρχεται από όλες τις κορυφές). Αναζητούμε ένα μη-επεκτάσιμο μονοπάτι με μήκος μικρότερο του 5.
Θεωρούμε το μονοπάτι \(P = 3 - 4 - 5 - 2 - 1\). Το μήκος του είναι 4 ακμές και περιλαμβάνει τις κορυφές \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\). Ελέγχουμε τα άκρα του (κορυφές 3 και 1): - Οι γείτονες της κορυφής 3 στο γράφημα είναι οι \(\{1, 4\}\), οι οποίοι ανήκουν ήδη στο \(P\). - Οι γείτονες της κορυφής 1 στο γράφημα είναι οι \(\{2, 3, 4, 5\}\), οι οποίοι επίσης ανήκουν όλοι στο \(P\).
Επομένως, το μονοπάτι \(3 - 4 - 5 - 2 - 1\) δεν μπορεί να επεκταθεί από κανένα άκρο του και αποτελεί ένα μη-επεκτάσιμο μονοπάτι που δεν είναι μέγιστου μήκους.
Θέμα 4 (image2.png)¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Ακμές: 1→3, 3→4, 3→5, 5→1, 5→4. Ο 4 δεν έχει εξερχόμενες ακμές, άρα είναι μόνος του ισχυρά συνεκτική συνιστώσα. Οι 1→3→5→1 σχηματίζουν κατευθυνόμενο κύκλο.
Απάντηση: η μόνη ισχυρά συνεκτική συνιστώσα χωρίς την 4 είναι το υπογράφημα στις κορυφές {1,3,5} με ακμές 1→3, 3→5, 5→1.
Θέμα 5, εκδοχή image2.png¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Ακμές: 31, 14, 45, 15, 12, 27, 26, 67. Η κορυφή 3 έχει βαθμό 1. Ένα κλειστό ίχνος που την περιέχει θα χρησιμοποιούσε δύο διαφορετικές ακμές της — αδύνατο.
Απάντηση: όχι, δεν υπάρχει κλειστό ίχνος που να περιέχει όλες τις κορυφές.
Θέμα 5, εκδοχή 47.png¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Ακμές: 31, 34, 17, 74, 15, 45, 52, 26, 56. Οι 3 και 7 έχουν βαθμό 2, άρα (αφού ανήκουν στο ίχνος) και οι δύο ακμές τους χρησιμοποιούνται: 31, 34, 17, 74. Σε κλειστό ίχνος κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό χρήσης. Η 1 έχει ήδη 2 (31, 17), άρα η 15 δεν χρησιμοποιείται· ομοίως η 4 έχει 2 (34, 74), άρα δεν χρησιμοποιείται η 45. Τότε το \(\{1,3,4,7\}\) αποκόπτεται από τις 5, 2, 6 (οι μόνες ακμές προς τα εκεί είναι 15, 45). Το ίχνος δεν μπορεί να είναι συνεκτικό και να περιέχει όλες τις κορυφές.
Απάντηση: όχι. (Επαληθεύτηκε με εξαντλητικό έλεγχο.)
Θέμα 6 (image3.png): ακμή χωρίς γέφυρες¶
Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Λύση 1: Ακμές: 17, 74, 43, 37, 35, 52, 26, 56, 68 (κορυφές 1–8). Γέφυρες: {1,7}, {3,5}, {6,8} (τα τρίγωνα 7-4-3 και 5-2-6 έχουν ακμές σε κύκλους). Προσθέτουμε ακμή που κλείνει κύκλο διά μέσου και των τριών: τα 1 και 8 συνδέονται με το μονοπάτι \(1-7-3-5-6-8\), που περιέχει και τις τρεις γέφυρες.
Απάντηση: προσθέτουμε την ακμή {1,8}. Επαληθεύτηκε: το νέο γράφημα δεν έχει γέφυρες.
Λύση 2: Απάντηση: Προσθέτουμε την ακμή \((1, 8)\).
Αιτιολόγηση: 1. Οι γέφυρες του αρχικού γραφήματος είναι οι ακμές \((1, 7)\), \((3, 5)\) και \((6, 8)\) (καθώς οι κορυφές \(1\) και \(8\) είναι κρεμάμενες βαθμού 1, ενώ η \((3, 5)\) συνδέει τα δύο τρίγωνα/μπλοκ \(\{7, 4, 3\}\) και \(\{5, 2, 6\}\)). 2. Το μονοπάτι μεταξύ των κορυφών \(1\) και \(8\) στο γράφημα είναι: $\(1 - 7 - 3 - 5 - 6 - 8\)$ το οποίο περιέχει και τις τρεις γέφυρες του γραφήματος. 3. Προσθέτοντας την ακμή \((1, 8)\), σχηματίζεται ο κύκλος \(1 - 7 - 3 - 5 - 6 - 8 - 1\). Επειδή καμία ακμή που ανήκει σε κύκλο δεν μπορεί να είναι γέφυρα, και οι τρεις προηγούμενες γέφυρες παύουν να είναι γέφυρες. 4. Οι υπόλοιπες ακμές ανήκουν ήδη στους κύκλους \(7-4-3-7\) και \(5-2-6-5\), οπότε το νέο γράφημα δεν περιέχει καμία γέφυρα (είναι 2-ακμο-συνεκτικό).
Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Το άθροισμα (συμμετρική διαφορά) των κύκλων \(C_1 \oplus C_2 \oplus C_3\) αποτελείται από τις ακμές που εμφανίζονται περιττό αριθμό φορών στο σύνολο των κύκλων. Καταγράφουμε τις ακμές κάθε κύκλου: - \(E(C_1) = \{(1,2), (2,6), (6,5), (1,5)\}\) - \(E(C_2) = \{(1,2), (2,5), (4,5), (1,4)\}\) - \(E(C_3) = \{(1,5), (4,5), (3,4), (1,3)\}\)
Μετράμε τις εμφανίσεις κάθε ακμής: - Οι ακμές \((1,2)\), \((1,5)\) και \((4,5)\) εμφανίζονται από 2 φορές η καθεμία (άρτιος αριθμός), άρα διαγράφονται. - Οι ακμές \((2,6)\), \((6,5)\), \((2,5)\), \((1,4)\), \((3,4)\) και \((1,3)\) εμφανίζονται από 1 φορά η καθεμία (περιττός αριθμός), άρα παραμένουν στο τελικό υπογράφημα.
Το υπογράφημα που προκύπτει έχει σύνολο κορυφών \(V' = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) και σύνολο ακμών \(E' = \{(1,3), (3,4), (1,4), (2,5), (5,6), (2,6)\}\). Οπτικά, το υπογράφημα αυτό αποτελείται από δύο ξένους κύκλους: τον \(1-3-4-1\) και τον \(2-5-6-2\).
Θέμα 6 (Inked6_LI.jpg / image4.png): άθροισμα κύκλων¶
Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Λύση 1: Ακμές των κύκλων: \(C_1\): 12, 26, 65, 51· \(C_2\): 12, 25, 54, 41· \(C_3\): 15, 54, 43, 31. Οι 12, 15 και 45 εμφανίζονται από δύο φορές και φεύγουν. Μένουν 26, 56, 25, 14, 34, 13.
Απάντηση: υπογράφημα με ακμές {2,6}, {5,6}, {2,5}, {1,4}, {3,4}, {1,3}: δύο ξένα τρίγωνα (2,5,6) και (1,3,4).
Λύση 2: Απάντηση: Προσθέτουμε την ακμή \((1, 8)\).
Αιτιολόγηση: 1. Οι γέφυρες του αρχικού γραφήματος είναι οι ακμές \((1, 7)\), \((3, 5)\) και \((6, 8)\) (καθώς οι κορυφές \(1\) και \(8\) είναι κρεμάμενες βαθμού 1, ενώ η \((3, 5)\) συνδέει τα δύο τρίγωνα/μπλοκ \(\{7, 4, 3\}\) και \(\{5, 2, 6\}\)). 2. Το μονοπάτι μεταξύ των κορυφών \(1\) και \(8\) στο γράφημα είναι: $\(1 - 7 - 3 - 5 - 6 - 8\)$ το οποίο περιέχει και τις τρεις γέφυρες του γραφήματος. 3. Προσθέτοντας την ακμή \((1, 8)\), σχηματίζεται ο κύκλος \(1 - 7 - 3 - 5 - 6 - 8 - 1\). Επειδή καμία ακμή που ανήκει σε κύκλο δεν μπορεί να είναι γέφυρα, και οι τρεις προηγούμενες γέφυρες παύουν να είναι γέφυρες. 4. Οι υπόλοιπες ακμές ανήκουν ήδη στους κύκλους \(7-4-3-7\) και \(5-2-6-5\), οπότε το νέο γράφημα δεν περιέχει καμία γέφυρα (είναι 2-ακμο-συνεκτικό).
Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Το άθροισμα (συμμετρική διαφορά) των κύκλων \(C_1 \oplus C_2 \oplus C_3\) αποτελείται από τις ακμές που εμφανίζονται περιττό αριθμό φορών στο σύνολο των κύκλων. Καταγράφουμε τις ακμές κάθε κύκλου: - \(E(C_1) = \{(1,2), (2,6), (6,5), (1,5)\}\) - \(E(C_2) = \{(1,2), (2,5), (4,5), (1,4)\}\) - \(E(C_3) = \{(1,5), (4,5), (3,4), (1,3)\}\)
Μετράμε τις εμφανίσεις κάθε ακμής: - Οι ακμές \((1,2)\), \((1,5)\) και \((4,5)\) εμφανίζονται από 2 φορές η καθεμία (άρτιος αριθμός), άρα διαγράφονται. - Οι ακμές \((2,6)\), \((6,5)\), \((2,5)\), \((1,4)\), \((3,4)\) και \((1,3)\) εμφανίζονται από 1 φορά η καθεμία (περιττός αριθμός), άρα παραμένουν στο τελικό υπογράφημα.
Το υπογράφημα που προκύπτει έχει σύνολο κορυφών \(V' = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) και σύνολο ακμών \(E' = \{(1,3), (3,4), (1,4), (2,5), (5,6), (2,6)\}\). Οπτικά, το υπογράφημα αυτό αποτελείται από δύο ξένους κύκλους: τον \(1-3-4-1\) και τον \(2-5-6-2\).
Θέμα 7 (image4/5): κορυφή χωρίς μη-επεκτάσιμο μονοπάτι με άκρο της¶
Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Λύση 1: Ακμές: 17, 12, 72, 23, 26, 36, 35, 56, 45. Πάρτε \(u=2\) (γείτονες 1, 7, 3, 6). Αν ένα μονοπάτι με άκρο το 2 ήταν μη-επεκτάσιμο, θα περιείχε και τους 4 γείτονες. Αν πρώτη ακμή είναι 2–1 ή 2–7, το μονοπάτι συνεχίζει μόνο μέσα στο \(\{1,7\}\) και τελειώνει, χωρίς 3, 6. Αν είναι 2–3 ή 2–6, δεν μπορεί να ξαναπεράσει στο {1,7} (συνδέεται με τον υπόλοιπο γράφημα μόνο μέσω της 2). Σε κάθε περίπτωση λείπει γείτονας.
Απάντηση: \(u=2\) (και η \(u=5\) κάνει: η 4 είναι κρεμασμένη στη 5, άρα μονοπάτι που ξεκινά από 5 και είναι μη-επεκτάσιμο στη 5 θα έπρεπε να περιέχει την 4, δηλ. να είναι το 5–4, όπου όμως οι 3, 6 λείπουν). Επαληθεύτηκε με πρόγραμμα.
Λύση 2: Απάντηση: Η κορυφή \(u = 2\) (ή εναλλακτικά η \(u = 5\)).
Αιτιολόγηση: 1. Ένα μονοπάτι \(P\) είναι μη-επεκτάσιμο (maximal) αν και μόνο αν κανένα από τα δύο άκρα του δεν μπορεί να επεκταθεί, δηλαδή όλοι οι γείτονες των δύο άκρων του ανήκουν ήδη στο μονοπάτι \(P\). 2. Αν μια κορυφή \(u\) είναι κομβικό σημείο (cut vertex), τότε το γράφημα \(G - u\) έχει τουλάχιστον δύο συνεκτικές συνιστώσες, και η \(u\) έχει τουλάχιστον έναν γείτονα σε καθεμία από αυτές. 3. Σε οποιοδήποτε απλό μονοπάτι \(P\) που έχει ως άκρο την \(u\), όλες οι υπόλοιπες κορυφές του \(P \setminus \{u\}\) πρέπει υποχρεωτικά να ανήκουν σε μία μόνο συνεκτική συνιστώσα του \(G - u\). 4. Κατά συνέπεια, οι γείτονες της \(u\) που βρίσκονται στις υπόλοιπες συνιστώσες δεν μπορούν να περιέχονται στο \(P\). Επομένως, το μονοπάτι \(P\) μπορεί πάντα να επεκταθεί από το άκρο \(u\) προς έναν τέτοιο γείτονα. 5. Άρα, κανένα μονοπάτι με άκρο ένα κομβικό σημείο δεν μπορεί να είναι μη-επεκτάσιμο. 6. Στο δοθέν γράφημα, η κορυφή \(u = 2\) είναι κομβικό σημείο (η αφαίρεσή της αποσυνδέει το \(\{1, 7\}\) από το \(\{3, 4, 5, 6\}\)), όπως επίσης και η κορυφή \(u = 5\) (η αφαίρεσή της απομονώνει την κορυφή \(4\)). Επομένως, για την κορυφή \(u = 2\) (ή \(u = 5\)) δεν υπάρχει κανένα μη-επεκτάσιμο μονοπάτι με άκρο την \(u\).
Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Για να είναι ένα υπογράφημα ισχυρά συνεκτικό, πρέπει να υπάρχει κατευθυνόμενο μονοπάτι μεταξύ κάθε ζεύγους κορυφών του. Στο δοσμένο γράφημα, παρατηρούμε τον κύκλο \(1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1\). Το υπογράφημα που ορίζεται από τις κορυφές \(V' = \{1, 3, 4\}\) και τις κατευθυνόμενες ακμές \(E' = \{(1,3), (3,4), (4,1)\}\) είναι ισχυρά συνεκτικό (αφού είναι κύκλος) και έχει 3 κορυφές (ικανοποιεί τον περιορισμό για τουλάχιστον δύο).
Ωστόσο, το υπογράφημα αυτό δεν αποτελεί ισχυρά συνεκτική συνιστώσα (δηλαδή μέγιστο ισχυρά συνεκτικό υπογράφημα), διότι περιέχεται αυστηρά στον μεγαλύτερο κύκλο \(1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 1\) που καλύπτει όλες τις κορυφές του γραφήματος, καθιστώντας ολόκληρο το γράφημα την μοναδική ισχυρά συνεκτική συνιστώσα.
Θέμα 7 (image6.png): ισχυρά συνεκτικό υπογράφημα που δεν είναι συνιστώσα¶
Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Λύση 1: Ακμές: 1→3, 4→1, 5→1, 3→4, 4→5. Υπάρχει κατευθυνόμενος περίπατος 1→3→4→5→1, άρα όλο το γράφημα είναι ισχυρά συνεκτικό (η μοναδική συνιστώσα). Ένα ισχυρά συνεκτικό υπογράφημα που δεν είναι η συνιστώσα είναι ένα γνήσιο υπογράφημα με ≥2 κορυφές, π.χ. ο κύκλος 1→3→4→1.
Απάντηση: το υπογράφημα στις {1,3,4} με ακμές 1→3, 3→4, 4→1 (δεν είναι μεγιστικό: η συνιστώσα έχει και την 5).
Λύση 2: Απάντηση: Η κορυφή \(u = 2\) (ή εναλλακτικά η \(u = 5\)).
Αιτιολόγηση: 1. Ένα μονοπάτι \(P\) είναι μη-επεκτάσιμο (maximal) αν και μόνο αν κανένα από τα δύο άκρα του δεν μπορεί να επεκταθεί, δηλαδή όλοι οι γείτονες των δύο άκρων του ανήκουν ήδη στο μονοπάτι \(P\). 2. Αν μια κορυφή \(u\) είναι κομβικό σημείο (cut vertex), τότε το γράφημα \(G - u\) έχει τουλάχιστον δύο συνεκτικές συνιστώσες, και η \(u\) έχει τουλάχιστον έναν γείτονα σε καθεμία από αυτές. 3. Σε οποιοδήποτε απλό μονοπάτι \(P\) που έχει ως άκρο την \(u\), όλες οι υπόλοιπες κορυφές του \(P \setminus \{u\}\) πρέπει υποχρεωτικά να ανήκουν σε μία μόνο συνεκτική συνιστώσα του \(G - u\). 4. Κατά συνέπεια, οι γείτονες της \(u\) που βρίσκονται στις υπόλοιπες συνιστώσες δεν μπορούν να περιέχονται στο \(P\). Επομένως, το μονοπάτι \(P\) μπορεί πάντα να επεκταθεί από το άκρο \(u\) προς έναν τέτοιο γείτονα. 5. Άρα, κανένα μονοπάτι με άκρο ένα κομβικό σημείο δεν μπορεί να είναι μη-επεκτάσιμο. 6. Στο δοθέν γράφημα, η κορυφή \(u = 2\) είναι κομβικό σημείο (η αφαίρεσή της αποσυνδέει το \(\{1, 7\}\) από το \(\{3, 4, 5, 6\}\)), όπως επίσης και η κορυφή \(u = 5\) (η αφαίρεσή της απομονώνει την κορυφή \(4\)). Επομένως, για την κορυφή \(u = 2\) (ή \(u = 5\)) δεν υπάρχει κανένα μη-επεκτάσιμο μονοπάτι με άκρο την \(u\).
Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Για να είναι ένα υπογράφημα ισχυρά συνεκτικό, πρέπει να υπάρχει κατευθυνόμενο μονοπάτι μεταξύ κάθε ζεύγους κορυφών του. Στο δοσμένο γράφημα, παρατηρούμε τον κύκλο \(1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1\). Το υπογράφημα που ορίζεται από τις κορυφές \(V' = \{1, 3, 4\}\) και τις κατευθυνόμενες ακμές \(E' = \{(1,3), (3,4), (4,1)\}\) είναι ισχυρά συνεκτικό (αφού είναι κύκλος) και έχει 3 κορυφές (ικανοποιεί τον περιορισμό για τουλάχιστον δύο).
Ωστόσο, το υπογράφημα αυτό δεν αποτελεί ισχυρά συνεκτική συνιστώσα (δηλαδή μέγιστο ισχυρά συνεκτικό υπογράφημα), διότι περιέχεται αυστηρά στον μεγαλύτερο κύκλο \(1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 1\) που καλύπτει όλες τις κορυφές του γραφήματος, καθιστώντας ολόκληρο το γράφημα την μοναδική ισχυρά συνεκτική συνιστώσα.
Θέμα 6 (graffffff.PNG): ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες¶
Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Λύση 1: Το ίδιο γράφημα (1→3, 4→1, 5→1, 3→4, 4→5) είναι ισχυρά συνεκτικό (κύκλος 1→3→4→5→1 περνά από όλες τις κορυφές).
Απάντηση: μία μόνο συνιστώσα, ολόκληρο το γράφημα με κορυφές {1,3,4,5}.
Λύση 2: Απάντηση: Προσθέτουμε την ακμή \((1, 8)\).
Αιτιολόγηση: 1. Οι γέφυρες του αρχικού γραφήματος είναι οι ακμές \((1, 7)\), \((3, 5)\) και \((6, 8)\) (καθώς οι κορυφές \(1\) και \(8\) είναι κρεμάμενες βαθμού 1, ενώ η \((3, 5)\) συνδέει τα δύο τρίγωνα/μπλοκ \(\{7, 4, 3\}\) και \(\{5, 2, 6\}\)). 2. Το μονοπάτι μεταξύ των κορυφών \(1\) και \(8\) στο γράφημα είναι: $\(1 - 7 - 3 - 5 - 6 - 8\)$ το οποίο περιέχει και τις τρεις γέφυρες του γραφήματος. 3. Προσθέτοντας την ακμή \((1, 8)\), σχηματίζεται ο κύκλος \(1 - 7 - 3 - 5 - 6 - 8 - 1\). Επειδή καμία ακμή που ανήκει σε κύκλο δεν μπορεί να είναι γέφυρα, και οι τρεις προηγούμενες γέφυρες παύουν να είναι γέφυρες. 4. Οι υπόλοιπες ακμές ανήκουν ήδη στους κύκλους \(7-4-3-7\) και \(5-2-6-5\), οπότε το νέο γράφημα δεν περιέχει καμία γέφυρα (είναι 2-ακμο-συνεκτικό).
Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Το άθροισμα (συμμετρική διαφορά) των κύκλων \(C_1 \oplus C_2 \oplus C_3\) αποτελείται από τις ακμές που εμφανίζονται περιττό αριθμό φορών στο σύνολο των κύκλων. Καταγράφουμε τις ακμές κάθε κύκλου: - \(E(C_1) = \{(1,2), (2,6), (6,5), (1,5)\}\) - \(E(C_2) = \{(1,2), (2,5), (4,5), (1,4)\}\) - \(E(C_3) = \{(1,5), (4,5), (3,4), (1,3)\}\)
Μετράμε τις εμφανίσεις κάθε ακμής: - Οι ακμές \((1,2)\), \((1,5)\) και \((4,5)\) εμφανίζονται από 2 φορές η καθεμία (άρτιος αριθμός), άρα διαγράφονται. - Οι ακμές \((2,6)\), \((6,5)\), \((2,5)\), \((1,4)\), \((3,4)\) και \((1,3)\) εμφανίζονται από 1 φορά η καθεμία (περιττός αριθμός), άρα παραμένουν στο τελικό υπογράφημα.
Το υπογράφημα που προκύπτει έχει σύνολο κορυφών \(V' = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) και σύνολο ακμών \(E' = \{(1,3), (3,4), (1,4), (2,5), (5,6), (2,6)\}\). Οπτικά, το υπογράφημα αυτό αποτελείται από δύο ξένους κύκλους: τον \(1-3-4-1\) και τον \(2-5-6-2\).
Θέμα (graf.PNG, αρίθμηση άγνωστη): δισυνεκτικές συνιστώσες ως προς ακμές που περιέχουν την 6¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Ακμές: 13, 15, 34, 45, 47, 25, 26, 56. Μέθοδος: βρίσκουμε τις γέφυρες· οι δισυνεκτικές συνιστώσες ως προς ακμές είναι οι συνεκτικές συνιστώσες του γραφήματος χωρίς τις γέφυρες. - Η {4,7} είναι γέφυρα (η 7 έχει βαθμό 1). - Οι υπόλοιπες ακμές βρίσκονται σε κύκλους: 1-3-4-5-1 και 2-5-6-2. Άρα καμία δεν είναι γέφυρα.
Χωρίς τη γέφυρα μένουν οι συνιστώσες \(\{7\}\) και \(\{1,2,3,4,5,6\}\) (οι δύο κύκλοι μοιράζονται την κορυφή 5, άρα ενώνονται). Η 6 ανήκει στη δεύτερη.
Απάντηση: το υπογράφημα στις κορυφές {1,2,3,4,5,6} με ακμές 13, 15, 34, 45, 25, 26, 56. Σημείωση: αν στις σημειώσεις ο ορισμός είναι διαφορετικός (π.χ. «κοινός κύκλος» όπως στις συνιστώσες ως προς κορυφές) το αποτέλεσμα θα ήταν το τρίγωνο {2,5,6}· η απάντηση παραπάνω ακολουθεί τον ορισμό «χωρίς γέφυρες» (επαληθεύτηκε η μοναδική γέφυρα με πρόγραμμα).
Θέμα (Screenshot_1.png)¶
Αξιοπιστία: δεν λύθηκε
Δεν λύθηκε: το σχήμα είναι κομμένο (λείπουν οι κορυφές 1 και 3 και ενδεχομένως ακμές)· με τις ορατές ακμές κάθε κορυφή είναι άκρο κάποιου μη-επεκτάσιμου μονοπατιού, άρα η απάντηση εξαρτάται από τα κομμένα τμήματα.