Γενικά Μαθηματικά ΙΙ — Εξεταστική Ιουνίου 2024¶

[Λείπει από τη φωτογραφία: η κεφαλίδα του φύλλου πάνω από τη γραμμή «ΑΙΘΟΥΣΑ».]

ΑΙΘΟΥΣΑ: ΣΤΗΛΗ: ΒΑΘΜΟΣ:

Οδηγίες/Επεξηγήσεις

Στο διαγώνισμα υπάρχουν 5 θέματα. Θα πρέπει να επιλέξετε τα τέσσερα (4) από τα πέντε (5) θέματα. Όλα τα θέματα είναι βαθμολογικά ισοδύναμα. Οι λύσεις θα πρέπει να απαντηθούν στο φύλλο που θα σας δοθεί.

Καλή Επιτυχία!

Θ1¶

Α. (1) Είναι γνωστό ότι ο ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) σε ένα σημείο \((x_0,y_0)\) του πεδίου ορισμού της δίνεται από τον κάτωθι ορισμό:

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=l \Leftrightarrow (\forall\varepsilon>0)(\exists\delta_1(\varepsilon)>0)(\exists\delta_2(\varepsilon)>0)\ \text{τ.ω}\]

\[(|x-x_0|<\delta_1)\ \text{και}\ (|y-y_0|<\delta_2)\longrightarrow(|f(x,y)-l|<\varepsilon).\qquad(1)\]

Έστω η συνάρτηση

\[f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{3xy^2}{x^2+y^2}, & \text{αν } (x,y)\neq(0,0)\\[2mm] 0 & \text{αν } (x,y)\neq(0,0).\end{cases}\]

[sic: στο πρωτότυπο και οι δύο περιπτώσεις γράφουν «αν (x, y) ≠ (0, 0)».]

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό (1), για να είναι η συνάρτηση \(f\) συνεχής στο σημείο \(O(0,0)\) θα πρέπει:

(i) \(\delta_1\le\dfrac{\varepsilon}{3}\), (ii) \(\delta_2\le\dfrac{\varepsilon}{3}\), (iii) \(\delta_1\le\dfrac{\varepsilon}{6}\) και \(\delta_2\le\dfrac{\varepsilon}{6}\), (iv) \(\delta_1+\delta_2\le\varepsilon\).

Β. (1.5) Χρησιμοποιήστε τον ορισμό μέσω του ορίου για να επιβεβαιώσετε τις ακόλουθες σχέσεις για τις μερικές παραγώγους:

\[\frac{\partial}{\partial x}xy^2=y^2\quad\text{και}\quad\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{-x}{y^2}\]

Θ2¶

Έστω η συνάρτηση

\[f(x,y)=\begin{cases}xy\,\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \text{αν } (x,y)\neq(0,0)\\[2mm] 0 & \text{αν } (x,y)\neq(0,0).\end{cases}\]

[sic: στο πρωτότυπο και οι δύο περιπτώσεις γράφουν «αν (x, y) ≠ (0, 0)».]

Α. (1) Επιβεβαιώστε ότι για \((x,y)\neq(0,0)\) ισχύει:

\[f_x(x,y)=\frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\quad\text{και}\quad f_y(x,y)=\frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}.\]

Β. (1.5) Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της μερικής παραγώγου με το όριο για να αποδείξετε ότι \(f_x(0,0)=f_y(0,0)=0\) και επιπλέον ότι οι μερικές παράγωγοι \(f_{xy}\) και \(f_{yx}(0,0)\) υπάρχουν και οι δύο αλλά δεν είναι ίσες.

Θ3¶

Έστω ότι η συνάρτηση \(f(x,y)\) ορίζεται σε έναν δίσκο \(D\) που περιέχει το \((x_0,y_0)\) και ότι επιπλέον οι μερικές παράγωγοι \(f_x(x_0,y_0)\) και \(f_y(x_0,y_0)\) υπάρχουν. Η συνάρτηση \(f(x,y)\) είναι διαφορίσιμη στο \((x_0,y_0)\) αν

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0\]

Α. (1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \(f(x,y)=xy+2x+y\) είναι διαφορίσιμη στ[δυσανάγνωστο — καλύπτεται από δάχτυλο]

Β. (1) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης \(f(x,y)=x^3+y^3-12xy\) [δυσανάγνωστο — καλύπτεται από δάχτυλο] χαρακτηριστούν.

Γ. (0.5) Βρείτε ποια από τις τέσσερις περιοχές του παρακάτω σχήματος είναι το χωρίο στο οποίο λαμβάνει χώρα η διπλή ολοκλήρωση

\[\int_{-\sqrt{2}/2}^{0}\int_{-x}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y)\,dy\,dx\]

[Σχήμα: άνω ημικύκλιο με κέντρο την αρχή των αξόνων· ο οριζόντιος άξονας φέρει την ένδειξη x και τις τιμές −1 και 1 στα άκρα του ημικυκλίου, ο κατακόρυφος την ένδειξη y· από την αρχή των αξόνων φέρονται δύο ευθύγραμμα τμήματα προς το τόξο — το δεξί σχηματίζει με τον άξονα x γωνία που σημειώνεται π/4, το αριστερό είναι συμμετρικό ως προς τον κατακόρυφο άξονα· οι τέσσερις περιοχές του ημικυκλίου, από αριστερά προς τα δεξιά, φέρουν τις ενδείξεις A (αριστερά από το αριστερό τμήμα), B (μεταξύ του αριστερού τμήματος και του κατακόρυφου άξονα), C (μεταξύ του κατακόρυφου άξονα και του δεξιού τμήματος), D (μεταξύ του δεξιού τμήματος και του θετικού ημιάξονα x).]

Θ4¶

Α. (1) Εξετάστε ως προς την συνέχεια στο \((0,0)\) τις συναρτήσεις

(i) \(f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & \text{αν } (x,y)\neq(0,0)\\[2mm] 0 & \text{αν } (x,y)=(0,0)\end{cases}\)

και (ii) \(f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos(xy), & \text{αν } (x,y)\neq(0,0)\\[2mm] 0 & \text{αν } (x,y)=(0,0).\end{cases}\)

[Λείπει από τη φωτογραφία: τυχόν υπόλοιπο του Θ4 μετά το Α (η φωτογραφία τελειώνει εδώ).]

Θ5¶

[Λείπει από τη φωτογραφία: ο τίτλος του θέματος και το μέρος Α· φαίνεται μόνο το τέλος του, η φράση «Τι παρατηρείτε;». Ο αριθμός Θ5 συνάγεται από τη θέση πριν το Θ6.]

Τι παρατηρείτε;

Β. (1.5) Αν η συνάρτηση \(z=f(x,y)\) έχει μερικές παραγώγους δεύτερης τάξεως συνεχείς, να αποδειχθεί ότι ο στροβιλισμός \(rot(\nabla f)=0\).

Θ6¶

Α. (1) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα \(\displaystyle\int_1^2\int_1^2\frac{y}{x+y^2}\,dx\,dy.\)

Β. (1.5) Δίνεται η εξίσωση \(z^3-xz-y=0.\) Να βρεθούν τα σημεία \((x,y,z)\in\mathbb{R}^3\) για τα οποία η εξίσωση αυτή μπορεί να ορίσει μία συνάρτηση \(z=f(x,y)\) και να υπολογιστούν οι παράγωγοι \(f_x(0,1)\) και \(f_{yy}(0,1).\)

Θ7¶

Α. (1) Να δείξτε ότι το διανυσματικό πεδίο

\[F(x,y)=(\sin y^2+z^3,\ 2xy\cos y^2-2,\ 3xz^2+4)\]

είναι συντηρητικό.

[sic: στο πρωτότυπο γράφεται «F(x, y)» αν και το πεδίο εξαρτάται και από το z.]

Β. (1.5) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα \(\displaystyle\iint_D x^2y\,dA\) που περικλείεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(y=\sqrt{x}\), \(y=\dfrac{1}{x}\) και \(x=3\).

[Σχήμα: άξονες x, y· οι καμπύλες «y = √x» (πάνω) και «y = 1/x» (κάτω) τέμνονται στο σημείο με x = 1, y = 1· ένα κατακόρυφο τμήμα στο x = 3 και ένα σε τυχόν x· το χωρίο ανάμεσα στις δύο καμπύλες, μέχρι x = 3, είναι σκιασμένο με την επεξήγηση «Κατακόρυφο τμήμα 1/x ≤ y ≤ √x»· στον άξονα x σημειώνονται τα «1», «x», «3» και στον άξονα y το «1».]

Θ8¶

Α. (1.5) Να αποδείξετε ότι η μέγιστη τιμή που παίρνει η συνάρτηση \(f(x,y)=x^2y^3\) πάνω στον μοναδιαίο κύκλο είναι \(\dfrac{6}{25}\sqrt{\dfrac{3}{5}}.\)

Β. (1.5) Να βρείτε μια συνάρτηση δυναμικού για το διανυσματικό πεδίο

\[F=\langle 2xyz,\ x^2z,\ x^2yz\rangle.\]

ή να αποδείξετε ότι μια τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει.

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή