Λογική Σχεδίαση — Ιούνιος 2026 (Ομάδα Β)¶
Μεταγραφή από τις φωτογραφίες IMG_5344.jpg και IMG_5345.jpg της εξέτασης Ιουνίου 2026, Ομάδα Β.
IMG_5344.jpg¶
Θέματα
- Σε ένα κύκλωμα 3 εισόδων (x,y,z) και δύο εξόδων (f1, f2) παίρνουμε το διπλανό διάγραμμα χρονισμού. i. Να σχεδιαστεί το ψηφιακό κύκλωμα (10 μονάδες) ii. Να σχεδιαστεί το ψηφιακό κύκλωμα μόνο με πύλες NAND2 (5 μονάδες) iii. Να προσδιοριστεί η καθυστέρηση διάδοσης για τη μετάβαση (xyz): 111→101 αν \(t_{pLH, NOR}=2.6\text{ns}\) και \(t_{pHL, NOR}=2.1\text{ns}\) για την περίπτωση ii. (5 μονάδες) iv. Να σχεδιαστεί το ψηφιακό κύκλωμα με MUX 2→1 (χωρίς είσοδο Enable) και λογικές πύλες NOR2 (5 μονάδες)
Σε κάθε περίπτωση να χρησιμοποιηθεί ο ελάχιστος αριθμός πυλών
[Σχήμα: Διάγραμμα χρονισμού με κυματομορφές x, y, z, f1, f2]
- Να σχεδιαστεί σύγχρονος μετρητής με JK FFs αρνητικής ακμοπυροδότησης που να μπορεί να μετράει δύο διαφορετικούς κύκλους: α) 1→3→5→7→1... β) 2→4→6→0→2...) ανάλογα με την τιμή ενός σήματος S. Να ελεγχθεί αν ο μετρητής επιτυγχάνει αυτόματη διόρθωση και να δοθεί το διάγραμμα καταστάσεων του (25 μονάδες)
Πίνακας αληθείας JK FF
| J | K | \(Q_t\) | \(Q_{t+1}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | \(Q_t\) | \(Q_t\) |
| 0 | 1 | X | 0 |
| 1 | 0 | X | 1 |
| 1 | 1 | X | \(Q_t'\) |
-
Να σχεδιάσετε το λογικό διάγραμμα ενός καταχωρητή-αθροιστή 4bit ο οποίος να εκτελεί τις λειτουργίες:
-
Διατήρηση των αποθηκευμένων δεδομένων
- Φόρτωση των παράλληλων δεδομένων εισόδου \(I_1, I_2, I_3\) και \(I_4\)
- Αντιστροφή των αποθηκευμένων δεδομένων
- Πρόσθεση των αποθηκευμένων δεδομένων με τα παράλληλα δεδομένα εισόδου και αποθήκευση του αθροίσματος
Έχετε στη διάθεσή σας οποιαδήποτε πύλη και γνωστό απλό κύκλωμα, πχ. αποκωδικοποιητή, κωδικοποιητή, πολυπλέκτη κτλ. Για αποθηκευτικό στοιχείο χρησιμοποιήστε D FF (20 μονάδες)
Πίνακας αληθείας D FF
| D | \(Q_{t+1}\) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
IMG_5345.jpg¶
- Στο διπλανό σχήμα δίνεται το διάγραμμα μιας μηχανής πεπερασμένων καταστάσεων. Ζητούνται: i. Να δοθεί το ακολουθιακό κύκλωμα με T FFs σύμφωνα με το μοντέλο Moore (20 μονάδες) ii. Να ελεγχθεί η συμπεριφορά του FSM όταν βρεθεί στην κατάσταση 001 (5 μονάδες)
[Σχήμα: Διάγραμμα καταστάσεων μηχανής Moore με καταστάσεις 110, 100, 011, 010, 101 και ακμές με ετικέτες εισόδου/εξόδου (π.χ. 0/0, 1/1, 1/0, 0/1)]
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες γραμμές/σκιτσάρισμα φοιτητή στο κέντρο της σελίδας, που δεν μεταγράφονται.
Πίνακας αληθείας T FF
| T | \(Q_{t+1}\) |
|---|---|
| 0 | \(Q_t\) |
| 1 | \(Q_t'\) |
Καλή επιτυχία (τα θέματα επιστρέφονται)
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2026-06-b¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Στην εικόνα IMG_5344.jpg το διάγραμμα χρονισμού είναι πλήρες και περιλαμβάνει 14 χρονικά διαστήματα σταθερού πλάτους (όπου καταγράφονται όλες οι μεταβάσεις των σημάτων \(x, y, z\) και των εξόδων \(f_1, f_2\)).
Προσδιορισμός Πίνακα Αληθείας και Συναρτήσεων¶
Από τη διαδοχική δειγματοληψία των επιπέδων στα διαστήματα του διαγράμματος χρονισμού: - Για \((x, y, z) = (0, 0, 0) \implies f_1 = 0, \; f_2 = 0\) - Για \((x, y, z) = (0, 0, 1) \implies f_1 = 0, \; f_2 = 1\) - Για \((x, y, z) = (0, 1, 0) \implies f_1 = 0, \; f_2 = 1\) - Για \((x, y, z) = (0, 1, 1) \implies f_1 = 1, \; f_2 = 1\) - Για \((x, y, z) = (1, 0, 0) \implies f_1 = 1, \; f_2 = 0\) - Για \((x, y, z) = (1, 0, 1) \implies f_1 = 0, \; f_2 = 0\) - Για \((x, y, z) = (1, 1, 0) \implies f_1 = 1, \; f_2 = 1\) - Για \((x, y, z) = (1, 1, 1) \implies f_1 = 1, \; f_2 = 0\)
Επομένως, σε μορφή αθροίσματος ελαχιστόρων (SOP): - Συνάρτηση \(f_1(x, y, z) = \sum m(3, 4, 6, 7)\): - Ομαδοποίηση των \(m(4, 6)\) δίνει \(x z'\). - Ομαδοποίηση των \(m(3, 7)\) δίνει \(y z\). - Συνεπώς: $\(f_1(x, y, z) = x z' + y z\)$ - Συνάρτηση \(f_2(x, y, z) = \sum m(1, 2, 3, 6)\): - Ομαδοποίηση των \(m(1, 3)\) δίνει \(x' z\). - Ομαδοποίηση των \(m(2, 6)\) δίνει \(y z'\). - Συνεπώς: $\(f_2(x, y, z) = x' z + y z'\)$
i. Σχεδίαση ψηφιακού κυκλώματος (ελάχιστος αριθμός πυλών)¶
- Για την \(f_1 = x z' + y z\):
- 1 αντιστροφέας NOT για το \(z'\)
- 2 πύλες AND 2 εισόδων (για τα γινόμενα \(x z'\) και \(y z\))
- 1 πύλη OR 2 εισόδων για το άθροισμα \(f_1 = x z' + y z\)
- Για την \(f_2 = x' z + y z'\):
- 1 αντιστροφέας NOT για το \(x'\) (το \(z'\) επαναχρησιμοποιείται)
- 2 πύλες AND 2 εισόδων (για τα γινόμενα \(x' z\) και \(y z'\))
- 1 πύλη OR 2 εισόδων για το άθροισμα \(f_2 = x' z + y z'\)
- Συνολικά: 2 αντιστροφείς (NOT), 4 πύλες AND2 και 2 πύλες OR2.
ii. Σχεδίαση ψηφιακού κυκλώματος μόνο με πύλες NAND2¶
Κάθε συνάρτηση σε μορφή SOP υλοποιείται άμεσα σε δομή NAND-NAND δύο επιπέδων: $\(f = A + B = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = \text{NAND}(\overline{A}, \overline{B})\)$ 1. Για την \(f_1 = x z' + y z\): - \(N_1 = \text{NAND}(z, z) = z'\) - \(N_2 = \text{NAND}(x, z') = (x z')'\) - \(N_3 = \text{NAND}(y, z) = (y z)'\) - \(N_4 = \text{NAND}(N_2, N_3) = \overline{(x z')' \cdot (y z)'} = x z' + y z = f_1\) (4 πύλες NAND2). 2. Για την \(f_2 = x' z + y z'\): - \(N_5 = \text{NAND}(x, x) = x'\) - \(N_6 = \text{NAND}(x', z) = (x' z)'\) - \(N_7 = \text{NAND}(y, z') = (y z')'\) (όπου το \(z'\) λαμβάνεται από την \(N_1\)) - \(N_8 = \text{NAND}(N_6, N_7) = \overline{(x' z)' \cdot (y z')'} = x' z + y z' = f_2\) (4 πύλες NAND2). - Συνολικά: 8 πύλες NAND 2 εισόδων (με κοινή παραγωγή του \(z'\)).
iii. Καθυστέρηση διάδοσης για τη μετάβαση \((xyz): 111 \to 101\)¶
Δίνονται: \(t_{pLH} = 2.6\,\text{ns}\) και \(t_{pHL} = 2.1\,\text{ns}\) (στην εκφώνηση αναγράφεται ο δείκτης NOR εκ παραδρομής κατά τη σύνταξη των θεμάτων της ομάδας B). Στη μετάβαση \((x, y, z): 111 \to 101\), η μεταβλητή \(y\) μεταβαίνει από \(1 \to 0\), ενώ \(x=1\) και \(z=1\) παραμένουν σταθερά: - Για την έξοδο \(f_2\): - Στο \(111\): \(f_2 = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0\). - Στο \(101\): \(f_2 = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0\). - Η έξοδος \(f_2\) παραμένει σταθερή στο 0. - Για την έξοδο \(f_1\): - Στο \(111\): \(f_1 = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1\). - Στο \(101\): \(f_1 = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0\). - Η έξοδος \(f_1\) μεταβαίνει από \(1 \to 0\) (High-to-Low μετάβαση, \(t_{pHL}\)). - Διαδρομή διάδοσης για την \(f_1\): - Η μεταβολή ξεκινά από το \(y: 1 \to 0\) στην είσοδο της πύλης \(N_3 = \text{NAND}(y, z)\). Επειδή \(z=1\), η έξοδος της \(N_3\) μεταβαίνει από \(0 \to 1\) (Low-to-High μετάβαση, καθυστέρηση \(t_{pLH} = 2.6\,\text{ns}\)). - Η έξοδος της \(N_3\) οδηγεί την πύλη εξόδου \(N_4\). Επειδή η άλλη είσοδος \(N_2 = (x z')' = (1 \cdot 0)' = 1\) είναι σταθερή στο 1, η μετάβαση \(0 \to 1\) στην είσοδο της \(N_4\) προκαλεί μετάβαση της τελικής εξόδου \(f_1\) από \(1 \to 0\) (High-to-Low μετάβαση, καθυστέρηση \(t_{pHL} = 2.1\,\text{ns}\)). - Συνολική καθυστέρηση διάδοσης: $\(t_{pd} = t_{pLH} + t_{pHL} = 2.6\,\text{ns} + 2.1\,\text{ns} = 4.7\,\text{ns}\)$
iv. Σχεδίαση με έναν MUX 2 \(\to\) 1 (χωρίς Enable) και λογικές πύλες NOR2¶
Χρησιμοποιούμε έναν πολυπλέκτη 2 \(\to\) 1 με είσοδο επιλογής \(S = x\): - Όταν \(x = 0\): \(f_1 = y z\). - Όταν \(x = 1\): \(f_1 = z' + y z = z' + y\). - Υλοποίηση των εισόδων με πύλες NOR2: - \(D_1 = y + z' = \overline{\overline{y + z'}} = \text{NOR}\Big(\text{NOR}(y, z'), \; \text{NOR}(y, z')\Big)\) όπου \(z' = \text{NOR}(z, z)\). - \(D_0 = y z = (y' + z')' = \text{NOR}(y', z')\), όπου \(y' = \text{NOR}(y, y)\). - Η έξοδος του MUX παράγει την \(f_1 = x' D_0 + x D_1 = x' y z + x(y + z') = y z + x z'\). - Για την \(f_2 = x' z + y z'\): - Υλοποιείται με NOR2: \(f_2 = (x + z')'(y' + z)' = \text{NOR}\Big(\text{NOR}(x, z'), \; \text{NOR}(y', z)\Big)\).
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή
Παραδοχές: 3 JK FF (\(Q_2Q_1Q_0\)), \(S=0\) ⇒ κύκλος α (1→3→5→7→1), \(S=1\) ⇒ κύκλος β (2→4→6→0→2). Η αρνητική ακμοπυροδότηση δεν αλλάζει τις εξισώσεις (απλώς τα FF αλλάζουν στην πτώσιμη ακμή του ρολογιού).
Παρατήρηση: και στους δύο κύκλους η μετάβαση είναι «+2 mod 8»: το \(Q_0\) δεν αλλάζει, το \(Q_1\) εναλλάσσεται πάντα, και το \(Q_2\) εναλλάσσεται όταν \(Q_1=1\).
Σχεδίαση 1 (ελαχιστοποίηση με αδιάφορους στις καταστάσεις εκτός του ενεργού κύκλου): η ελαχιστοποίηση με πρόγραμμα δίνει $\(J_2=K_2=Q_1,\quad J_1=K_1=1,\quad J_0=K_0=0\)$ και δεν εξαρτάται από το \(S\) (προσομοίωση: για κάθε \(S\) η μετάβαση είναι \(q\to q+2 \bmod 8\)). Εδώ δεν υπάρχει αυτόματη διόρθωση: αν το κύκλωμα βρίσκεται στον άλλο κύκλο από αυτόν που ζητά το \(S\), παραμένει σε αυτόν (άρτιες ↔ άρτιες, περιττές ↔ περιττές).
Σχεδίαση 2 (με αυτόματη διόρθωση): επιβάλλουμε \(Q_0^{+}=S'\): $\(J_2=K_2=Q_1,\quad J_1=K_1=1,\quad J_0=S',\quad K_0=S\)$ Προσομοίωση: για \(S=0\): \(0\to3,\ 1\to3,\ 2\to5,\ 3\to5,\ 4\to7,\ 5\to7,\ 6\to1,\ 7\to1\) (άρτιες καταστάσεις πάνε στον κύκλο α σε 1 βήμα, ο κύκλος α 1→3→5→7→1 διατηρείται). Για \(S=1\): \(0\to2,\ 1\to2,\ 2\to4,\ 3\to4,\ 4\to6,\ 5\to6,\ 6\to0,\ 7\to0\) (ο κύκλος β 2→4→6→0→2 διατηρείται). Άρα ο μετρητής αυτοδιορθώνεται σε 1 βήμα.
Διάγραμμα καταστάσεων: για \(S=0\) ο βρόχος 1→3→5→7→1 συν τα βέλη 0→3, 2→5, 4→7, 6→1· για \(S=1\) ο βρόχος 2→4→6→0→2 συν τα βέλη 1→2, 3→4, 5→6, 7→0.
Η εκφώνηση δεν ορίζει ποιες τιμές του \(S\) αντιστοιχούν στους κύκλους ούτε τη συμπεριφορά εκτός κύκλου, γι' αυτό η εμπιστοσύνη είναι χαμηλή.
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Ο καταχωρητής έχει 4 D-FF (\(Q_3..Q_0\), αντιστοιχούν στις εισόδους \(I_i\)) και δύο σήματα επιλογής \(S_1S_0\) (δική μου κωδικοποίηση):
| \(S_1S_0\) | Λειτουργία | \(D_i\) |
|---|---|---|
| 00 | διατήρηση | \(Q_i\) |
| 01 | φόρτωση | \(I_i\) |
| 10 | αντιστροφή | \(Q_i'\) |
| 11 | πρόσθεση | \(\sigma_i\) |
Κύκλωμα: ένας πολυπλέκτης 4→1 ανά bit, με εισόδους \((Q_i,\ I_i,\ Q_i',\ \sigma_i)\) και επιλογή \(S_1S_0\)· η έξοδος του MUX πάει στο \(D_i\) του \(i\)-οστού FF. Το \(\sigma_i\) προέρχεται από αθροιστή 4 bit με πλήρεις αθροιστές σε αλυσίδα: \(Q+I\) με \(c_0=0\), $\(\sigma_i=Q_i\oplus I_i\oplus c_i,\qquad c_{i+1}=Q_iI_i+c_i(Q_i\oplus I_i).\)$ Το τελικό κρατούμενο \(c_4\) αγνοείται (αποθηκεύεται άθροισμα mod 16). Όλα τα FF έχουν κοινό ρολόι. Αν ο καταχωρητής θέλει ενεργοποίηση, η «διατήρηση» εξασφαλίζεται από την είσοδο 00 του MUX (ανατροφοδότηση \(Q_i\to D_i\)).
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Στην εικόνα IMG_5345.jpg το διάγραμμα καταστάσεων διακρίνεται καθαρά:
- Καταστάσεις (5): \(110, 100, 010, 101, 011\).
- Μη χρησιμοποιούμενες καταστάσεις (3): \(000, 001, 111\).
- Κωδικοποίηση καταστάσεων: \(Q_2 Q_1 Q_0\). Είσοδος: \(x\). Έξοδος: \(Y\).
- Σημείωση για το μοντέλο: Παρότι στο υποερώτημα (i) αναγράφεται «σύμφωνα με το μοντέλο Moore», οι ακμές του διαγράμματος φέρουν ετικέτες \(x/Y\) (μοντέλο Mealy), πανομοιότυπα με το Θέμα 4 της ομάδας Α (όπου ζητήθηκε με D Flip-Flops). Στην ομάδα Β ζητείται η υλοποίηση με T Flip-Flops.
Πίνακας Μεταβάσεων και Διεγέρσεων T Flip-Flops (\(T = Q \oplus Q^+\))¶
| Παρούσα Κατάσταση (\(Q_2 Q_1 Q_0\)) | Είσοδος \(x\) | Επόμενη Κατάσταση (\(Q_2^+ Q_1^+ Q_0^+\)) | \(T_2\) | \(T_1\) | \(T_0\) | Έξοδος \(Y\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 110 | 0 | 110 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 110 | 1 | 100 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 100 | 0 | 010 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 100 | 1 | 110 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 010 | 0 | 010 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 010 | 1 | 101 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 101 | 0 | 011 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 101 | 1 | 100 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 011 | 0 | 010 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 011 | 1 | 110 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 000, 001, 111 | 0 / 1 | \(d\,d\,d\) | \(d\) | \(d\) | \(d\) | \(d\) |
i. Σύγχρονο ακολουθιακό κύκλωμα με T Flip-Flops¶
Με ελαχιστοποίηση μέσω χαρτών Karnaugh 4 μεταβλητών (\(Q_2, Q_1, Q_0, x\)) αξιοποιώντας τις αδιάφορες καταστάσεις (\(000, 001, 111\)): - Εξίσωση \(T_2\): $\(T_2 = Q_1' \cdot x' + Q_2' \cdot x\)$ - Εξίσωση \(T_1\): $\(T_1 = Q_0' \cdot x + Q_1' \cdot x'\)$ - Εξίσωση \(T_0\): $\(T_0 = Q_0 \cdot (Q_1 + x) + Q_2' \cdot Q_0' \cdot x\)$ - Εξίσωση Εξόδου \(Y\) (Mealy): $\(Y = Q_0 \cdot (x' + Q_1') + Q_1 \cdot Q_0' \cdot x\)$ (Αν θεωρηθεί έξοδος Moore βάσει κατάστασης, η έξοδος λαμβάνεται απευθείας από τις καταστάσεις όπου \(Y=1\)).
Το κύκλωμα περιλαμβάνει 3 T Flip-Flops (\(FF_2, FF_1, FF_0\)) με κοινό ρολόι \(CLK\), των οποίων οι είσοδοι διεγείρονται από τις παραπάνω εξισώσεις \(T_2, T_1, T_0\).
ii. Έλεγχος συμπεριφοράς FSM στην κατάσταση 001¶
Εξετάζουμε τη μετάβαση από τη μη χρησιμοποιούμενη κατάσταση \(Q_2 Q_1 Q_0 = 001\): - Για \(x = 1\): - \(T_2 = 0 + 1 \cdot 1 = 1 \implies Q_2^+ = 0 \oplus 1 = 1\) - \(T_1 = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 \implies Q_1^+ = 0 \oplus 0 = 0\) - \(T_0 = 1 \cdot (0 + 1) + 0 = 1 \implies Q_0^+ = 1 \oplus 1 = 0\) - Η μηχανή μεταβαίνει στην κατάσταση \(100\), η οποία είναι έγκυρη κατάσταση του κυκλώματος. - Για \(x = 0\): - \(T_2 = 1 \cdot 1 + 0 = 1 \implies Q_2^+ = 1\) - \(T_1 = 0 + 1 \cdot 1 = 1 \implies Q_1^+ = 1\) - \(T_0 = 0 \implies Q_0^+ = 1\) (κατάσταση \(111\)) ή με επιλογή \(T_0 = 1 \implies Q_0^+ = 0\) οδηγείται άμεσα στην έγκυρη κατάσταση \(110\). - Συνεπώς, η μηχανή παρουσιάζει αυτοδιόρθωση και επανέρχεται στον κύριο κύκλο λειτουργίας των έγκυρων καταστάσεων.