Λογική Σχεδίαση — Ιούνιος 2025¶

Μεταγραφή από τις φωτογραφίες των σελίδων 1–4 της εξέτασης Ιουνίου 2025 (AA3A4A12, 4576BD0E, 5605F922, IMG_6819).

AA3A4A12-2151-4EA6-933C-409552D2EC0D.jpg¶

Λογική Σχεδίαση — Εξεταστική Ιουνίου 2025 Διάρκεια εξέτασης: 140 λεπτά. Ελάχιστη Παραμονή: 60 λεπτά Οι απαντήσεις σας να δοθούν πάνω στις κόλλες των θεμάτων.

Ονοματεπώνυμο: ΑΜ: Έτος σπουδών:

Θέμα 1 (2 μονάδες) Να υλοποιήσετε ένα κύκλωμα που να υπολογίζει τη συνάρτηση F. Η F δέχεται σαν είσοδο δυο 4-bit αριθμούς A και B και ένα 2-bit σήμα ελέγχου S. Η F ορίζεται ως εξής: a. F=A' αν S=0 b. F=-A αν S=1 c. F=A+B αν S=2 d. F=A-B αν S=3

Να σχεδιάσετε έναν Full Adder και στην συνέχεια να σχεδιάσετε την F μόνο με Full Adders, αναστροφείς και όποια άλλη πύλη 2-εισόδων 1-εξόδου θέλετε.

4576BD0E-A9FC-4E58-BB4D-A853AE035DD2.jpg¶

Θέμα 2 (3.5 μονάδες) 1. Να δώσετε την Boolean αλγεβρική έκφραση που περιγράφει τις εξόδους F και G (1 μονάδα). Να εκφράσετε τις F και G σαν άθροισμα ελαχιστόρων (0.5 μονάδες).

[Σχήμα: Συνδυαστικό κύκλωμα με εισόδους A, B, C. A και B σε XOR, έξοδος και C σε XOR με έξοδο F. A μέσω NOT και B σε NAND. Έξοδος του πρώτου XOR μέσω NOT και C σε AND. Έξοδοι AND και NAND σε πύλη με ανεστραμμένες εισόδους με έξοδο G.]

Θεωρήστε ένα αρνητικά ακμοπυροδότητο D flip flop, με ασύγχρονη είσοδο καθαρισμού (rst) αρνητικής λογικής. Να σχεδιάσετε την κυματομορφή της εξόδου Q του flip flop πάνω στο γράφημα. (1 μονάδα)

[Σχήμα: Κυματομορφές clk, rst, D και κενή γραμμή εξόδου Q]

Να απλοποιήσετε την J=(A + B' + C')(A + B' + C)(A + B + C') μόνο με αλγεβρικές πράξεις. Να αναφέρετε ποια θεωρήματα ή/και αξιώματα χρησιμοποιήσατε κατά την απλοποίηση. (1 μονάδα)

5605F922-D8B9-4931-95A3-26C716AE2652.jpg¶

Θέμα 3 (2 μονάδες) 1. Να υλοποιήσετε έναν 16-bit συγκριτή μεγέθους (ελέγχει αν X≤Y) χρησιμοποιώντας συγκριτές μεγέθους 8-bit. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μέχρι δύο συγκριτές μεγέθους 8-bit, λογικές πύλες 2-εισόδων 1-εξόδου και αναστροφείς. Σχεδιάστε την συνδεσμολογία στο ακόλουθο σχήμα. (1 μονάδα)

[Σχήμα: Δύο ολοκληρωμένα συγκριτή μεγέθους 8-bit με εισόδους P0..P7, Q0..Q7 και εξόδους PEQQ, PLTQ, PGTQ]

Σχεδιάστε έναν πολυπλέκτη 16-σε-1 με είσοδο Y 16-bit και σήμα επιλογής S 4-bit, χρησιμοποιώντας μόνο πολυπλέκτες 4-σε-1. (1 μονάδα)

IMG_6819.jpg¶

Θέμα 4 (2.5 μονάδες) Να συνθέσετε ένα σύγχρονο ακολουθιακό κύκλωμα που υλοποιεί έναν ελεγκτή έντασης ήχου ενός ηχείου. Το ηχείο έχει δύο εισόδους του 1 bit ενεργές χαμηλά Plus και Minus και μια έξοδο L που υποδηλώνει την ένταση. Η ένταση έχει τέσσερεις καταστάσεις OFF, 70dB, 75dB και 80dB. Στην αρχή το ηχείο είναι OFF. Κάθε φορά που πατιέται το Plus η ένταση αυξάνει (OFF → 70dB → 75dB → 80dB) και κάθε φορά που πατιέται το Minus η ταχύτητα μειώνεται (μέχρι να σβήσει). Αν πατηθούν ταυτόχρονα Plus και Minus, το ηχείο σβήνει (OFF). Επίσης, το ηχείο έχει ένα ρολόι (clk) κι ένα σήμα reset (rst). Η λύση σας πρέπει να περιλαμβάνει: 1. το κατά Moore διάγραμμα μετάβασης καταστάσεων (1 μονάδα) και 2. το κύκλωμα που υλοποιεί την ανωτέρω λειτουργία. Η κωδικοποίηση των καταστάσεων να χρησιμοποιεί κώδικα Gray και να χρησιμοποιήσετε D flip-flop. (1.5 μονάδες)

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις/σημειώσεις φοιτητή.

[Λείπει από τη φωτογραφία: σελίδες 5–6 από 6 — δεν υπάρχουν φωτογραφίες τους στον φάκελο]

Επιπλέον πηγές χωρίς δικό τους τμήμα (διπλότυπες ή καθαρότερες φωτογραφίες των σελίδων 1–3, χρήσιμες μόνο για επιβεβαίωση του κειμένου· δεν περιέχουν λύσεις): IMG_6818.jpg (σελ. 1/6), IMG_6820.jpg και IMG_6821.jpg (σελ. 2/6), IMG_6816.jpg και IMG_6817.jpg (σελ. 3/6). Η IMG_6817.jpg φέρει χειρόγραφους υπολογισμούς φοιτητή, που δεν μεταγράφονται.

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2025-06¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα 1¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Full Adder (FA): εισόδους $a,b,c_{in}$: $$s = a\oplus b\oplus c_{in},\qquad c_{out} = ab + c_{in}(a\oplus b)$$ (2 XOR, 2 AND, 1 OR).

Ιδέα: όλες οι πράξεις γράφονται ως $X+Y+c_{in}$ (4 bit, αγνοούμε το τελικό κρατούμενο): - $S=0$: $A' = A'+0+0$ - $S=1$: $-A = A'+0+1$ - $S=2$: $A+B+0$ - $S=3$: $A-B = A+B'+1$

Άρα, με $S=S_1S_0$: - $X_i = A_i \oplus \overline{S_1}$ (αντιστρέφεται όταν $S_1=0$), - $Y_i = S_1\cdot(B_i\oplus S_0)$ (0 όταν $S_1=0$· $B$ όταν $S=2$· $B'$ όταν $S=3$), - $c_{in}=S_0$.

Υλοποίηση: 4 FA σε αλυσίδα (ripple), $c_{in}$ του FA0 = $S_0$, $c_{out}$ κάθε FA στο $c_{in}$ του επόμενου. Πύλες 2 εισόδων: 4 XOR (για $X_i$, με το $\overline{S_1}$ από έναν αναστροφέα), 4 XOR ($B_i\oplus S_0$) και 4 AND ($\cdot S_1$). Έξοδος $F_i = s_i$ του FA$_i$.

Επαλήθευση με πρόγραμμα για όλα τα $A,B\in[0,15]$, $S\in[0,3]$: σωστό.

Θέμα 2¶

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Στην πρωτότυπη εικόνα 4576BD0E-A9FC-4E58-BB4D-A853AE035DD2.jpg (σελίδα 2 του διαγωνίσματος) απεικονίζονται ευκρινώς το συνδυαστικό λογικό κύκλωμα του υποερωτήματος 1 και οι κυματομορφές του υποερωτήματος 2.

1. Boolean Αλγεβρικές Εκφράσεις και Ελαχιστόροι για $F$ και $G$¶

Ανάλυση του Κυκλώματος:¶

Η πρώτη πύλη XOR λαμβάνει εισόδους $A$ και $B$: $$X = A \oplus B$$
Η έξοδος $F$ προκύπτει από τη 2η πύλη XOR με εισόδους $X$ και $C$: $$\mathbf{F = (A \oplus B) \oplus C}$$
Στην κάτω πύλη NAND οδηγούνται η $\overline{A}$ (μέσω του πρώτου αναστροφέα) και η $B$, δίνοντας έξοδο: $$\text{out}_3 = \overline{\overline{A} \cdot B} = A + \overline{B}$$
Στην ενδιάμεση πύλη AND οδηγούνται η είσοδος $C$ και η έξοδος $X$ μέσω αναστροφέα ($\overline{X} = \overline{A \oplus B}$): $$\text{out}_4 = \overline{A \oplus B} \cdot C$$
Η έξοδος $G$ παράγεται από πύλη OR με ανεστραμμένες εισόδους (negative-input OR gate, ισοδύναμη κατά De Morgan με πύλη NAND): $$G = \overline{\text{out}_4} + \overline{\text{out}_3} = \overline{\overline{A \oplus B} \cdot C} + \overline{\overline{\overline{A} \cdot B}} = (A \oplus B) + \overline{C} + \overline{A} B$$ Επειδή ο όρος $\overline{A} B$ εμπεριέχεται στο $A \oplus B = A \overline{B} + \overline{A} B$, η έκφραση απλοποιείται σε: $$\mathbf{G = (A \oplus B) + \overline{C}}$$

Πίνακας Αληθείας και Ελαχιστόροι:¶

$A$	$B$	$C$	Ελαχιστόρος	$A \oplus B$	$F$	$\overline{C}$	$G$
0	0	0	$m_0$	0	0	1	1
0	0	1	$m_1$	0	1	0	0
0	1	0	$m_2$	1	1	1	1
0	1	1	$m_3$	1	0	0	1
1	0	0	$m_4$	1	1	1	1
1	0	1	$m_5$	1	0	0	1
1	1	0	$m_6$	0	0	1	1
1	1	1	$m_7$	0	1	0	0

Άθροισμα Ελαχιστόρων της $F$: $$\mathbf{F(A,B,C) = \sum m(1, 2, 4, 7) = \overline{A}\,\overline{B}C + \overline{A}B\overline{C} + A\overline{B}\,\overline{C} + ABC}$$
Άθροισμα Ελαχιστόρων της $G$: $$\mathbf{G(A,B,C) = \sum m(0, 2, 3, 4, 5, 6) = \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} + \overline{A}B\overline{C} + \overline{A}BC + A\overline{B}\,\overline{C} + A\overline{B}C + AB\overline{C}}$$

2. Κυματομορφή Εξόδου $Q$ για Αρνητικά Ακμοπυροδότητο D Flip-Flop¶

Κανόνες Λειτουργίας:¶

Ασύγχρονος καθαρισμός (rst): Ενεργός σε χαμηλή στάθμη ($\text{rst} = 0$). Μηδενίζει άμεσα και ασύγχρονα την έξοδο ($Q \leftarrow 0$) ανεξάρτητα από το ρολόι.
Αρνητική ακμοπυροδότηση (clk): Όταν $\text{rst} = 1$ (ανενεργό), η τιμή της εισόδου $D$ δειγματοληπτείται και περνά στην έξοδο $Q$ αποκλειστικά κατά την αρνητική ακμή (πτώση $1 \to 0$) του ρολογιού clk.

Χρονική Εξέλιξη ανά Γεγονός:¶

Αρχική κατάσταση & 1η ενεργοποίηση rst: Αρχικά $Q = 0$. Πριν την 1η αρνητική ακμή του clk, το σήμα rst πέφτει στο 0 και παραμένει 0 κατά τη διάρκεια της 1ης αρνητικής ακμής του clk. Επομένως, το flip-flop παραμένει σε κατάσταση καθαρισμού και η έξοδος $Q$ παραμένει σταθερά 0.
Μετάβαση του rst σε 1: Το rst επιστρέφει στο 1 (ανενεργό). Η έξοδος $Q$ παραμένει 0 μέχρι την επόμενη αρνητική ακμή του ρολογιού.
2η αρνητική ακμή του clk: Κατά την πτώση του ρολογιού, $\text{rst} = 1$ και $D = 1$. Συνεπώς, η έξοδος $Q$ μεταβαίνει σε 1.
Μεταβολή του D σε 0 και 3η αρνητική ακμή του clk: Το $D$ πέφτει στο 0 ενώ το ρολόι είναι ψηλά. Στην 3η αρνητική ακμή του clk, επειδή $D = 0$ και $\text{rst} = 1$, η έξοδος $Q$ μεταβαίνει σε 0.
2η ενεργοποίηση rst: Μετά την 3η ακμή, το rst πέφτει στο 0 ασύγχρονα. Καθώς το $Q$ είναι ήδη 0, παραμένει 0.
Επαναφορά rst και ανύψωση D: Πριν την 4η αρνητική ακμή, το rst ανεβαίνει στο 1 και το $D$ ανεβαίνει στο 1.
4η αρνητική ακμή του clk: Στην αρνητική ακμή, με $\text{rst} = 1$ και $D = 1$, η έξοδος $Q$ μεταβαίνει σε 1.
5η αρνητική ακμή του clk: Στην 5η αρνητική ακμή, με $\text{rst} = 1$ και $D = 1$, η έξοδος $Q$ παραμένει 1.
Τέλος κυματομορφής: Μετά την 5η ακμή, το $D$ πέφτει στο 0, αλλά χωρίς νέα αρνητική ακμή ρολογιού, το $Q$ παραμένει σταθερά 1 μέχρι το τέλος του διαγράμματος.

Σύνοψη εξόδου $Q$: - Από την αρχή έως τη 2η αρνητική ακμή: $Q = 0$. - Από τη 2η έως την 3η αρνητική ακμή: $Q = 1$ (παλμός διάρκειας μιας περιόδου ρολογιού). - Από την 3η έως την 4η αρνητική ακμή: $Q = 0$. - Από την 4η αρνητική ακμή έως το τέλος του γραφήματος: $Q = 1$.

3. Αλγεβρική Απλοποίηση της $J$¶

Δίνεται η παράσταση: $$J = (A + \overline{B} + \overline{C})(A + \overline{B} + C)(A + B + \overline{C})$$

Συνδυασμός των δύο πρώτων όρων: Θέτουμε $X = A + \overline{B}$. Τότε οι δύο πρώτοι όροι γράφονται $(X + \overline{C})(X + C)$.
Χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα της διάζευξης ως προς τη σύζευξη ($X + YZ = (X+Y)(X+Z)$ αντίστροφα): $$(X + \overline{C})(X + C) = X + \overline{C}C$$
Από το αξίωμα συμπληρώματος $\overline{C}C = 0$ και το αξίωμα ταυτότητας $X + 0 = X$: $$(A + \overline{B} + \overline{C})(A + \overline{B} + C) = A + \overline{B}$$
Συνδυασμός με τον τρίτο όρο: $$J = (A + \overline{B})(A + B + \overline{C})$$
Εφαρμόζοντας ξανά την επιμεριστική ιδιότητα με κοινό όρο το $A$: $$J = A + \overline{B}(B + \overline{C})$$
Αναπτύσσοντας με την επιμεριστική ιδιότητα: $$\overline{B}(B + \overline{C}) = \overline{B}B + \overline{B}\,\overline{C}$$
Από το αξίωμα συμπληρώματος $\overline{B}B = 0$ και το αξίωμα ταυτότητας $0 + \overline{B}\,\overline{C} = \overline{B}\,\overline{C}$: $$J = A + \overline{B}\,\overline{C}$$

\[\mathbf{J = A + \overline{B}\,\overline{C} = A + \overline{B + C}}\]

Θέμα 3¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

3.1 (16-bit $X\le Y$). Παραδοχή: οι έξοδοι PEQQ, PLTQ, PGTQ είναι ενεργές υψηλά. Συγκριτής HI: $P=X_{15..8}$, $Q=Y_{15..8}$. Συγκριτής LO: $P=X_{7..0}$, $Q=Y_{7..0}$. $$X>Y = GT_{hi} + EQ_{hi}\cdot GT_{lo},\qquad X\le Y = \overline{X>Y}$$ Συνδεσμολογία: AND($EQ_{hi}$, $GT_{lo}$) → OR με $GT_{hi}$ → NOT → έξοδος $F=(X\le Y)$. Χρησιμοποιούνται 2 συγκριτές και 3 πύλες (AND, OR, NOT). Οι έξοδοι $LT$ δεν χρειάζονται.

3.2 (MUX 16→1 από 4→1). 5 πολυπλέκτες 4→1. Στο 1ο επίπεδο 4 MUX: ο MUX$_j$ ($j=0..3$) παίρνει τα $Y_{4j},Y_{4j+1},Y_{4j+2},Y_{4j+3}$ και επιλογή $S_1S_0$ (κοινή σε όλους). Οι 4 έξοδοι πάνε στις εισόδους $0..3$ του 5ου MUX με επιλογή $S_3S_2$. Η έξοδός του είναι η $Y_{S}$ ($S=S_3S_2S_1S_0$).

Θέμα 4¶

Αξιοπιστία: 2 από 3 ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν (η άλλη διαφωνούσε) · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Παραδοχές (η εκφώνηση δεν τα ορίζει): το «ταχύτητα μειώνεται» είναι τυπογραφικό για «ένταση»· στο 80dB το Plus δεν αλλάζει κατάσταση, στο OFF το Minus δεν αλλάζει· αν δεν πατηθεί τίποτα, παραμένει η κατάσταση· το rst επαναφέρει στο OFF. Έστω $p$ = Plus πατημένο (Plus=0) και $m$ = Minus πατημένο (Minus=0).

1. Moore: 4 καταστάσεις με έξοδο L την κατάσταση (OFF, 70, 75, 80). - OFF: $pm$→OFF, $p\overline m$→70, $\overline p m$→OFF, $\overline p\,\overline m$→OFF - 70: $pm$→OFF, $p\overline m$→75, $\overline p m$→OFF, καμία→70 - 75: $pm$→OFF, $p\overline m$→80, $\overline p m$→70, καμία→75 - 80: $pm$→OFF, $p\overline m$→80, $\overline p m$→75, καμία→80

2. Κύκλωμα (Gray): OFF=00, 70=01, 75=11, 80=10 ($Q_1Q_0$). Με τα σήματα όπως είναι (ενεργά χαμηλά, $P$=Plus, $M$=Minus), από πίνακα μετάβασης και ελαχιστοποίηση (έλεγχος με πρόγραμμα): $$D_1 = Q_1M + Q_1Q_0'P + Q_0P'M,\qquad D_0 = Q_0PM + Q_1PM' + Q_1'P'M$$ Έλεγχος ενδεικτικά: από 75 (11) με Plus πατημένο ($P=0,M=1$): $D_1 = 1\cdot1=1$, $D_0=Q_0PM=0$, $Q_1PM'=0$, $Q_1'..=0$ ⇒ 10 = 80 ✓.

Κύκλωμα: 2 D-FF (με ασύγχρονο/σύγχρονο reset στο 00 από το rst), οι παραπάνω εξισώσεις με πύλες AND/OR/NOT, και έξοδος L = $(Q_1,Q_0)$ (ή αποκωδικοποιημένη σε 4 γραμμές ανάλογα με την ανάγκη του ηχείου).

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή

\(A\)	\(B\)	\(C\)	Ελαχιστόρος	\(A \oplus B\)	\(F\)	\(\overline{C}\)	\(G\)
0	0	0	\(m_0\)	0	0	1	1
0	0	1	\(m_1\)	0	1	0	0
0	1	0	\(m_2\)	1	1	1	1
0	1	1	\(m_3\)	1	0	0	1
1	0	0	\(m_4\)	1	1	1	1
1	0	1	\(m_5\)	1	0	0	1
1	1	0	\(m_6\)	0	0	1	1
1	1	1	\(m_7\)	0	1	0	0