Ηλεκτρικά Κυκλώματα — Ιούνιος 2026¶
Μεταγραφή της φωτογραφίας IMG_2491.jpg της εξέτασης Ιουνίου 2026.
IMG_2491.jpg¶
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ¶
Μην επαναλαμβάνετε τα ερωτήματα στο γραπτό σας, γράψτε μόνον τις απαντήσεις σας με την αντίστοιχη αρίθμηση. Οι απαντήσεις σας μπορεί να γραφούν με μολύβι.
Τα θέματα επιστρέφονται μαζί με το γραπτό σας. Αν λείπουν δεν βαθμολογείται το γραπτό.
1) Σχεδιάστε το DC κύκλωμα μιας γέφυρας Wheatstone δίχως αντίσταση φορτίου συνδεδεμένη μεταξύ των ακροδεκτών εξόδου. α) Να βρείτε το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin παρουσιάζοντας βήμα προς βήμα τον μετασχηματισμό κυκλωμάτων από το αρχικό κύκλωμα. [1,3] β) Να βρείτε στο Thevenin με τι ισούται η τάση εξόδου \(v_o\) στις περιπτώσεις που β1) η \(v_o\) μετρείται στους ανοιχτούς ακροδέκτες του και β2) με σύνδεση σε φορτίο \(R\) που η \(v_o\) μετρείται στα άκρα της \(R\), επιλέγοντας την \(R\) ώστε να ισχύει η συνθήκη μέγιστης μεταφοράς ισχύος. [0,6] γ) Να μετασχηματίσετε το Thevenin στο ισοδύναμο του κύκλωμα Norton και να βρείτε με τι ισούται η \(v_o\) στις περιπτώσεις (β1) και (β2). [0,6]
2) α) Να εφαρμόσετε ανάλυση με φάσορες στο κύκλωμα του σχήματος, για να το μετασχηματίσετε στην περιοχή συχνοτήτων. [0,5]
[Σχήμα: Κύκλωμα με πηγή εναλλασσόμενης τάσης \(v_{in}\), αντίσταση \(R\) σε σειρά, και πυκνωτή \(C\) συνδεδεμένο παράλληλα προς τη γείωση στους ακροδέκτες εξόδου όπου λαμβάνεται η τάση εξόδου \(v_{out}\).]
β) Να βρείτε το ισοδύναμο Thevenin παρουσιάζοντας βήμα προς βήμα τον μετασχηματισμό κυκλωμάτων. Να μετασχηματιστεί το Thevenin στην περιοχή χρόνου. [1,0] γ) Με ανοιχτό κύκλωμα στους ακροδέκτες του φορτίου να βρείτε την ολική σύνθετη αντίσταση \(Z_{o\lambda}\) (το μέτρο και την φάση) για γωνιακή συχνότητα \(\omega=377\text{ rad/s}\). Να γίνει στο μιγαδικό επίπεδο υπό κλίμακα η αναπαράσταση όλων των σύνθετων αντιστάσεων, \(Z_R, Z_C, Z_{o\lambda}\) [1,5] Δίνονται: \(Z_R=12\ \Omega\), \(Z_C=-j9\ \Omega\), \(v_S(t)=110\cos(377t)\text{ V}\), \(\arctan(3/4)\approx \pi/5\).
3) Σχεδιάστε το κύκλωμα ενός υψιπερατού φίλτρου RC αιτιολογώντας την επιλογή σας. [0,2] α) Να υπολογίσετε το μέτρο της \(|H_V|=|V_o/V_{in}|\) και τη συχνότητα αποκοπής \(\omega_0\). [1.0] β) Για τάση εισόδου \(v_{in}=14,14\text{ V}\), να υπολογίσετε την τάση εξόδου του στην \(\omega_0\). [0,3]
4) Σε ένα εν σειρά RLC κύκλωμα που λειτουργεί και ως ζωνοπερατό φίλτρο συχνοτήτων: α) Να σχεδιάσετε την καμπύλη απόκρισης συχνότητας για την συνάρτηση του ρεύματος \(I(\omega)\), να ορίσετε στους άξονες της καμπύλης τις συχνότητες αποκοπής \(\omega_1, \omega_2\) και συντονισμού \(\omega_0\) για τις αντίστοιχες τιμές ρεύματος και να βρείτε τις αντίστοιχες τιμές της ισχύος \(P(\omega_1), P(\omega_2), P(\omega_0)\) [0,8] β) Από τον ορισμό του decibel να βρείτε την απώλεια ισχύος στις \(\omega_1, \omega_2\) σε μονάδες decibel. [0,6] γ) Να γράψετε στην μιγαδική μορφή την ολική σύνθετη αντίσταση και να σχεδιάσετε το τρίγωνο ισχύος ορίζοντας τις παραμέτρους για κάθε πλευρά του τριγώνου. Ποια συνθήκη ισχύει στην συχνότητα συντονισμού και με τι θα ισούται ο παράγοντας ισχύος \(pf\) στην \(\omega_0\) καθώς και η άεργη ισχύς \(Q\) στην \(\omega_0\). [0,8] δ) Για την τάση \(220\text{ V}\) μιας πρίζας του ηλεκτρικού δικτύου να σχεδιάσετε την ημιτονοειδή συνάρτηση της για μια περίοδο καθώς και τις υπολογισμένες τιμές για το πλάτος, την ενεργό (rms) τάση και την τάση peak-to-peak. Να ορισθεί η ενεργός τιμή από το φυσικό αποτέλεσμα που επιφέρει σε μια αντίσταση σε σχέση με την AC τάση. [0,8]
Καλή επιτυχία.
Εξεταστής: Χ. Χρηστίδης
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (deepseek-flash), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2026-06¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Λαμβάνω το πρότυπο κύκλωμα γέφυρας Wheatstone με πηγή \(V_S\), αντιστάσεις \(R_1,R_2\) στον αριστερό κλάδο και \(R_3,R_4\) στον δεξιό, με ανοιχτούς ακροδέκτες εξόδου \(A,B\) και \(v_o=V_A-V_B\).
α) Το κύκλωμα Thevenin ως προς \(A,B\) βρίσκεται ως εξής: - Με ανοιχτό φορτίο δεν περνά ρεύμα από τους ακροδέκτες εξόδου. - Από διαιρέτη τάσης: [ V_A=V_S\frac{R_2}{R_1+R_2},\qquad V_B=V_S\frac{R_4}{R_3+R_4}. ] Άρα [ V_{Th}=V_A-V_B =V_S\left(\frac{R_2}{R_1+R_2}-\frac{R_4}{R_3+R_4}\right). ] - Μηδενίζοντας την πηγή τάσης (βραχυκύκλωμα), κοιτάζοντας από τους ακροδέκτες \(A,B\): [ R_{Th}=(R_1\parallel R_2)+(R_3\parallel R_4) =\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}+\frac{R_3R_4}{R_3+R_4}. ] Το ισοδύναμο Thevenin είναι πηγή \(V_{Th}\) σε σειρά με \(R_{Th}\). Η γέφυρα είναι ισορροπημένη όταν \(V_{Th}=0\), δηλ. \(R_1R_4=R_2R_3\).
β) β1) Με ανοιχτούς ακροδέκτες: [ v_o=V_{Th}. ] β2) Για μέγιστη μεταφορά ισχύος στο φορτίο \(R\) επιλέγεται [ R=R_{Th}. ] Τότε [ v_o=V_{Th}\frac{R}{R+R_{Th}}=\frac{V_{Th}}{2}. ]
γ) Το ισοδύναμο Norton έχει [ R_N=R_{Th},\qquad I_N=\frac{V_{Th}}{R_{Th}}, ] όπου το \(I_N\) είναι το ρεύμα βραχυκυκλώσεως από το \(A\) προς το \(B\) (με τη σύμβαση πρόσημου του \(V_{Th}\)). Στις περιπτώσεις (β1) και (β2): [ v_o^{(β1)}=I_NR_N=V_{Th}, ] [ v_o^{(β2)}=I_N(R_N\parallel R)\Big|{R=R_N} =I_N\frac{R_N}{2}=\frac{V. ] Αν αντιστραφούν οι ακροδέκτες, αλλάζει μόνο το πρόσημο της }}{2\(v_o\).
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
α) Με φάσορες για \(\omega=377\ \text{rad/s}\): [ \mathbf V_s=110\angle0^\circ\ \text{V},\qquad Z_R=12\ \Omega,\qquad Z_C=-j9\ \Omega. ] Το κύκλωμα στην περιοχή συχνοτήτων είναι πηγή \(\mathbf V_s\) σε σειρά με \(Z_R\) και \(Z_C\) προς τη γείωση, με την έξοδο στα άκρα του πυκνωτή.
β) Με ανοιχτό φορτίο, η τάση εξόδου είναι η τάση του πυκνωτή: [ \mathbf V_{Th} =\mathbf V_s\frac{Z_C}{Z_R+Z_C} =110\frac{-j9}{12-j9}. ] Είναι [ 12-j9=15\angle -36.87^\circ,\qquad -j9=9\angle -90^\circ, ] άρα [ \mathbf V_{Th}=110\frac{9}{15}\angle(-90^\circ+36.87^\circ) =66\angle -53.13^\circ\ \text{V}. ] Η σύνθετη αντίσταση Thevenin, μηδενίζοντας την πηγή, είναι [ Z_{Th}=Z_R\parallel Z_C =\frac{12(-j9)}{12-j9} =4.32-j5.76\ \Omega =7.2\angle -53.13^\circ\ \Omega. ] Άρα το Thevenin είναι πηγή [ \mathbf V_{Th}=66\angle -53.13^\circ\ \text{V} ] σε σειρά με [ Z_{Th}=4.32-j5.76\ \Omega. ] Στην περιοχή χρόνου: [ v_{Th}(t)=66\cos(377t-53.13^\circ)\ \text{V}. ] Η \(Z_{Th}\) αντιστοιχεί σε αντίσταση \(R_{Th}=4.32\ \Omega\) σε σειρά με πυκνωτή [ C_{Th}=\frac{1}{377\cdot 5.76}\approx 4.61\cdot10^{-4}\ \text{F} \approx 461\ \mu\text{F}. ]
γ) Με ανοιχτό φορτίο, η ολική σύνθετη αντίσταση που βλέπει η πηγή είναι [ Z_{o\lambda}=Z_R+Z_C=12-j9\ \Omega. ] Έχουμε [ |Z_{o\lambda}|=\sqrt{12^2+9^2}=15\ \Omega, ] [ \angle Z_{o\lambda} =-\arctan\frac{9}{12} \approx -36.87^\circ \approx -\frac{\pi}{5}. ] Άρα [ Z_{o\lambda}=15\angle -36.87^\circ\ \Omega. ] Στο μιγαδικό επίπεδο: το \(Z_R\) είναι διάνυσμα \((12,0)\), το \(Z_C\) είναι \((0,-9)\) και το \(Z_{o\lambda}\) είναι το διανυσματικό τους άθροισμα \((12,-9)\), με μέτρο \(15\) και γωνία \(-36.87^\circ\). Η αντίστοιχη εμπέδηση Thevenin από την πλευρά των ακροδεκτών εξόδου είναι, όπως βρέθηκε, \(Z_{Th}=4.32-j5.76\ \Omega\).
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Υψιπερατό φίλτρο RC πρώτης τάξης: ο πυκνωτής \(C\) τοποθετείται σε σειρά με την είσοδο και η αντίσταση \(R\) από τον κόμβο εξόδου προς τη γείωση, με την έξοδο στα άκρα της \(R\). Στις χαμηλές συχνότητες ο πυκνωτής συμπεριφέρεται ως ανοιχτό κύκλωμα και η έξοδος τείνει στο μηδέν· στις υψηλές συχνότητες ο πυκνωτής πλησιάζει το βραχυκύκλωμα και η είσοδος μεταφέρεται σχεδόν ολόκληρη στην έξοδο.
Η συνάρτηση μεταφοράς είναι [ H(j\omega)=\frac{\mathbf V_o}{\mathbf V_{in}} =\frac{R}{R+\frac{1}{j\omega C}} =\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}. ] α) [ |H_V|=\frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}. ] Η συχνότητα αποκοπής ορίζεται από \(|H_V|=1/\sqrt2\), άρα [ \omega_0=\frac{1}{RC} ] ή [ f_0=\frac{1}{2\pi RC}. ]
β) Στη συχνότητα αποκοπής \(\omega_0\), [ |H_V(j\omega_0)|=\frac{1}{\sqrt2}. ] Για \(v_{in}=14.14\ \text{V}\approx 10\sqrt2\ \text{V}\), [ V_{o}=\frac{14.14}{\sqrt2}\approx 10\ \text{V}. ] Επίσης \(H(j\omega_0)=\frac{j}{1+j}=\frac{1}{\sqrt2}\angle45^\circ\), άρα η έξοδος προηγείται της εισόδου κατά \(45^\circ\). Αν \(v_{in}(t)=14.14\cos(\omega_0 t)\), τότε [ v_o(t)\approx 10\cos(\omega_0 t+45^\circ)\ \text{V}. ]
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Σε σειριακό RLC κύκλωμα: [ Z(j\omega)=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right), ] και το μέτρο του ρεύματος με rms τάση \(V\) είναι [ I(\omega)=\frac{V}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}. ] Η συχνότητα συντονισμού είναι [ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}. ] Τότε [ I_0=I(\omega_0)=\frac{V}{R}. ] Οι συχνότητες αποκοπής \(\omega_1,\omega_2\) ορίζονται από [ I(\omega_1)=I(\omega_2)=\frac{I_0}{\sqrt2}, ] δηλαδή από [ \omega L-\frac{1}{\omega C}=\pm R. ] Έτσι [ \omega_{1,2} =\sqrt{\omega_0^2+\left(\frac{R}{2L}\right)^2} \mp \frac{R}{2L}, ] με \(\omega_1<\omega_0<\omega_2\).
Η καμπύλη \(I(\omega)\) είναι κωδωνοειδής: μηδέν στα άκρα, μέγιστο \(I_0\) στο \(\omega_0\), και τιμή \(I_0/\sqrt2\) στα \(\omega_1,\omega_2\). Η μέση ισχύς στην αντίσταση είναι [ P(\omega)=I^2(\omega)R. ] Άρα [ P(\omega_0)=I_0^2R=\frac{V^2}{R}, ] και στις συχνότητες αποκοπής [ P(\omega_1)=P(\omega_2) =\left(\frac{I_0}{\sqrt2}\right)^2R =\frac{I_0^2R}{2} =\frac{P(\omega_0)}{2}. ] Αν χρησιμοποιείται πλάτος \(V_m\) αντί για rms τάση, αντικαθιστούμε \(V^2\) με \(V_m^2/2\).
β) Από τον ορισμό των decibel για ισχύ: [ L_{dB}=10\log_{10}\frac{P}{P_0}. ] Στις \(\omega_1,\omega_2\) ισχύει \(P/P_0=1/2\), άρα [ 10\log_{10}\frac{1}{2}\approx -3.01\ \text{dB}. ] Δηλαδή η απώλεια ισχύος στις συχνότητες αποκοπής είναι περίπου \(3\ \text{dB}\) ως προς τη μέγιστη ισχύ, ισοδύναμα κέρδος \(-3.01\ \text{dB}\).
γ) Η ολική σύνθετη αντίσταση σε μιγαδική μορφή είναι [ Z=R+jX,\qquad X=\omega L-\frac{1}{\omega C}, ] [ |Z|=\sqrt{R^2+X^2},\qquad \varphi=\arctan\frac{X}{R}. ] Η μιγαδική ισχύς είναι [ S=V I^*=P+jQ, ] με [ P=I^2R,\qquad Q=I^2X, ] και [ |S|=VI=I^2|Z|=\sqrt{P^2+Q^2}. ] Το τρίγωνο ισχύος έχει οριζόντια πλευρά την ενεργό ισχύ \(P\), κατακόρυφη πλευρά την άεργη ισχύ \(Q\) και υποτείνουσα τη φαινόμενη ισχύ \(|S|\). Η γωνία \(\varphi\) είναι η διαφορά φάσης τάσης–ρεύματος και [ pf=\cos\varphi=\frac{P}{|S|}=\frac{R}{|Z|}. ] Στη συχνότητα συντονισμού \(\omega_0\): [ X=0,\qquad Z=R,\qquad \varphi=0, ] άρα [ pf=\cos 0=1, ] και [ Q=0. ] Εκεί η τάση και το ρεύμα είναι συμφασικά, ενώ η πραγματική ισχύς είναι μέγιστη.
δ) Θεωρώ ότι η τιμή \(220\ \text{V}\) μιας πρίζας είναι ενεργός (rms) τιμή και ότι η συχνότητα του δικτύου είναι \(50\ \text{Hz}\). Τότε: [ V_{rms}=220\ \text{V}, ] [ V_m=220\sqrt2\approx311.1\ \text{V}, ] [ V_{pp}=2V_m\approx622.3\ \text{V}, ] [ T=\frac{1}{f}=\frac{1}{50}=0.02\ \text{s}=20\ \text{ms}. ] Μια ημιτονοειδής έκφραση είναι [ v(t)=220\sqrt2\sin(2\pi 50t)\ \text{V} \approx311.1\sin(314t)\ \text{V}. ] Σε μία περίοδο από \(0\) έως \(20\ \text{ms}\): μηδενισμοί στα \(0,10,20\ \text{ms}\), μέγιστο \(+311.1\ \text{V}\) στα \(5\ \text{ms}\) και ελάχιστο \(-311.1\ \text{V}\) στα \(15\ \text{ms}\).
Η ενεργός τιμή ορίζεται από τη θερμική ισοδυναμία: [ V_{rms}=\sqrt{\frac1T\int_0^T v^2(t)\,dt}. ] Είναι εκείνη η DC τάση που θα παρήγαγε στην ίδια αντίσταση την ίδια μέση ισχύ με την AC τάση: [ P_{avg}=\frac{V_{rms}^2}{R}. ] Για ημίτονο ισχύει [ V_{rms}=\frac{V_m}{\sqrt2}. ]