Ηλεκτρικά Κυκλώματα — Ιούλιος 2024¶
Μεταγραφή της φωτογραφίας 20240704_092058.jpg της εξέτασης Ιουλίου 2024.
20240704_092058.jpg¶
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ & ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ¶
Μην επαναλαμβάνετε τα ερωτήματα στο γραπτό σας, γράψτε μόνον τις απαντήσεις σας με την αντίστοιχη αρίθμηση. Οι απαντήσεις σας μπορεί να γραφούν με μολύβι.
Τα θέματα επιστρέφονται μαζί με το γραπτό σας. Αν λείπουν δεν βαθμολογείται το γραπτό.
1) Στο κύκλωμα του σχήματος να βρεθεί η σχέση που δίνει την διαφορά δυναμικού \(v_{ab}=v_a-v_b\), σαν συνάρτηση των 4 αντιστάσεων και της τάσης \(v_S\) της πηγής. [1/10]
[Σχήμα: Κύκλωμα γέφυρας Wheatstone συνδεδεμένο σε πηγή τάσης \(v_S\) μεταξύ κόμβου \(c\) και κόμβου αναφοράς (\(v=0\)). Δύο παράλληλοι κλάδοι: ο αριστερός με αντιστάσεις \(R_1, R_2\) και ενδιάμεσο κόμβο \(a\) (τάση \(v_a\)), ο δεξιός με \(R_3, R_x\) και ενδιάμεσο κόμβο \(b\) (τάση \(v_b\)).]
2) Σχεδιάστε ένα κύκλωμα Thevenin: α) δίχως σύνδεση σε φορτίο, που η τάση εξόδου \(v_o\) μετρείται στους ανοιχτούς ακροδέκτες και β) ένα Thevenin με σύνδεση σε φορτίο \(R\) που η \(v_o\) μετρείται στα άκρα της \(R\). Με τι ισούται η \(v_o\) στις περιπτώσεις (α) και (β); [1,4/10]
3) α) Σχεδιάστε ένα κύκλωμα Thevenin επιλέγοντας την αντίσταση του φορτίου ώστε να ισχύει η συνθήκη μέγιστης μεταφοράς ισχύος. β) Να βρεθεί η τάση εξόδου \(v_o\) στα άκρα του φορτίου. Πόση είναι η επί τοις εκατό απόδοση της τάσης στο φορτίο; [1/10]
4) Σχεδιάστε ένα κύκλωμα Norton: α) δίχως σύνδεση σε φορτίο, που η τάση εξόδου \(v_o\) μετρείται στους ανοιχτούς ακροδέκτες και β) ένα Norton με σύνδεση σε φορτίο \(R\) που η \(v_o\) μετρείται στα άκρα της \(R\). Με τι ισούται η \(v_o\) στις περιπτώσεις (α) και (β); [1/10]
5) α) Να μετατρέψετε τον μιγαδικό αριθμό: \(Z=4-j3\) σε μορφή φάσορα με μέτρο \(|Z|\) και γωνία φάσης \(\varphi\). Να κάνετε το ίδιο για τον μιγαδικό συζυγή του. β) Σχεδιάστε στο μιγαδικό επίπεδο (κύκλο) αυτά τα 2 διανύσματα. Ποιος μιγαδικός αριθμός αντιστοιχεί σε επαγωγικό και ποιος σε χωρητικό φορτίο; [1,2/10]
6) Πυκνωτής \(C\), αντίσταση \(R\) και πηνίο \(L\) συνδέονται σε σειρά με πηγή AC. α) Βρείτε την ολική σύνθετη αντίσταση \(Z_{o\lambda}\) για συχνότητα \(\omega\). β) Να γίνει στο μιγαδικό επίπεδο η αναπαράσταση όλων των σύνθετων αντιστάσεων, \(Z_R\), \(Z_L\), \(Z_C\), \(Z_{o\lambda}\), θεωρώντας ότι η \(Z_L < Z_C\). [2/10]
7) α) Για τιμή rms τάσης 110V πόση θα είναι η αντίστοιχη τιμή peak-to-peak; β) Να βρεθεί η εξίσωση \(i(t)\) για 50 Hz ημιτονοειδές ρεύμα που έχει τιμή rms 1 A. [1/10]
8) Από την συνθήκη αποκοπής ενός υψιπερατού φίλτρου RC (σχεδιάστε το κύκλωμα) με τάση εισόδου \(v_{in}=14,14\text{ V}\) να υπολογίσετε την τάση εξόδου του στην γωνιακή συχνότητα αποκοπής \(\omega_0\). [1,4/10]
Καλή επιτυχία.
Εξεταστής: [όνομα αφαιρέθηκε]
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (deepseek-flash), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2024-07¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Με τη συνήθη διάταξη της γέφυρας όπου \(R_1,R_3\) συνδέονται στον κόμβο της πηγής \(c\) και \(R_2,R_x\) στη γείωση, ο κόμβος \(a\) είναι διαιρέτης τάσης: [ v_a=v_S\frac{R_2}{R_1+R_2}, \qquad v_b=v_S\frac{R_x}{R_3+R_x}. ] Άρα [ v_{ab}=v_a-v_b =v_S\left(\frac{R_2}{R_1+R_2}-\frac{R_x}{R_3+R_x}\right) =v_S\frac{R_2R_3-R_1R_x}{(R_1+R_2)(R_3+R_x)}. ] Η γέφυρα ισορροπεί όταν \(R_2R_3=R_1R_x\), δηλαδή \(v_{ab}=0\).
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
(α) Χωρίς φορτίο: ιδανική πηγή τάσης \(V_{th}\) σε σειρά με \(R_{th}\), με τους ακροδέκτες ανοιχτούς. Επειδή δεν περνά ρεύμα, δεν υπάρχει πτώση τάσης στην \(R_{th}\): [ v_o=V_{th}. ] (β) Με φορτίο \(R\): η \(R\) συνδέεται στα άκρα της \(R_{th}\) και του \(V_{th}\). Το ρεύμα είναι [ i=\frac{V_{th}}{R_{th}+R}, ] οπότε [ v_o=iR=V_{th}\frac{R}{R_{th}+R}. ]
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Για μέγιστη μεταφορά ισχύος επιλέγεται [ R_L=R_{th}. ] Το κύκλωμα είναι Thevenin ισοδύναμο: πηγή \(V_{th}\) σε σειρά με \(R_{th}\) και φορτίο \(R_L=R_{th}\). Τότε το ρεύμα είναι \(i=V_{th}/(2R_{th})\) και η τάση στο φορτίο: [ v_o=iR_L=\frac{V_{th}}{2}. ] Η επί τοις εκατό απόδοση τάσης στο φορτίο είναι [ \frac{v_o}{V_{th}}\times100\%=50\%. ] (Και η απόδοση ισχύος στη μέγιστη μεταφορά ισχύος είναι επίσης \(50\%\).)
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Το Norton ισοδύναμο αποτελείται από πηγή ρεύματος \(I_N\) παράλληλα με αντίσταση \(R_N\).
(α) Χωρίς φορτίο, οι ακροδέκτες είναι ανοιχτοί· όλο το ρεύμα \(I_N\) περνά από την \(R_N\): [ v_o=I_NR_N. ] (β) Με φορτίο \(R\) παράλληλα προς την \(R_N\): [ v_o=I_N(R_N\parallel R) =I_N\frac{R_NR}{R_N+R}. ]
Θέμα 5¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Για \(Z=4-j3\): [ |Z|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5, \qquad \varphi=\arctan\frac{-3}{4}\approx-36.87^\circ. ] Άρα [ Z=5\angle -36.87^\circ. ] Ο μιγαδικός συζυγής είναι [ Z^*=4+j3=5\angle +36.87^\circ. ] Στο μιγαδικό επίπεδο, τα δύο σημεία βρίσκονται πάνω στον κύκλο ακτίνας \(5\): το \(4-j3\) στο τέταρτο τεταρτημόριο και το \(4+j3\) στο πρώτο. Το \(4+j3\) έχει θετική αντίδραση και αντιστοιχεί σε επαγωγικό φορτίο· το \(4-j3\) έχει αρνητική αντίδραση και αντιστοιχεί σε χωρητικό φορτίο.
Θέμα 6¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Για σειριακό συνδυασμό \(R,L,C\): [ Z_R=R, \qquad Z_L=j\omega L, \qquad Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}. ] Άρα [ Z_{o\lambda}=Z_R+Z_L+Z_C =R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right). ] Με την παραδοχή ότι \(Z_L<Z_C\) εννοείται ως μέτρα, δηλαδή \(\omega L<\frac{1}{\omega C}\), η συνολική αντίδραση είναι αρνητική. Στο μιγαδικό επίπεδο η \(Z_R\) είναι οριζόντιο διάνυσμα στον θετικό πραγματικό άξονα, η \(Z_L\) κατακόρυφο προς τα πάνω, η \(Z_C\) κατακόρυφο προς τα κάτω με μεγαλύτερο μέτρο από την \(Z_L\), και η \(Z_{o\lambda}\) είναι διανύσματα με θετικό πραγματικό μέρος και αρνητικό φανταστικό μέρος, δηλαδή στο τέταρτο τεταρτημόριο: [ Z_{o\lambda}=R-j\left(\frac{1}{\omega C}-\omega L\right). ]
Θέμα 7¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
(α) Για ημιτονοειδή τάση με ενεργό τιμή \(V_{\mathrm{rms}}=110\text{ V}\): [ V_m=\sqrt{2}V_{\mathrm{rms}}=110\sqrt{2}\approx155.56\text{ V}. ] Η τιμή peak-to-peak είναι [ V_{pp}=2V_m=2\sqrt{2}V_{\mathrm{rms}} =220\sqrt{2}\approx311.13\text{ V}. ] (β) Για \(f=50\text{ Hz}\) και \(I_{\mathrm{rms}}=1\text{ A}\): [ I_m=\sqrt{2}I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{2}\text{ A}, \qquad \omega=2\pi f=100\pi\text{ rad/s}. ] Θεωρώντας μηδενική αρχική φάση: [ i(t)=\sqrt{2}\sin(100\pi t)\ \text{A} \approx 1.414\sin(314t)\ \text{A}. ]
Θέμα 8¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Υψιπερατό φίλτρο RC: ο πυκνωτής \(C\) είναι σε σειρά με την είσοδο και η έξοδος λαμβάνεται στα άκρα της αντίστασης \(R\) προς τη γείωση. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι [ H(j\omega)=\frac{V_o}{V_{in}} =\frac{R}{R+\frac{1}{j\omega C}} =\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}. ] Η γωνιακή συχνότητα αποκοπής είναι [ \omega_0=\frac{1}{RC}. ] Στη συχνότητα αυτή: [ H(j\omega_0)=\frac{j}{1+j} \quad\Rightarrow\quad |H(j\omega_0)|=\frac{1}{\sqrt2}, \qquad \angle H(j\omega_0)=45^\circ. ] Επομένως, για \(v_{in}=14.14\text{ V}\) (θεωρούμε την ίδια τιμή rms ή peak με την έξοδο): [ |V_o|=\frac{14.14}{\sqrt2}=10\text{ V}. ] Με φάσορα εισόδου \(V_{in}=14.14\angle0^\circ\text{ V}\): [ V_o=10\angle45^\circ\text{ V}. ] Δηλαδή η τάση εξόδου έχει μέτρο \(10\text{ V}\) και προηγείται της εισόδου κατά \(45^\circ\) στη συχνότητα αποκοπής.