Ηλεκτρικά Κυκλώματα — Ιούνιος 2023 (Πιθανά θέματα)¶
Το REFINED PDF είναι η μεταγραφή του φύλλου «Πιθανά θέματα 2023». Το μη-REFINED PDF (λυμένη έκδοση) δεν μεταγράφεται εδώ· θα ληφθεί υπόψη στα λυμένα αρχεία.
HLEKTRIKA_KYKLWMATA_PITHANA_THEMATA_IOUNIOS_2023_REFINED.pdf¶
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2023 ΠΙΘΑΝΑ ΘΕΜΑΤΑ¶
(ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΔΙΑΛΕΞΗ [όνομα αφαιρέθηκε]) ΙΟΥΝΙΟΣ 2023 (REFINED VERSION)
Σχεδιάστε ένα κύκλωμα Thevenin: α) δίχως σύνδεση σε φορτίο, που η τάση εξόδου \(v_o\) μετρείται στους ανοιχτούς ακροδέκτες και β) ένα Thevenin με σύνδεση σε φορτίο \(R\) που η \(v_o\) μετρείται στα άκρα της \(R\). Με τι ισούται η \(v_o\) στις περιπτώσεις (α) και (β);
Σχεδιάστε ένα κύκλωμα Norton: α) δίχως σύνδεση σε φορτίο, που η τάση εξόδου \(v_o\) μετρείται στους ανοιχτούς ακροδέκτες και β) ένα Norton με σύνδεση σε φορτίο \(R\) που η \(v_o\) μετρείται στα άκρα της \(R\). Με τι ισούται η \(v_o\) στις περιπτώσεις (α) και (β);
α) Να μετατρέψετε τον μιγαδικό αριθμό: \(Z=3\text{-j}4\) σε μορφή φάσορα με μέτρο \(|Z|\) και γωνία φάσης \(\varphi\). Να κάνετε το ίδιο για τον μιγαδικό συζυγή του. β) Σχεδιάστε στο μιγαδικό επίπεδο (κύκλο) αυτά τα 2 διανύσματα. Ποιος μιγαδικός αριθμός αντιστοιχεί σε επαγωγικό και ποιος σε χωρητικό φορτίο;
Πυκνωτής \(C\), αντίσταση \(R\) και πηνίο \(L\) συνδέονται σε σειρά με πηγή AC. α) Βρείτε την ολική σύνθετη αντίσταση \(Z_{\text{ολ}}\) για συχνότητα \(\omega\). β) Να γίνει στο μιγαδικό επίπεδο η αναπαράσταση όλων των σύνθετων αντιστάσεων, \(Z_R\), \(Z_L\), \(Z_C\), \(Z_{\text{ολ}}\), θεωρώντας ότι η \(Z_L > Z_C\).
α) Για τιμή rms τάσης \(220\text{V}\) πόση θα είναι η αντίστοιχη τιμή peak-to-peak; β) Να βρεθεί η εξίσωση \(i(t)\) για \(60\text{ Hz}\) ημιτονοειδές ρεύμα που έχει τιμή rms \(10\text{ A}\).
α) Από την συνθήκη αποκοπής ενός υψιπερατού φίλτρου RL (σχεδιάστε το κύκλωμα) να υπολογίσετε τον τύπο για την γωνιακή συχνότητα αποκοπής \(\omega_0\). β) Αν η μέγιστη τάση εξόδου του υψιπερατού φίλτρου είναι \(14,14\text{ V}\), να βρείτε και να αιτιολογήσετε την τάση εξόδου του στην συχνότητα αποκοπής;
EXTRA ΣΧΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΦΟΡΜΗ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕ RL ΦΙΛΤΡΑ: ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ:
[Σχήμα: Διανυσματικό διάγραμμα στο μιγαδικό επίπεδο Im-Re]
ΥΨΙΠΕΡΑΤΟ:
[Σχήμα: Απόκριση υψιπερατού φίλτρου: |H(ω)| με τιμή 1/√2 στο ω/ω₀ = 1· η έξοδος σημειώνεται 14,14 V]
ΧΑΜΗΛΟΠΕΡΑΤΟ:
[Σχήμα: Απόκριση χαμηλοπερατού φίλτρου]
α) Να σχεδιάσετε το τρίγωνο ισχύος ενός AC κυκλώματος, ορίζοντας τα αντίστοιχα μεγέθη της κάθε πλευράς του, μαζί με τις μονάδες μέτρησης του καθενός. β) Να δείξετε στο σχήμα την γωνία που αντιστοιχεί στον συντελεστή ισχύος \(\text{pf}\) και από τον ορισμό του να εξηγήσετε ποια θα είναι η επιθυμητή τιμή του και τι σημαίνει \(\text{pf}=0\).
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ !!!
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις →
2023-06.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας):HLEKTRIKA_KYKLWMATA_PITHANA_THEMATA_IOUNIOS_2023.pdf
Λύσεις (🟡 community)
Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: λυμένη έκδοση PDF που ανέβηκε στο Discord (2024-08), με λύσεις των θεμάτων από τον πίνακα της διάλεξης
Προσοχή
Η λυμένη έκδοση είναι συμπιλημένη από φοιτητή και δεν έχει επιβεβαιωθεί από τον διδάσκοντα· το κείμενο προέρχεται από μεταγραφή (Gemini), όχι από έλεγχο των σελίδων. Σελίδα 7, ερώτημα β: η τάση 14,14 V αντιμετωπίζεται ως μέγιστη (πλάτος) και η λύση δίνει 10 V στο ω0· η έκφραση «V_rms = V_max/√2» δείχνει ότι η τιμή 10 V είναι το πλάτος της εξόδου στο ω0, όχι ενεργός τιμή, αν η εκφώνηση εννοεί το πλάτος. Σελίδες 8 και 10: τα σχήματα (διάγραμμα μιγαδικού επιπέδου, χαμηλοπερατό φίλτρο) περιγράφονται μόνο συνοπτικά στη μεταγραφή και δεν αναπαράγονται.
Λύσεις — 2023-06¶
HLEKTRIKA_KYKLWMATA_PITHANA_THEMATA_IOUNIOS_2023.pdf¶
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2023 ΠΙΘΑΝΑ ΘΕΜΑΤΑ¶
(ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΔΙΑΛΕΞΗ ΧΡΗΣΤΙΔΗ)¶
ΙΟΥΝΙΟΣ 2023¶
Σχεδιάστε ένα κύκλωμα Thevenin: α) δίχως σύνδεση σε φορτίο, που η τάση εξόδου \(v_0\) μετρείται στους ανοιχτούς ακροδέκτες και β) ένα Thevenin με σύνδεση σε φορτίο \(R\) που η \(v_0\) μετρείται στα άκρα της \(R\). Με τι ισούται η \(v_0\) στις περιπτώσεις (α) και (β);
α)
[Σχήμα: Ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin ανοικτού κυκλώματος με πηγή τάσης \(V_T\), αντίσταση \(R_T\), ρεύμα \(i=0\) και τάση \(v_0\) στους ανοικτούς ακροδέκτες]
Ανοιχτό κύκλωμα \(\Rightarrow i=0 \Rightarrow\) πτώση στην \(R_T\) είναι \(0\). Άρα \(V_T = v_0\)
β)
[Σχήμα: Κύκλωμα Thevenin συνδεδεμένο με φορτίο αντίστασης \(R\), πηγή \(V_T\), αντίσταση \(R_T\), ρεύμα \(i \neq 0\) και τάση εξόδου \(v_0\) στα άκρα της \(R\)]
Κλειστό κύκλωμα: \(i \neq 0\). Το \(i\) ίδιο στις \(R_T\) και \(R \Rightarrow\) σύνδεση σε σειρά \(\Rightarrow\) ΚΔΤ: $\(v_0 = \frac{R}{R_T + R} V_T\)$
Σχεδιάστε ένα κύκλωμα Norton: α) δίχως σύνδεση σε φορτίο, που η τάση εξόδου \(v_0\) μετρείται στους ανοιχτούς ακροδέκτες και β) ένα Norton με σύνδεση σε φορτίο \(R\) που η \(v_0\) μετρείται στα άκρα της \(R\). Με τι ισούται η \(v_0\) στις περιπτώσεις (α) και (β);
α)
[Σχήμα: Κύκλωμα Norton χωρίς φορτίο με πηγή ρεύματος \(I_N\), παράλληλη αντίσταση \(R_T\), ρεύμα \(i \neq 0\) και τάση εξόδου \(v_0=?\) στους ανοικτούς ακροδέκτες]
Κλειστό κύκλωμα μόνο στον 1ο βρόχο: \(i \neq 0\) Από τον νόμο Ohm: \(v_0 = I_N R_T\)
β)
[Σχήμα: Κύκλωμα Norton με φορτίο \(R\) παράλληλα συνδεδεμένο με την \(R_T\) και την πηγή ρεύματος \(I_N\), με τάση εξόδου \(v_0\)]
\(\rightarrow\) Νόμος του Ohm στη \(R\): \(v_0 = i \cdot R = \left[\frac{R_{o\lambda}}{R} I_N\right] R\) Οι \(R \parallel R_T \Rightarrow\) ίδια τάση \(v_0\) στα άκρα τους. Οι \(R \parallel R_T \Rightarrow\) ΚΔΡ: \(i = \frac{\frac{1}{R}}{\frac{1}{R} + \frac{1}{R_T}} I_N = \frac{R_{o\lambda}}{R} I_N\) $\(R_{o\lambda} = \frac{R \cdot R_T}{R + R_T} \quad \left(\frac{1}{R_{o\lambda}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R_T}\right)\)$
α) Να μετατρέψετε τον μιγαδικό αριθμό: \(Z = 3 - j4\) σε μορφή φάσορα με μέτρο \(|Z|\) και γωνία φάσης \(\varphi\). Να κάνετε το ίδιο για τον μιγαδικό συζυγή του. β) Σχεδιάστε στο μιγαδικό επίπεδο (κύκλο) αυτά τα 2 διανύσματα. Ποιος μιγαδικός αριθμός αντιστοιχεί σε επαγωγικό και ποιος σε χωρητικό φορτίο;
α) \(Z = 3 - j4\): \(|Z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) \(\varphi = \tan^{-1}\left(\frac{-4}{3}\right)\) \(\Rightarrow |Z|\angle \varphi \Rightarrow 5\angle \tan^{-1}\left(-\frac{4}{3}\right)\)
\(\bar{Z} = 3 + j4\): \(|\bar{Z}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) \(\varphi = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\) \(\Rightarrow |\bar{Z}|\angle \varphi \Rightarrow 5\angle \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)
β)
[Σχήμα: Μιγαδικό επίπεδο \(\text{Re}-\text{Im}\) που απεικονίζει τα διανύσματα \(3+j4\) και \(3-j4\)]
Για πυκνωτή \(Z_C = -\frac{j}{\omega C} < 0 \Leftrightarrow \varphi = -\frac{\pi}{2} < 0 \Rightarrow Z\ \text{έχει}\ \varphi < 0 \Rightarrow \text{χωρητικό}\) Για πηνίο \(Z_L = j\omega L > 0 \Leftrightarrow \varphi = +\frac{\pi}{2} > 0 \Rightarrow \bar{Z}\ \text{έχει}\ \varphi > 0 \Rightarrow \text{επαγωγικό}\)
Πυκνωτής \(C\), αντίσταση \(R\) και πηνίο \(L\) συνδέονται σε σειρά με πηγή AC. α) Βρείτε την ολική σύνθετη αντίσταση \(Z_{o\lambda}\) για συχνότητα \(\omega\). β) Να γίνει στο μιγαδικό επίπεδο η αναπαράσταση όλων των σύνθετων αντιστάσεων, \(Z_R, Z_L, Z_C, Z_{o\lambda}\), θεωρώντας ότι η \(Z_L > Z_C\).
α)
[Σχήμα: Κύκλωμα RLC σειράς στην περιοχή χρόνου με \(v(t)\), \(R\), \(L\), \(C\), \(i(t)\), και στην περιοχή συχνοτήτων με \(V(j\omega)\), \(Z_R=R\), \(Z_L=j\omega L\), \(Z_C=\frac{-j}{\omega C}\), \(I(j\omega)\)]
Οι \(Z_R, Z_L, Z_C\) ίδιο ρεύμα \(\Rightarrow\) σε σειρά \(\Rightarrow\) $\(Z_{o\lambda} = Z_R + Z_L + Z_C \Rightarrow\)$ $\(= R + j\omega L - \frac{j}{\omega C}\)$ $\(= R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)\)$ $\(x + j y\)$
β) \(Z_L > Z_C \Rightarrow X_L > X_C \Rightarrow \omega L > \frac{1}{\omega C}\)
[Σχήμα: Μιγαδικό επίπεδο με άξονες \(\text{Re}\) και \(\text{Im}\), που δείχνει τα \(Z_R=R\), \(Z_L=j\omega L\), \(Z_C=-\frac{j}{\omega C}\), τη διαφορά \((\omega L - \frac{1}{\omega C})\) και το διάνυσμα \(Z_{o\lambda}\) με γωνία \(\varphi\)]
α) Για τιμή rms τάσης 220V πόση θα είναι η αντίστοιχη τιμή peak-to-peak; β) Να βρεθεί η εξίσωση \(i(t)\) για 60 Hz ημιτονοειδές ρεύμα που έχει τιμή rms 10 A.
α)
[Σχήμα: Κυματομορφή τάσης \(v(t) = V_0 \cos(\omega t)\) με πλάτος \(V_0\), ενεργό τιμή \(V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \approx 0.707 V_0\), περίοδο \(T\), και τάση κορυφής με κορυφή \(V_{pp} = 2V_0\)]
\(V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \Rightarrow V_0 = \sqrt{2} V_{rms} = \sqrt{2} \cdot 220\text{ V}\) ενεργός τιμή τάσης \(V_{pp} = 2V_0 = 2\sqrt{2} \cdot 220\text{ V}\)
β) \(i(t) = I_0 \cos(\omega t \pm \varphi)\) Για \(\varphi = 0\) \(\omega = 2\pi f = 6.28 \cdot 60\text{ rad/s}\) \(I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \Rightarrow I_0 = \sqrt{2} I_{rms} = 10\sqrt{2}\text{ A}\) \(\Rightarrow i(t) = 10\sqrt{2} \cos(6.28 \cdot 60 t + 0)\)
α) Από την συνθήκη αποκοπής ενός υψιπερατού φίλτρου RL (σχεδιάστε το κύκλωμα) να υπολογίσετε τον τύπο για την γωνιακή συχνότητα αποκοπής \(\omega_0\). β) Αν η μέγιστη τάση εξόδου του υψιπερατού φίλτρου είναι 14,14 V, να βρείτε και να αιτιολογήσετε την τάση εξόδου του στην συχνότητα αποκοπής;
α)
[Σχήμα: Υψιπερατό φίλτρο RL με \(Z_R=R\) σε σειρά και \(Z_L=j\omega L\) παράλληλα στην έξοδο \(V_{out}(j\omega)\)]
Συνθήκη αποκοπής: \(|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{2}}\) \(H_v(j\omega) = \frac{V_{out}(j\omega)}{V_{in}(j\omega)}\) συνάρτηση απόκρισης συχνότητας Τα \(Z_R\) και \(Z_L\) ίδιο ρεύμα \(\Rightarrow\) σύνδεση σειράς \(\Rightarrow\) ΚΔΤ: \(V_{out}(j\omega) = \frac{Z_L}{Z_R + Z_L} V_{in}(j\omega) \Rightarrow\) \(V_{out} = \frac{j\omega L}{R + j\omega L} V_{in}\) (2) \(\Rightarrow H_v(j\omega) = \frac{j\omega L}{R + j\omega L}\) \(\Rightarrow |H_v| = \frac{|j\omega L|}{|R + j\omega L|} = \frac{\omega L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \omega_0 = \frac{R}{L}\)
β) \(\omega_0 \rightarrow V_{out} = V_{rms} = \frac{V_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{14.14}{1.414} = 10\text{ V}\)
[Σχήμα: Μιγαδικό επίπεδο στον πίνακα με άξονες \(\text{Re}\) και \(\text{Im}\), διανύσματα \(j\omega L \rightarrow \angle +\frac{\pi}{2}\), \(R\), και συνιστώσες \(x+j y\)]
υψιπερατό \((14.14\text{ V}) V_{out}(j\omega)\)
[Σχήμα: Καμπύλη απόκρισης συχνότητας \(|H_v|\) υψιπερατού φίλτρου συναρτήσει του \(\frac{\omega}{\omega_0}\), όπου για \(\frac{\omega}{\omega_0}=1\) είναι \(|H_v|=\frac{1}{\sqrt{2}}\), και για υψηλές συχνότητες τείνει στο \(+1\)] \(\rightarrow v = ?\)
[Σχήμα: Καμπύλη απόκρισης συχνότητας χαμηλοπερατού φίλτρου \(|H_v|\) συναρτήσει του \(\frac{\omega}{\omega_0}\), με μέγιστο \(+1\) για \(\omega=0\) και τιμή \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) στο \(\frac{\omega}{\omega_0}=1\)]
α) Να σχεδιάσετε το τρίγωνο ισχύος ενός AC κυκλώματος, ορίζοντας τα αντίστοιχα μεγέθη της κάθε πλευράς του, μαζί με τις μονάδες μέτρησης του καθενός. β) Να δείξετε στο σχήμα την γωνία που αντιστοιχεί στον συντελεστή ισχύος pf και από τον ορισμό του να εξηγήσετε ποια θα είναι η επιθυμητή τιμή του και τι σημαίνει pf=0.
α)
[Σχήμα: Τρίγωνο ισχύος με οριζόντια πλευρά \(P_{avg}\), κάθετη πλευρά \(Q\), υποτείνουσα \(S\), και γωνία \(\varphi\)] \(pf = \cos\varphi\)
\(S = V I^*\) μιγαδική ισχύς στο \(Z_{o\lambda}\) \(P_{avg} = \widetilde{V}\widetilde{I} = V_{rms} I_{rms} \cos\varphi \rightarrow\) πραγματική ισχύς στο \(R\) // μέση ισχύς \(Q = \tilde{I}^2 X \rightarrow\) άεργη ισχύς στο \(LC\)
Μονάδες: \(S \rightarrow \text{Volt Ampere (VA)}\), \(P_{avg} \rightarrow \text{Watt}\), \(Q \rightarrow \text{VAR}\)
β) \(pf = \cos\varphi \rightarrow\) για να μηδενίσω απώλειες στην \(Q\), πρέπει να γίνει \(Q=0 \Rightarrow \varphi=0 \Rightarrow pf = \cos\varphi = 1\) \(pf = \cos\varphi = 0 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{2} \Rightarrow P_{avg} = 0\) και όλη η ισχύς θα χάνεται στην άεργη αντίσταση \(X_L \vec{i}\ (Q)\)