Γενικά Μαθηματικά Ι — Ιούνιος 2025¶

Comp_Math_I_June_25_v1solutions.pdf¶

Μεταγραφή από το «Comp_Math_I_June_25_v1solutions.pdf» (σελ. 1-7). Μόνο οι εκφωνήσεις μεταγράφονται· οι λύσεις και τα σχόλια του αντιγράφου δεν περιλαμβάνονται.

Πανεπιστήμιο Πατρών – Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι¶

ΑΑΕΣ — 23 Ιουνίου 2025

Σημείωση: η φόρμα «Στοιχεία Εξεταζόμενου/ης» (επώνυμο, όνομα, αρ. μητρώου, έτος εισαγωγής, αίθουσα, στήλη, μονάδες) είναι κενή στο αντίγραφο και δεν μεταγράφεται.

Οδηγίες/Επεξηγήσεις

Στο διαγώνισμα υπάρχουν τριών ειδών ερωτήσεις.

Ερωτήσεις με την ένδειξη ■. Σε αυτά πρέπει να δώσετε τη λύση με ένα σύντομο υπολογισμό, ή δίχως αιτιολόγηση αν κρίνετε ότι δεν χρειάζεται.
Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό/Λάθος» ή πολλαπλής επιλογής και καλείσθε, μετά από ένα σύντομο έλεγχο να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.
Ερωτήσεις στις οποία καλείσθε να δώσετε μια πλήρη αλλά «οικονομική απόδειξη-λύση» για το ζητούμενο στο χώρο που παρέχεται.

Σε όλες τις περιπτώσεις συστήνεται και σε κάποιες επιβάλλεται να «δουλέψετε» κάθε ερώτηση ή υποερώτηση στο πρόχειρο ώστε η απάντησή σας να μην είναι τυχαία. Ερωτήσεις του τύπου 1 και 2 είναι ισοδύναμες.

Η διάρκεια της εξέτασης είναι 2 ώρες και 15 λεπτά. Η παράδοση των γραπτών αρχίζει 1 ώρα μετά από την έναρξη της εξέτασης.

Καλή Επιτυχία!

Σε οποιοδήποτε πρόβλημα με τριγωνομετρικές συναρτήσεις ο τριγωνομετρικός κύκλος δίνει πολλές πληροφορίες και αναμφισβήτητα βοηθάει.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί κάποιων γωνιών

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)

Θ1. Δίνεται η εξίσωση \(y' = \alpha x(\beta - y)\), όπου \(\alpha, \beta\) είναι θετικοί αριθμοί.

(αʹ) Να βρεθούν όλες οι λύσεις της εξίσωσης.
(βʹ) Αν η \(y\) είναι μια λύση να βρεθεί το όριο της \(y\), καθώς \(x \to \infty\).
(γʹ) Να βρεθεί η λύση με \(y(0) = y_0\).

Θ2. Υπολογίστε, ή δώστε την απάντηση

(αʹ) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{9n}\right)^{3n}\)
(βʹ) ■ Αν \(n \in \mathbb{N}\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x - x^n}{e^x + x^n}\)
(γʹ) Αν \(p > 0\), \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^p \ln x\)

Θ3. Αν \(a > 0\) και \(p > 1\) είναι πραγματικοί αριθμοί, να βρεθεί το μέγιστο διάστημα \(I_a\) ώστε

\[|(x+a)^p - (x-a)^p| > a\]

για όλα τα σημεία \(x\) του διαστήματος.

Θ4. Δίνεται η συνάρτηση

\[f(x) = x^2 - \ln x - 1, \qquad x > 0.\]

(αʹ) Να βρεθεί το πολυώνυμο Taylor 2ου βαθμού \(P_2(x)\) που προσεγγίζει την \(f(x)\) σε διάστημα γύρω από το \(x_0 = 1\).
(βʹ) Να εκτιμηθεί το μέγιστο σφάλμα της προσέγγισης της \(f(x)\) από το \(P_2(x)\) στο διάστημα \(\left(1 - \frac{1}{2},\ 1 + \frac{1}{2}\right)\).

Θ5. Υπολογίστε, ή δώστε την απάντηση.

(αʹ) Ένα σχήμα είναι χρήσιμο. Να βρεθούν όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί \(z = x + iy\) για τους οποίους ισχύει \(1 < |z - i| < 2\), και να περιγραφούν γεωμετρικά.
(βʹ) Αν \(z = 1 + \sqrt{3}\,i\), τότε
i. Η τριγωνομετρική μορφή του \(z\) είναι η
ii. Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί \(n\) ώστε \(z^n \in \mathbb{R}\).
(γʹ) Ένα τρίγωνο είναι χρήσιμο. Αν \(x > 0\) και \(z = 1 + xi\) εκφράστε ένα όρισμα \(\theta\) του \(z\) μέσω της arctan ως συνάρτηση του \(x\).
(δʹ) Βρείτε ένα μέγιστο διάστημα στο οποίο η σειρά \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (\cos x)^n\) συγκλίνει.
(εʹ) Αν η σειρά \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|\) συγκλίνει, τότε και η σειρά \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n^n\) συγκλίνει.
[ ] Σ (Σωστό)
[ ] Λ (Λάθος)

Θ6. Εξετάστε για ποιες τιμές της παραμέτρου \(p\) το παρακάτω ολοκλήρωμα συγκλίνει

\[\int_0^\infty \frac{x^{2p}}{x^{5p}+1}\,dx.\]

Θ7. Για \(t > 0\) θέτουμε

\[A(t) = \int_0^t x e^{-x^2}\,dx.\]

(αʹ) Υπολογίστε το \(\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{A(1+h) - A(1)}{h}\).
(βʹ) Υπολογίστε το \(A(t)\).
(γʹ) ■ \(\displaystyle\int_0^\infty x e^{-x^2}\,dx\)

Λύσεις (🟡 community)

Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: λυμένο αντίγραφο της εξέτασης «Comp_Math_I_June_25_v1solutions.pdf» (σύμφωνα με μήνυμα φοιτητή στο Discord (2026-05) είναι θέματα του Στεφανόπουλου με λύσεις· η προέλευση των λύσεων δεν επιβεβαιώνεται· λύσεις σε κόκκινο και πράσινο χρώμα)

Προσοχή

Το σώμα αντιγράφει όλο το text layer του λυμένου αντιγράφου, όχι μόνο τις λύσεις: οι λύσεις δεν διαχωρίζονται αξιόπιστα από τις εκφωνήσεις χωρίς οπτικό έλεγχο της σελίδας. Ο τύπος κάποιων ερωτήσεων λείπει από το text layer· όσα λείπουν δεν μπορούν να ελεγχθούν από το κείμενο.

Λύσεις — Γενικά Μαθηματικά Ι — Ιούνιος 2025¶

Το κείμενο αντιγράφεται αυτούσιο από το λυμένο αντίγραφο (text layer). Το text layer δεν διακρίνει τις εκφωνήσεις από τις λύσεις, γι' αυτό το σώμα περιέχει και εκφωνήσεις· οι λύσεις είναι τα τμήματα με κόκκινο ή πράσινο μελάνι στο PDF. Δεν έχει ελεγχθεί από διδάσκοντα.

Comp_Math_I_June_25_v1solutions.pdf¶

Πανεπιστηµιο Πατρων – Πολυτεχνικη Σχολη¶

Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι¶

ΑΑΕΣ¶

23 Ιουνίου 2025

Στοιχεία Εξεταζόµενου/ης

επωνυµο: ονοµα:
αρ. µητρωου: ετος εισαγωγης: . . . . . .
αιθουσα: ΑΦΕ στηλη: µοναδεσ:
Οδηγίες/Επεξηγήσεις
Στο διαγώνισµα υπάρχουν τριών ειδών ερωτήσεις.
1. Ερωτήσεις µε την ένδειξη ■. Σε αυτά πρέπει να δώσετε τη λύση µε ένα σύντοµο υπολογισµό,
ή δίχως αιτιολόγηση αν κρίνετε ότι δεν χρειάζεται.
2. Ερωτήσεις του τύπου ‘‘Σωστό/Λάθος’’ ή πολλαπλής επιλογής και καλείσθε, µετά από ένα
σύντοµο έλεγχο να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.
3. Ερωτήσεις στις οποία καλείσθε να δώσετε µια πλήρη αλλά ‘‘οικονοµική απόδειξη-λύση’’ για
το Ϲητούµενο στο χώρο που παρέχεται.
Σε όλες τις περιπτώσεις συστήνεται και σε κάποιες επιβάλλεται να ‘‘δουλέψετε’’ κάθε ερώτηση ή
υποερώτηση στο πρόχειρο ώστε η απάντησή σας να µην είναι τυχαία.
Ερωτήσεις του τύπου 1 και 2 είναι ισοδύναµες.
Η διάρκεια της εξέτασης είναι 2 ώρες και 15 λεπτά . Η παράδοση των γραπτών αρχίζει 1
ώρα µετά από την έναρξη της εξέτασης.
Καλή Επιτυχία!
Σε οποιοδήποτε πρόβληµα µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ο τριγωνοµετρικός κύκλος δίνει πολλές
πληροφορίες και αναµφισβήτητα ϐοηθάει.
Τριγωνοµετρικοί αριθµοί κάποιων γωνιών
x 0 π/ 6 π/ 4 π/ 3 π/ 2
cos x 1 √ 3 / 2 √ 2 / 2 1 / 2 0
sin x 0 1 / 2 √ 2 / 2 √ 3 / 2 1
ΕΣτ/ΤΜΗΥ&Π

Λύσεις και Σχόλια

Θ1. ∆ίνεται η εξίσωση y^′ = αx ( β − y ), όπου α, β είναι ϑετικοί αριθµοί.
(αʹ) Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις της εξίσωσης.

Η εξίσωση είναι χωριζοµένων µεταβλητών αλλά και γραµµική αφού

i. Ως χωριζοµένων µεταβλητών: Η y = β είναι µία λύση της εξίσωσης και για y̸ = β έχουµε

y^′ y^′ αx dx β − y⁼^{αx ⇒} � β − y^dx= � y^′ ⇒ αx dx � y − β^dx=⁻ � ⇒ ln |y − β| = −^α 2^{x_2 +}^c ⇒ y − β = ±e−α 2^x_2 e^c ⇒ y = β + Ce−^α 2^x_2 , όπου C = ±e^c . Σηµειώστε ότι η λύση y = β προκύπτει για C = 0. ii. Ως γραµµική: ΄Ενας ολοκληρωτικός παράγοντας για την (1) είναι η µ ( x ) = e α 2^x_2 , οπότε παλλαπλασιάζοντας την εξίσωση µε µ ( x ) έχουµε y′ e α 2^x_2 + yαxe α 2^x_2 = αβxe α 2^x_2 ⇒ ( ye α 2^x_2 )′ = αβxe α 2^x_2 = β ( e α 2^x_2 )′ ⇒ ye α 2^x_2 = βe α 2^x_2 + c ⇒ y = β + ce−α 2^x_2 Επειδή η εξίσωση είναι γραµµική, είτε το δούµε είτε όχι, οποιαδήποτε λύση προκύπτει από ένα γενικό τύπο λύσης, τη γενική λύση. Το c στη γραµµική δεν έχει κανένα περιορισµό, είναι µια σταθερά ολοκλήρωσης, και για c = 0 προκύπτει και η λύση y = β . Το C , στην πρεσέγγιση των χωριζοµένων µεταβλητών που είναι το ±e^c µπορεί να γίνει µηδέν ώστε να πάρουµε τη λύση y = β ; Παρατηρούµε ότι καθώς c →−∞ , το |C| γίνεται αυθαίρετα µικρό, οσοδήποτε κοντά στο 0. (ϐʹ) Αν η y είναι µια λύση να ϐρεθεί το όριο της y , καθώς x →∞ . Επειδή α > 0 έχουµε lim 2^x_2 ) = β + 0 = β. x→∞^y= x^lim →∞⁽^β+^ce−α (γʹ) Να ϐρεθεί η λύση µε y (0) = y 0. Επειδή y (0) = β + c = y 0 ⇒ c = y 0 − β

Θ2. Υπολογίστε, ή δώστε την απάντηση

e^x − xⁿ e^x (ϐʹ) ■ Αν n ∈ N, lim lim =¹⁻⁰ x→ + ∞ e^x + xⁿ⁼ x→ + ∞ 1 + 0^{= 1}, 1 +^xn e^x αφού xⁿ nxⁿ⁻¹ n ! lim lim = · · · = lim x→ + ∞ e^x= x→ + ∞ e^x x→ + ∞ e^{x= 0}. ln x 1 /x x^p (γʹ) Αν p > 0, lim = lim x→ 0+^xp_ln^x= x^lim → 0+ 1 x→ 0+ −p/x^p+1= x^lim → 0+ −p^{= 0}._ x^p Θ3. Αν a > 0 και p > 1 είναι πραγµατικοί αριθµοί, να ϐρεθεί το µέγιστο διάστηµα Ia ώστε | ( x + a )^p − ( x − a )^p | > a για όλα τα σηµεία x του διαστήµατος. Επειδή α > 0 έχουµε ότι x + α > x − α , για κάθε x ∈ R, εποµένως η έκφραση ( x − α )^p ορίζεται, για πραγµατικό p > 1, για x ≥ a . ΄Ετσι η ποσότητα ( x + a )^p − ( x − a )^p είναι ϑετική. Επιπλέον η συνάρτηση f ( x ) = x^p είναι παραγωγίσιµη στο (0 , + ∞ ) εποµένως από το ΘΜΤ έχουµε ότι για κάθε x > a | ( x + a )^p − ( x − a )^p | = ( x + a )^p − ( x − a )^p = pξ^{p1klzzwxh:0312 [( x + α_ ) − x− α )] _,_ για κποιο ξ ώστε x α < ξ < x + _α_ , ποµένως ϑέλουµε pξ^_p_ 2 α > α ⇔ ξkzwxh015_p−_1klzzwh:016 >¹ . 2 p_klzzwxh:0319⇔>} 21 p �1 / ( p− 1) Η τελευταία ανισότητα εξασφαλίζεται αν η µικρότερη δυνατή τιµή του ξ την ικανοποιεί, έτσι ϑέλουµε x− α > ⇒ x > α +� 21 p �1 / ( p−_1) � 21 p �1 /_( p− 1) κατά συνέπεια το Ϲητούµενο διάστηµα είναι το α + , + ∞ . � � 1 �1 / ( p− 1) �

Θ4. ∆ίνεται η συνάρτηση

(αʹ) Να ϐρεθεί το πολυώνυµο Taylor 2ου ϐαθµού P 2( x ) που προσεγγίζει την f ( x ) σε διάστηµα γύρω από το x 0 = 1.

Η συνάρτηση είναι super duper καλή στο (0 , + ∞ ), και το πολυώνυµο Taylor 2ου ϐαθµού που προσεγγίζει την συνάρτηση σε ένα διάστηµα γύρω από το x = 1, έστω (1 − δ, 1 + δ ) µε δ > 0, δίνεται από τη σχέση

και το µέγιστο δυνατό της |R 2( x ) | στο διάστηµα συµβαίνει εκεί όπου ο αριθµητής είναι ο µέγιστος δυνατός, για x = 3 / 2 και ο παρονοµαστής ο ελάχιστος δυνατός, για ξ = 1 / 2, έτσι

Κάτι ακόµα, η τρίτη παράγωγος της f είναι η f⁽³⁾ και όχι η f³ , ξηγηµένα πράγµατα, η τελευταία είναι δύναµη !

P 2( x ) = f (1) +^f′⁽¹⁾ ( x − 1)² . 1!⁽^{x −1) +}f′′ 2!⁽¹⁾ ΄Ετσι υπολογίζουµε f^′ ( x ) = 2 x −¹ f^′′ ( x ) = 2 +¹ x^, x² εποµένως f (1) = 0 , f^′ (1) = 1 , f^′′ (1) = 3 , εποµένως το Ϲητούµενο πολυώνυµο είναι το P 2( x ) = ( x − 1) +³ 2⁽^{x −1)2}. Κάτι ακόµα ηρωικοί απόγονοι ηρωικών προγόνων, το παραπάνω P 2( x ) είναι µια χαρά πολυώνυµο, που δείχνει ότι είναι ένα ανάπτυγµα γύρω από το x = 1. ∆εν χρειάζεται ντε και καλά να το γράψουµε στη µορφή P 2( x ) = ax² + bx + c. (ϐʹ) Να εκτιµηθεί το µέγιστο σφάλµα της προσέγγισης της f ( x ) από το P 2( x ) στο διάστηµα (1 − 1 / 2 , 1 + 1 / 2). Επειδή f ( x ) = P 2( x ) + R 2( x ) , όπου R 2( x ) =^f(3)(^ξ⁾ ( x − 1)³ , 3! µε ξ µεταξύ 1 και x , είναι το υπόλοιπο, η ακρίβεια της προσέγγισης καθορίζεται από το υπόλοιπο, µέσω της |f ( x ) − P 2( x ) | = |R 2( x ) | ≤ 1 / 2max <x< 3 / 2^|R_2(^x)|. Επειδή f⁽³⁾ ( x ) = −² x³,_ έπεται ότι R 2( x ) = −² 3! ξ³⁽^{_x −_1)3}

Θ5. Υπολογίστε, ή δώστε την απάντηση.
(αʹ) ΄Ενα σχήµα είναι χρήσιµο. Να ϐρεθούν όλοι οι µιγαδικοί αριθµοί z = x + iy για τους οποίους ισχύει 1 < |z − i| < 2, και να περιγραφούν γεωµετρικά.

Η σχέση |z − i| = ρ εκφράζει τον κύκλο κέντρου i και ακτίνας ρ , έτσι η δοσµένη σχέση εκφράζει όλους τους κύκλους κέντρου i και ακτίνες µεταξύ 1 και 2, ισοδύναµα τον δακτύλιο µε κέντρο το i , εσωτερική ακτίνα r = 1 και εξωτερική ακτίνα R = 2.

2 i
z = 1 + xi
i tan θ = x
1 ⇔ θ = arctan x = Arg z
θ
− 2 − 1 0 1 2

3 i 2 i i − 2 − 1 0 1 2 −i Σχήµα 1: Ο δακτύλιος 1 < |z − i| < 2. Βλέπε ΄Ασκηση 16 ϐ΄ από τις Ασκήσεις 2 στους µιγαδικούς. (ϐʹ) Αν z = 1 + √ 3 i , τότε i. Η τριγωνοµετρική µορφή του z είναι η ΄Εχουµε |z| = ~~�~~ 1² + ~~√~~ 3 ~~2~~ = 2, έτσι √ 3 z = 2 = 2 cos^π � 21⁺ 2 � � 3⁺^_i_sin^π 3 � από τον πίνακα στην πρώτη σελίδα. ii. Να ϐρεθούν όλοι οι ϕυσικοί αριθµοί n ώστε zⁿ ∈ R. Από τον τύπο του de Moivre ϐρίσκουµε zⁿ = 2ⁿ cos^π = 2ⁿ cos^nπ , � 3⁺^i_sin^π 3 � n � 3⁺^i_sin^nπ 3 � εποµένως zⁿ ∈ R αν και µόνο αν Im z = 0, ισοδύναµα sin^nπ k ∈ Z . 3^{= 0}⇔nπ 3⁼^{kπ⇔n= 3}^k, (γʹ) ΄Ενα τρίγωνο είναι χρήσιµο. Αν x > 0 και z = 1 + xi εκφράστε ένα όρισµα θ του z µέσω της arctan ως συνάρτηση του x .

Σχήµα 2: θ = Arg z .

Η σειρά είναι γεωµετρική, κατά συνέπεια συγκλίνει αν | cos x| < 1, και | cos x| = 1 αν και µόνα αν x = kπ , όπου το k είναι ακέραιος, 0 , ± 1 , ± 2 , . . . . ΄Ετσι ένα µεγιστικό διάστηµα σύγκλισης είναι το (0 , π ), ή ( π, 2 π ), ή ( −π, 0), γενικά ( kπ, ( k + 1) π ) µε k ακέραιο.

Αγαπητοί και αγαπητές, το R ∖ {kπ, k ∈ Z } , δεν είναι διάστηµα, είναι η ένωση όλων των ανοικτών διαστηµάτων ( kπ, ( k + 1) π ) µε k ακέραιο. Ξηγηθήκαµε ;

Το ολοκλήρωµα στα άκρα της ανισότητας είναι το

το οποίο συγκλίνει αν και µόνο αν 3 p > 1 ⇒ p > 1 / 3. ΄Επεται λοιπόν ότι το δοσµένο ολοκλήρωµα συγλίνει αν και µόνο αν p > 1 / 3 . Βλέπε ΄Ασκηση 19 από τις Ασκήσεις 10 & 11 στα ολοκληρώµατα.

Θ7. Για t > 0 ϑέτουµε

Πάντως το ολοκλήρωµα επιλέχθηκε ώστε να υπολογισθεί εύκολα χωρίς ειδικά ‘‘εργαλεία’’. Αγαπητοί, αγαπητές ϕροντίστε να καταλάβετε όλα αυτά τα στοιχεία που ϑα σας χρειασθούν και στη συνέχεια. Τώρα είναι η ώρα. Αν δεν ... ∆ΕΝ.

Καλό καλοκαίρι.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή