Γενικά Μαθηματικά Ι — Ιούνιος 2024¶

Μεταγραφή από το «ComMath I June 24 A sols.pdf» (5 σελίδες, λυμένο αντίγραφο). Μεταγράφεται μόνο η εκφώνηση (μαύρο κείμενο)· οι λύσεις και τα σχόλια σε κόκκινο χρώμα δεν περιλαμβάνονται.

ComMath I June 24 A sols.pdf¶

Πανεπιστήμιο Πατρών – Πολυτεχνική Σχολή · Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΑΑΕΣ · ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι · 25 Ιουνίου 2024

Πεδία ταυτοποίησης εξεταζομένου/ης (επώνυμο, όνομα, αρ. μητρώου, έτος εισαγωγής, αίθουσα, στήλη, μονάδες): δεν μεταγράφονται.

Οδηγίες/Επεξηγήσεις¶

Στο διαγώνισμα υπάρχουν τριών ειδών ερωτήσεις που απαρτίζουν έξι θέματα.

Ερωτήσεις με την ένδειξη ■. Σε αυτά πρέπει να δώσετε τη λύση με ένα σύντομο υπολογισμό, ή δίχως αιτιολόγηση αν κρίνετε ότι δεν χρειάζεται.
Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό/Λάθος» ή πολλαπλής επιλογής και καλείσθε, μετά από ένα σύντομο έλεγχο να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.
Ερωτήσεις στις οποίες καλείσθε να δώσετε μια πλήρη αλλά «οικονομική απόδειξη-λύση» για το ζητούμενο στο χώρο που παρέχεται.

Σε όλες τις περιπτώσεις συστήνεται και σε κάποιες επιβάλλεται να «δουλέψετε» κάθε ερώτηση ή υποερώτηση στο πρόχειρο ώστε η απάντησή σας να μην είναι τυχαία. Ερωτήσεις του τύπου 1 και 2 είναι ισοδύναμες.

Η διάρκεια της εξέτασης είναι 2 ώρες και 15 λεπτά. Η παράδοση των γραπτών αρχίζει 1 ώρα μετά από την έναρξη της εξέτασης.

Καλή Επιτυχία!

Σε οποιοδήποτε πρόβλημα με τριγωνομετρικές συναρτήσεις ο τριγωνομετρικός κύκλος δίνει πολλές πληροφορίες και αναμφισβήτητα βοηθάει.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί κάποιων γωνιών

$x$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\cos x$	$1$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1/2$	$0$
$\sin x$	$0$	$1/2$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{3}/2$	$1$

Θέμα 1¶

Θ1. Δώστε την απάντηση.

(αʹ) ■ $\lim_{N\to\infty}\arctan(e^{N}) = \ldots$
(βʹ) ■ $\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan(\sin x)}{x} = \ldots$
(γʹ) ■ $\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n+(n/2)}\right)^{n} = \ldots$
(δʹ) Αν $r \in \mathbb{R}$, και $\alpha = \ldots$ (συμπληρώστε) είναι το μέγιστο των ψηφίων του αριθμού μητρώου σας, πότε η σειρά $\sum_{n=0}^{\infty}(\alpha^{r})^{n}$ συγκλίνει;
[ ] i. Αν $r = 0$
[ ] ii. Αν $r < 0$
[ ] iii. Αν $r > 0$
[ ] iv. Για όλα τα $r$

■ Για τα $r$ για τα οποία συγκλίνει $\sum_{n=0}^{\infty}(\alpha^{r})^{n} = \ldots$

Θέμα 2¶

Θ2. Δίνεται η συνάρτηση

\[f(x) = \ln x - x + 2, \qquad x > 0.\]

(αʹ) Να βρεθεί το πολυώνυμο Taylor 2ου βαθμού $P_2$ που προσεγγίζει την $f$ σε διάστημα γύρω από το $x_0 = 1$.
(βʹ) Να εκτιμηθεί το μέγιστο σφάλμα της προσέγγισης της $f$ από το $P_2$ στο διάστημα $(1/2, 3/2)$.

Θέμα 3¶

Θ3. Αν $\alpha$ είναι το μέγιστο των ψηφίων του αριθμού μητρώου σας, να βρεθεί το μέγιστο διάστημα $I_\alpha$ ώστε

\[|e^{x+\alpha} - e^{x-\alpha}| > \alpha\]

για όλα τα σημεία $x$ του διαστήματος.

Θέμα 4¶

Θ4. Δίνεται η εξίσωση

\[\frac{dy}{dx} + \frac{\alpha}{x}\,y = 1, \qquad x > 0,\]

όπου $\alpha$ είναι το μέγιστο των ψηφίων του αριθμού μητρώου σας. Να βρεθούν όλες οι λύσεις της εξίσωσης.

Θέμα 5¶

Θ5. Για $t > 0$ και $L > 0$ θέτουμε

\[A_L(t) = \int_{0}^{L} x e^{-tx}\,dx.\]

[Σχήμα 1: άξονες $y$ και $x$· γράφημα της $f(x) = xe^{-tx}$ στο πρώτο τεταρτημόριο, με σκιασμένη την περιοχή μεταξύ 0 και $L$ στον άξονα $x$]

Σχήμα 1: $A_L(t) = $ Εμβαδόν σκιασμένης περιοχής.

(αʹ) ○ $L_1 < L_2 \Rightarrow A_{L_1}(t) < A_{L_2}(t)$.
(βʹ) ■ $\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{2h}\displaystyle\int_{L-h}^{L+h} x e^{-tx}\,dx = \ldots$
(γʹ) Υπολογίστε το $A_L(t)$.
(δʹ) ■ $\displaystyle\int_{0}^{\infty} x e^{-tx}\,dx = \ldots$

Θέμα 6¶

Θ6. Κυκλώστε κατάλληλα, ή δώστε την απάντηση.

(αʹ) ■ $e^{i\pi/4} = \ldots$
(βʹ) ○ $e^{x+iy} = e^{x}e^{i(y+2k\pi)}$, όπου $k$ είναι φυσικός αριθμός.
(γʹ) ■ $|e^{x+iy}| = \ldots$
(δʹ) ■ $(1-i)^{16} = \ldots$
(εʹ) ○ Αν η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ συγκλίνει, τότε και η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n}{2+\cos(a_n)}$ συγκλίνει.
(ϛʹ) ■ Αν η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ συγκλίνει, τότε $\lim_{n\to\infty} e^{-a_n} = \ldots$

Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις → 2024-06.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας): ComMath_I_June_24_A_sols.pdf

Λύσεις (🟡 community)

Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: λυμένο αντίγραφο της εξέτασης «ComMath I June 24 A sols.pdf» (σύμφωνα με μήνυμα φοιτητή στο Discord (2026-05) είναι θέματα του Στεφανόπουλου με λύσεις· η προέλευση των λύσεων δεν επιβεβαιώνεται· λύσεις σε κόκκινο χρώμα)

Προσοχή

Το σώμα αντιγράφει όλο το text layer του λυμένου αντιγράφου, όχι μόνο τις λύσεις: οι λύσεις δεν διαχωρίζονται αξιόπιστα από τις εκφωνήσεις χωρίς οπτικό έλεγχο της σελίδας. Οι τύποι της Θ2 και της Θ4 λείπουν από το text layer· όσα λείπουν δεν μπορούν να ελεγχθούν από το κείμενο. Υπάρχει δεύτερο αντίγραφο με διαφορετικό μέγεθος αρχείου (ComMath_I_June_24_A_sols.pdf)· δεν συγκρίθηκε το περιεχόμενό του.

Λύσεις — Γενικά Μαθηματικά Ι — Ιούνιος 2024¶

Το κείμενο αντιγράφεται αυτούσιο από το λυμένο αντίγραφο (text layer). Το text layer δεν διακρίνει τις εκφωνήσεις από τις λύσεις, γι' αυτό το σώμα περιέχει και εκφωνήσεις· οι λύσεις είναι τα τμήματα με κόκκινο μελάνι στο PDF. Δεν έχει ελεγχθεί από διδάσκοντα.

ComMath I June 24 A sols.pdf¶

Πανεπιστηµιο Πατρων – Πολυτεχνικη Σχολη¶

Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι¶

ΑΑΕΣ¶

25 Ιουνίου 2024

Στοιχεία Εξεταζόµενου/ης

επωνυµο:	ονοµα:
αρ. µητρωου:	ετος εισαγωγης: . . . . . .
αιθουσα: ΑΦΕ	στηλη: µοναδεσ: 116
ΕΣτ Οδηγίες/Επεξηγήσεις Στο διαγώνισµα υπάρχου 1. Ερωτήσεις µε την έ ή δίχως αιτιολόγησ 2. Ερωτήσεις του τύπ σύντοµο έλεγχο να 3. Ερωτήσεις στις οπο το Ϲητούµενο στο χ Σε όλες τις περιπτώσεις υποερώτηση στο πρόχειρ Ερωτήσεις του τύπου Η διάρκεια της εξέταση ώρα µετά από την έναρξη Καλή Επιτυχία! Σε οποιοδήποτε πρόβληµα πληροφορίες και αναµφισβ	/ΤΜΗΥ& ν τριών ειδών ερωτήσεις που απαρτίζουν έξι ϑέµατα. νδειξη■. Σε αυτά πρέπει να δώσετε τη λύση µε ένα σύντοµο υπολογισµό, η αν κρίνετε ότι δεν χρειάζεται. 5 µοναδες η καθεµια. ου ‘‘Σωστό/Λάθος’’ ή πολλαπλής επιλογής και καλείσθε, µετά από ένα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. 4 µοναδες η καθεµια. ία καλείσθε να δώσετε µια πλήρη αλλά ‘‘οικονοµική απόδειξη-λύση’’ για ώρο που παρέχεται. 10 µοναδες η καθεµια. συστήνεται και σε κάποιες επιβάλλεται να ‘‘δουλέψετε’’ κάθε ερώτηση ή ο ώστε η απάντησή σας να µην είναι τυχαία. 1 και 2 είναι ισοδύναµες. ς είναι 2 ώρες και 15 λεπτά. Η παράδοση των γραπτών αρχίζει 1 της εξέτασης. µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ο τριγωνοµετρικός κύκλος δίνει πολλές ήτητα ϐοηθάει. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί κάποιων γωνιών

Τριγων	οµε	τρικοί α	ριθµοί κ	άποιων γ	ωνιών
x	0	_π/_6	_π/_4	_π/_3	_π/_2
cos_x_	1	~~√~~ 3_/_2	~~√~~ 2_/_2	1_/_2	0
sin_x_	0	1_/_2	~~√~~ 2_/_2	~~√~~ 3_/_2	1

Λύσεις και Σχόλια

Θ1. ∆ώστε την απάντηση.

Θ2. ∆ίνεται η συνάρτηση

(αʹ) Να ϐρεθεί το πολυώνυµο Taylor 2ου ϐαθµού P 2 που προσεγγίζει την f σε διάστηµα γύρω από το x 0 = 1.

Το πολυώνυµο Taylor 2ου ϐαθµού P 2 που προσεγγίζει την f γύρω από το σηµείο x 0 = 1 είναι

έτσι υπολογίζοντας

ϐρίσκουµε

για όλα τα ξ στο διάστηµα ( x − − α, x + α ),, γεγονός που επιβάλλει να ισχύει x − − α > − ln 2,, ισοδύναµα x > α − ln 2. ΄Ετσι το Ϲητούµενο µέγιστο διάστηµα είναι το ( α − ln 2 , + ∞ ).

Θ4. ∆ίνεται η εξίσωση

όπου α είναι το µέγιστο των ψηφίων του αριθµού µητρώου σας. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις της εξίσωσης.

(ϐʹ) Να εκτιµηθεί το µέγιστο σφάλµα της προσέγγισης της f από το P 2 στο διάστηµα (1 / 2 , 3 / 2). Σύµφωνα µε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής Taylor έχουµε για κάποιο ξ µεταξύ ένα (το κέντρο του διαστήµατος) και x 2 f ( x ) − P 2( x ) = R 2( x ) = 3! ξ³⁽^{_x −1)3} εποµένως έχουµε 2 |f ( x ) − P 2( x ) | ≤ x,ξ∈ max[1 / 2 , 3 / 2] �� 3! ξ³⁽^{x −1)3} �� 1 = 3(1 / 2)³ � 23−1 �3 (max x & min ξ ) =¹ 3._ Θ3. Αν α είναι το µέγιστο των ψηφίων του αριθµού µητρώου σας, να ϐρεθεί το µέγιστο διάστηµα Iα ώστε |e^x+^α − e^x−α | > α για όλα τα σηµεία x του διαστήµατος. Από το Θεώρηµα Μέσης Τιµής έχουµε e^t − e^s = e^ξ ( t − s ) , για κάποιο ξ µεταξύ t και s έτσι για t = x + α και s = x − α ϐρίσκουµε |e^x+^α − e^x−α | = e^ξ 2 α, x − α < ξ < x + α εποµένως για να ισχύει η δοσµένη σχέση ϑα πρέπει να ισχύει e^ξ 2 α > α ⇔ e^ξ >¹ 2⇔ξ> −_ln 2 για όλα τα ξ στο διάστηµα ( x − − α, x + α ),, γεγονός που επιβάλλει να ισχύει x − − α > − ln 2,,

Η εξίσωση είναι γραµµική, και για να ϐρούµε τον ολοκληρωτικό παράγοντα µ = µ ( x ) πολλαπλασιάζουµε την εξίσωση µε την µ και ϐρίσκοντας

άρα η σειρά^�^∞ n =1 2+cos( an an )^{συγκλίνειαπολύτως,άρασυγκλίνει.}

αφού από τη σύγκλιση της σειράς έχουµε ότι an → 0, καθώς n →∞ .

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή

\(x\)	\(0\)	\(\pi/6\)	\(\pi/4\)	\(\pi/3\)	\(\pi/2\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\sqrt{3}/2\)	\(\sqrt{2}/2\)	\(1/2\)	\(0\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt{2}/2\)	\(\sqrt{3}/2\)	\(1\)