Γενικά Μαθηματικά Ι — Ιούνιος 2023

Μεταγραφή από το «Math I June 23 A12solutions.pdf» (7 σελίδες, λυμένο αντίγραφο). Μεταγράφεται μόνο η εκφώνηση (μαύρο κείμενο)· οι λύσεις και οι εναλλακτικές εκδοχές σε χρώμα δεν περιλαμβάνονται.

Math I June 23 A12solutions.pdf

Πανεπιστήμιο Πατρών – Πολυτεχνική Σχολή · Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΑΑΕΣ · ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι · 27 Ιουνίου 2023 · Κωδικός εντύπου: 1β/22-23

Πεδία ταυτοποίησης εξεταζομένου/ης (επώνυμο, όνομα, αρ. μητρώου, έτος εισαγωγής, αίθουσα, στήλη, μονάδες): δεν μεταγράφονται.

Οδηγίες/Επεξηγήσεις

Στο διαγώνισμα υπάρχουν τριών ειδών ερωτήσεις που απαρτίζουν έξι θέματα.

1. Ερωτήσεις με την ένδειξη ■. Σε αυτά πρέπει να δώσετε τη λύση με ένα σύντομο υπολογισμό, ή δίχως αιτιολόγηση αν κρίνετε ότι δεν χρειάζεται.
2. Ερωτήσεις με την ένδειξη ○. Αυτά είναι ερωτήματα του τύπου σωστό/λάθος και καλείσθε να γράψετε στον κύκλο «Σ» για σωστό ή «Λ» για λάθος.
3. Ερωτήσεις στις οποίες καλείσθε να δώσετε μια πλήρη αλλά «οικονομική απόδειξη-λύση» για το ζητούμενο στο χώρο που παρέχεται.

Σε όλες τις περιπτώσεις συστήνεται και σε κάποιες επιβάλλεται να «δουλέψετε» κάθε ερώτηση ή υποερώτηση στο πρόχειρο ώστε η απάντησή σας να μην είναι τυχαία. Ερωτήσεις του τύπου 1 και 2 είναι ισοδύναμες.

Η διάρκεια της εξέτασης είναι 2 ώρες. Η παράδοση των γραπτών αρχίζει 1 ώρα μετά από την έναρξη της εξέτασης.

Καλή Επιτυχία!

Σε οποιοδήποτε πρόβλημα με τριγωνομετρικές συναρτήσεις ο τριγωνομετρικός κύκλος δίνει πολλές πληροφορίες και αναμφισβήτητα βοηθάει.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί κάποιων γωνιών

\(x\)	\(0\)	\(\pi/6\)	\(\pi/4\)	\(\pi/3\)	\(\pi/2\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\sqrt{3}/2\)	\(\sqrt{2}/2\)	\(1/2\)	\(0\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt{2}/2\)	\(\sqrt{3}/2\)	\(1\)

Θέμα 1

Θ1. Δώστε την απάντηση.

■ \(\lim_{N\to\infty}\int_{-N}^{N}\frac{1}{1+kx^2}\,dx = \ldots\), όπου \(k = 2,\ 3\).

■ \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\tan x)}{x} = \ldots\)

■ \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{k}{n+m}\right)^{n} = \ldots\), όπου \(k, m\) είναι σταθεροί φυσικοί αριθμοί.

■ Αν \(z\) είναι μιγαδικός αριθμός και \(|z-i| = |z-1|\), τότε \(z = \ldots\)

■ Εάν \(a \in \mathbb{R}\), η σειρά \(\sum_{n=0}^{\infty}(4a^2)^{-n/2}\) συγκλίνει αν και μόνο αν \(\ldots\)

■ \(\int_{1}^{\infty}\frac{1+\sqrt[3]{x}}{x^{p}}\,dx < \infty\) αν και μόνο αν \(p \ldots\)

Θέμα 2

Θ2. Δίνεται η συνάρτηση \(f(x) = 1 \pm a\cos x\), όπου \(a \neq 0\).

• (αʹ) Να βρεθεί το πολυώνυμο Taylor 2ου βαθμού \(P_2\) που προσεγγίζει την \(f\) σε ένα διάστημα \((-\epsilon, \epsilon)\).
• (βʹ) Να εκτιμηθεί το μέγιστο σφάλμα της προσέγγισης της \(f\) από το \(P_2\) στο διάστημα \((-\pi/4, \pi/4)\).

Θέμα 3

Θ3. Γράψτε Σ για σωστό ή Λ για λάθος στο λευκό κυκλάκι.

• ○ Αν \(0 < a < b\), τότε \(\int_0^L \ln(a+x)\,dx \le \int_0^L \ln(b+x)\,dx\), για κάθε \(L > 0\).
• ○ Αν η σειρά \(\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|\) συγκλίνει, τότε και η σειρά \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{1+\sqrt{|a_n|}}\) συγκλίνει.
• ○ Αν η \(f\) είναι συνεχής, \(f \ge 0\) και \(f(x) \to 0\), καθώς \(x \to \infty\), τότε \(\int_{1}^{\infty}\frac{f(x)}{x^{2/3}}\,dx < \infty\).
• ○ Η σειρά \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\pi)}{n^{p}}\) συγκλίνει αν και μόνο αν \(p > 1\).
• ○ \(\left|\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(a+x)\,dx\right| \le \pi\), για κάθε \(a \in \mathbb{R}\).
• ○ Αν ο \(z\) είναι μιγαδικός αριθμός, τότε \(|e^{z}| \le e^{|z|}\).

Θέμα 4

Θ4. Δίνεται η εξίσωση \(\dfrac{dy}{dx} = y(\alpha - y)\), όπου \(\alpha\) είναι το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του αριθμού μητρώου σας.

• (αʹ) Σε ένα γράφημα δώστε τη συμπεριφορά των λύσεων, καθώς \(x \to +\infty\), ανάλογα με την αρχική συνθήκη \(y(0) = y_0\).
• (βʹ) Να βρεθούν όλες οι λύσεις της εξίσωσης.

Θέμα 5

Θ5. Ένα σχήμα είναι χρήσιμο. Εάν \(x > 0\), ορίζουμε \(z = x + i\).

[Σχήμα: άξονες \(x\) και \(iy\)· στον άξονα \(iy\) σημείο \(i\), στον άξονα \(x\) τα σημεία \(x_1\) και \(x_2\) με διακεκομμένες κάθετες]

• (αʹ) ■ \(|z| = \ldots\), από το σχήμα.
• (βʹ) ■ Αν \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\), τότε
• i. \(r = \ldots\)
• ii. \(\cos\theta = \ldots\), από το ορθογώνιο τρίγωνο.
• iii. \(\sin\theta = \ldots\), από το ορθογώνιο τρίγωνο.
• (γʹ) ■ \(\lim_{x\to+\infty}\mathrm{Arg}(z) = \ldots\), από το σχήμα. Η γωνία μικραίνει καθώς \(x \to \infty\).
• (δʹ) ■ Η εκθετική μορφή (\(z = re^{i\theta}\)) του \(z\) είναι \(z = \ldots\), από το προηγούμενο βήμα.

Θέμα 6

Θ6. Να βρεθεί ανοικτό διάστημα μέγιστου μήκους ώστε

\[\left|\cos x - \cos y\right| > \frac{1}{2}\,|x-y|\]

για όλα τα σημεία \(x, y\) του διαστήματος.

Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις → 2023-06.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας): Math_I_June_23_A12solutions.pdf

Λύσεις (🟡 community)

Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: λυμένο αντίγραφο της εξέτασης «Math I June 23 A12solutions.pdf» (σύμφωνα με μήνυμα φοιτητή στο Discord (2026-05) είναι θέματα του Στεφανόπουλου με λύσεις· η προέλευση των λύσεων δεν επιβεβαιώνεται· λύσεις σε μπλε χρώμα)

Προσοχή

Το σώμα αντιγράφει όλο το text layer του λυμένου αντιγράφου, όχι μόνο τις λύσεις: οι λύσεις δεν διαχωρίζονται αξιόπιστα από τις εκφωνήσεις χωρίς οπτικό έλεγχο της σελίδας. Υπάρχουν δύο πανομοιότυπα αντίγραφα του ίδιου αρχείου (Math_I_June_23_A12solutions.pdf)· χρησιμοποιήθηκε μόνο το ένα για να μην διπλασιαστεί το κείμενο.

Λύσεις — Γενικά Μαθηματικά Ι — Ιούνιος 2023

Το κείμενο αντιγράφεται αυτούσιο από το λυμένο αντίγραφο (text layer). Το text layer δεν διακρίνει τις εκφωνήσεις από τις λύσεις, γι' αυτό το σώμα περιέχει και εκφωνήσεις· οι λύσεις είναι τα τμήματα με μπλε μελάνι στο PDF. Δεν έχει ελεγχθεί από διδάσκοντα.

Math I June 23 A12solutions.pdf

Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης

ΑΑΕΣ

Πανεπιστηµιο Πατρων – Πολυτεχνικη Σχολη

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

27 Ιουνίου 2023

1β/22-23

Στοιχεία Εξεταζόµενου/ης
επωνυµο: ονοµα:
αρ. µητρωου: ετος εισαγωγης: 2023
αιθουσα: ΑΦΕ στηλη: µοναδεσ:

Οδηγίες/Επεξηγήσεις

Στο διαγώνισµα υπάρχουν τριών ειδών ερωτήσεις που απαρτίζουν έξι ϑέµατα.

1. Ερωτήσεις µε την ένδειξη ■. ■.. Σε αυτά πρέπει να δώσετε τη λύση µε ένα σύντοµο υπολογισµό, ή δίχως αιτιολόγηση αν κρίνετε ότι δεν χρειάζεται.

2. Ερωτήσεις µε την ένδειξη . Αυτά είναι ερωτήµατα του τύπου σωστό/λάθος και καλείσθε να γράψετε στον κύκλο ‘‘Σ’’ για σωστό ή ‘‘Λ’’ για λάθος.

3. Ερωτήσεις στις οποία καλείσθε να δώσετε µια πλήρη αλλά ‘‘οικονοµική απόδειξη-λύση’’ για το Ϲητούµενο στο χώρο που παρέχεται.

Σε όλες τις περιπτώσεις συστήνεται και σε κάποιες επιβάλλεται να ‘‘δουλέψετε’’ κάθε ερώτηση ή υποερώτηση στο πρόχειρο ώστε η απάντησή σας να µην είναι τυχαία. Ερωτήσεις του τύπου 1 και 2 είναι ισοδύναµες.

• Η διάρκεια της εξέτασης είναι 2 ώρες . Η παράδοση των γραπτών αρχίζει 1 ώρα µετά από την έναρξη της εξέτασης.

Σε οποιοδήποτε πρόβληµα µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ο τριγωνοµετρικός κύκλος δίνει πολλές πληροφορίες και αναµφισβήτητα ϐοηθάει.

Τριγωνοµετρικοί αριθµοί κάποιων γωνιών
x 0 π/ 6 π/ 4 π/ 3 π/ 2
cos x 1 √ 3 / 2 √ 2 / 2 1 / 2 0
sin x 0 1 / 2 √ 2 / 2 √ 3 / 2 1

ονοµα: µητρωου: ετος εισαγωγης: 2023 αιθουσα: ΑΦΕ στηλη: µοναδεσ: Οδηγίες/Επεξηγήσεις διαγώνισµα υπάρχουν τριών ειδών ερωτήσεις που απαρτίζουν έξι ϑέµατα. 1. Ερωτήσεις µε την ένδειξη ■. ■.. Σε αυτά πρέπει να δώσετε τη λύση µε ένα σύντοµο υπολογισµό, ή δίχως αιτιολόγηση αν κρίνετε ότι δεν χρειάζεται. 2. Ερωτήσεις µε την ένδειξη . Αυτά είναι ερωτήµατα του τύπου σωστό/λάθος και καλείσθε να γράψετε στον κύκλο ‘‘Σ’’ για σωστό ή ‘‘Λ’’ για λάθος. 3. Ερωτήσεις στις οποία καλείσθε να δώσετε µια πλήρη αλλά ‘‘οικονοµική απόδειξη-λύση’’ το Ϲητούµενο στο χώρο που παρέχεται. όλες τις περιπτώσεις συστήνεται και σε κάποιες επιβάλλεται να ‘‘δουλέψετε’’ κάθε ερώτηση υποερώτηση στο πρόχειρο ώστε η απάντησή σας να µην είναι τυχαία. Ερωτήσεις του τύπου 1 και 2 είναι ισοδύναµες. διάρκεια της εξέτασης είναι 2 ώρες . Η παράδοση των γραπτών αρχίζει 1 ώρα µετά από έναρξη της εξέτασης. Καλή Επιτυχία! οποιοδήποτε πρόβληµα µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ο τριγωνοµετρικός κύκλος δίνει πολλές

Λύσεις. Σύµπτυξη διαφορετικών εκδοχών

Θ1. ∆ώστε την απάντηση.

1
■ lim , όπου k = 2 , 3.
N →∞ � −NN 1 + kx 2 d x = √ π k
1
Γνωρίζουµε ότι (arctan x ) ′ = 1 + x 2 > 0 και
y
1 f ( x ) = 1+1 x 2
a 0 b x
εποµένως
1
� ab 1 + x 2 d x = arctan b − arctan a,
κατά συνέπεια
√k
1 1 1 1 1 1
� −NN 1 + kx 2 d x = � −NN 1 + ( √ kx ) 2 d x = √ k � −NN √k 1 + y 2 d y → √ k � −∞∞ 1 + y 2 d y
= √ π k .
αφού arctan( ±∞ ) = ±π/ 2.
sin(tan x ) sin(tan x ) tan x sin(tan x ) sin x 1
■ lim = lim = lim
x→ 0 x x→ 0 tan x x x→ 0 tan x x cos x = 1.
k
■ lim 1 + = e k , όπου k, m είναι σταθεροί ϕυσικοί αριθµοί.
n→∞ � n + m � n
Γνωρίζουµε ότι lim 1 + k = e k , εποµένως
n→∞ � n � n
k k 1
�1 + n + m � n = �1 + n + m � n + m k 1 = ek
1 +
� n + m � m → e k 1
■ Αν z είναι µιγαδικός αριθµός και |z − i| = |z − 1 | , τότε z = x + ix µε x ∈ R.
iy
z = x + ix
i
0 1 x
ΕΣ@ΤΜΗΥΠ

Οι Ϲητούµενοι µιγαδικοί αριθµοί ϐρίσκονται πάνω στη µεσοκάθετο του τµήµατος µε άκρα τους αριθµούς 1 και i , που είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία 0, 1 και i , άρα η µεσοκάθετος είναι η διχοτόµος y = x .

που είναι γεωµετρική σειρά άρα συγκλίνει αν και µόνο αν 1 / (2 |a| ) < 1 ισοδύναµα αν και µόνο αν |a| > 1 / 2.

• Θ2. ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 1 ± a a cos x , όπου a̸̸ = 0..

• (αʹ) Να ϐρεθεί το πολυώνυµο Taylor 2ου ϐαθµού P 2 που προσεγγίζει την f σε ένα διάστηµα ( −ϵ, ϵϵ, ϵ )..

• (ϐʹ) Να εκτιµηθεί το µέγιστο σφάλµα της προσέγγισης της f από το P 2 στο διάστηµα ( στο διάστηµα ( ( −π/π/ 4 , π/ 4). Αν R 2(( x ) είναι το υπόλοιπο Taylor, τότε f ( x ) − P 2(( x ) = R 2(( x ) για κάθε x ∈ ( −π/π/ 4 , π/ 4), ισοδύναµα

Σηµείωση:

Βλέπε ∆ιάλεξη 07 σελίδες 30,31.

1 x^p 1 +^√ 3 x 1 x^1/3 1 1 d x = �1 ∞ x^p �1 ∞ x^p_dx+ �1 ∞ x^p_dx= �1 ∞ x^p_dx+ �1 ∞ x^p−1/3d^x οπότε ϑέλουµε p > 1 και p − 1 / 3 > 1. ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 1 ± a a cos x , όπου a̸̸ = 0.. (αʹ) Να ϐρεθεί το πολυώνυµο Taylor 2ου ϐαθµού P 2 που προσεγγίζει την f σε ένα ( −ϵ, ϵϵ, ϵ ).. Θεωρούµε την περίπτωση f ( x ) = 1 − a cos x , και υπολογίζουµε f′_ ( x ) = a sin x, f^′′_ ( x ) = a cos x, f^′′′_ ( x ) = −a sin x εποµένως f (0) = 1 − a , f^′ (0) = 0 και f′′ (0) = a , κατά συνέπεια P 2( x ) = f (0) +f′ 1!^(0)x+f′′ 2!⁽⁰⁾ x² = 1 − a +^a 2^x_2 (ϐʹ) Να εκτιµηθεί το µέγιστο σφάλµα της προσέγγισης της f από το P 2 στο διάστηµα ( στο διάστηµα ( ( −π/π/ 4 Αν R 2(( x ) είναι το υπόλοιπο Taylor, τότε f ( x ) − P 2(( x ) = R 2(( x ) για κάθε x ∈ ( −π/π/ 4 ισοδύναµα −a sin ξ x³ για κάποιο ξ µεταξύ 0 και x ���� f ( x ) − P 2( x )���� = ���� 3! ���� , ≤|a| |x³ | 6^sin � π 4 � ≤^|a| 6 ~~√~~ 2 � π 4 �3 < 0 . 0571 |a|.

Θ3. Γράψτε Σ για σωστό ή Λ για λάθος στο λευκό κυκλάκι.

Σ Αν ο z είναι µιγαδικός αριθµός, τότε |e^z | ≤ e^|z| . Αν z = x + iy , τότε e^z = e^x+iy = e^x e^iy = e^x (cos y + i sin y ), εποµένως

• Θ4. ∆ίνεται η εξίσωση (∆ιάλεξη 12 σελίδες 16-18, και Επαναληπτικές Ασκήσεις ΙΙ σελίδες 9-11.)

d y d x^{=y(α −y),}

όπου α είναι το τελευταίο µη µηδενικό ψηφίο του αριθµού µητρώου σας.

• (αʹ) Σε ένα γράφηµα δώστε τη συµπεριφορά των λύσεων, καθώς x → + ∞ , ανάλογα µε την αρχική συνθήκη y (0) = y 0.

Παρατηρούµε ότι οι y = 0 και y = α ικανοποιούν την εξίσωση, είναι δηλαδή λύσεις. Για y̸ = 0 και y̸ = α παρατηρούµε ότι: αν y > α , τότε y^′ = y ( α − y ) < 0, άρα η y είναι ϕθίνουσα, αν 0 < y < α , τότε y^′ > 0, άρα η y είναι αύξουσα και τέλος αν y < 0, τότε y^′ < 0, άρα η y είναι ϕθίνουσα. Η συµπεριφορά αποτυπώνεται στο σχήµα

• Αναφέραµε ότι οι y = 0 και y = α είναι λύσεις της εξίσωσης. Αν y̸̸ = 0 και y̸̸ = α η εξίσωση γίνεται

Από την τελευταία σχέση προκύπτουν, για y 0 = 0 και y 0 = α , αντίστοιχα, οι σταθερές λύσεις y = 0 και y = α αλλά και η συµπεριφορά των λύσεων στο σχήµα του πρώτου µέρους.

y α x (ϐʹ) Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις της εξίσωσης. Αναφέραµε ότι οι y = 0 και y = α είναι λύσεις της εξίσωσης. Αν y̸̸ = 0 και y̸̸ = α η γίνεται y^′ y^′ d x y ( α − y )^{= 1⇒} � y ( α − y )^dx= � Επειδή (γιατί ;) 1 1 y ( α − y )⁼ α¹ � y 1⁺ α − y � παίρνουµε 1 y^′ = d x ⇒¹ log |y| − log |α − y| = x + c α �� yy′^dx+ � α − y^dx � � α � � y y log ���� α − y ���� = αx + αc ⇒ α − y^{=±eαxeαc=keαx}

Θ5. ΄Ενα σχήµα είναι χρήσιµο. Εάν x > 0, ορίζουµε z = x + i .

iy
z 1 = x 1 + i z 2 = x 2 + i
i
0 x 1 x 2 x

(ϐʹ) ■ Αν z = r (cos θ + i sin θ ), τότε i. r = ~~�~~ x² + 1. x ii. cos θ = , από το ορθογώνιο τρίγωνο. ~~√~~ x² + 1 1 iii. sin θ = , από το ορθογώνιο τρίγωνο. ~~√~~ x² + 1 (γʹ) ■ x→ lim+ ∞^{Arg(z) = 0,απότοσχήµα.Ηγωνίαµικραίνεικαθώςx →∞.} ∆ιαφορετικά από τα ii. και iii. έπεται ότι tan θ = cos^sinθ θ⁼ x^{1⇒θ= arctan} x¹ οπότε x→ lim+ ∞^{Arg(z) =} x^lim →∞^θ= x^lim →∞^arctan x^{1= arctan 0 = 0.} (δʹ) ■ Η εκθετική µορφή ( z = re^iθ ) του z είναι z = ( ~~�~~ x² + 1) e^i_arctan(1/x_) , από το προηγούµενο ϐήµα. Η εκδοχή, z = x − i λύνεται µε ανάλογο τρόπο.

Θ6. Να ϐρεθεί ανοικτό διάστηµα µέγιστου µήκους ώστε

για όλα τα σηµεία x, y του διαστήµατος.

Από το ϑεώρηµα της µέσης τιµής έχουµε

για κάποιο ξ µεταξύ x και y , οπότε για να ισχύει η Ϲητούµενη σχέση ϑέλουµε

αν περιοριστούµε στο [0 [0 , 2 π ],, αφού ενδιαφερόµαστε για ένα µόνο διάστηµα.

Αν x, y ∈ ( π/ 6 , 5 π/ 6), ή, ή x, y ∈ (7 π/ 6 , 11 π/ 6), τότε και το, τότε και το ξ αφού είναι µεταξύ τους ϑα περιέχεται στο αντίστοιχο διάστηµα, οπότε ϑα ικανοποιείται η Ϲητούµενη ανισότητα. Το καθένα από τα δύο αυτά διαστήµατα είναι το µέγιστο δυνατό, µήκους 4 π/ 3,, έτσι µπορούµε να πάρουµε το ( π/ 6 , 5 π/ 6),, για παράδειγµα.

Το σύνολο όλων των x, y για τα οποία ισχύει η ανισότητα είναι η ένωση διαστηµάτων

| − sin ξ| = | sin ξ| >¹ ∪ , 2^⇔ξ∈ � π 6^,5 6^π � � 76 π,11 6^π � αν περιοριστούµε στο [0 [0 , 2 π ],, αφού ενδιαφερόµαστε για ένα µόνο διάστηµα. sin θ 5 π/ 6 π/ 6 sin( π/ 6) = sin(5 π/ 6) = 1 / 2 cos θ 7 π/ 6 11 π/ 6 sin(7 π/ 6) = sin(11 π/ 6) = − 1 / 2 Αν x, y ∈ ( π/ 6 , 5 π/ 6), ή, ή x, y ∈ (7 π/ 6 , 11 π/ 6), τότε και το, τότε και το ξ αφού είναι µεταξύ τους ϑα περιέχεται στο αντίστοιχο διάστηµα, οπότε ϑα ικανοποιείται η Ϲητούµενη ανισότητα. Το καθένα δύο αυτά διαστήµατα είναι το µέγιστο δυνατό, µήκους 4 π/ 3,, έτσι µπορούµε να πάρουµε ( π/ 6 , 5 π/ 6),, για παράδειγµα. Το σύνολο όλων των x, y για τα οποία ισχύει η ανισότητα είναι η ένωση διαστηµάτων E = � � kπ +^π 6, kπ+5 6^π � . k∈ Z Η εκδοχή, | sin x − sin y| >¹ 2^{_|x −y|_λύνεταιµεανάλογοτρόπο.}

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

---

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή