Διακριτά Μαθηματικά — Φεβρουάριος 2022 — μεμονωμένη ερώτηση¶
Μεταγραφή από τη φωτογραφία 1.png.
1.png¶
(2 Μονάδες)
Χρησιμοποιώντας την αρχή του Εγκλεισμού-Αποκλεισμού, υπολογίστε πόσοι ακέραιοι μεταξύ του 1 και του 110 είναι σχετικά πρώτοι με το 110.
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2022-02-diafania¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1 (πλήθος σχετικά πρώτων με το 110)¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
\(110=2\cdot5\cdot11\). Έστω \(A_2,A_5,A_{11}\) τα σύνολα των πολλαπλασίων του \(2,5,11\) στο \(\{1,\dots,110\}\). Τότε \(|A_2|=55,\ |A_5|=22,\ |A_{11}|=10\), \(|A_2\cap A_5|=11,\ |A_2\cap A_{11}|=5,\ |A_5\cap A_{11}|=2,\ |A_2\cap A_5\cap A_{11}|=1\).
Εγκλεισμός–Αποκλεισμός: $\(|A_2\cup A_5\cup A_{11}|=55+22+10-11-5-2+1=70.\)$ Σχετικά πρώτοι: \(110-70=\mathbf{40}\) (ισούται με \(\varphi(110)=110\cdot\tfrac12\cdot\tfrac45\cdot\tfrac{10}{11}\), επαλήθευση σε Python: 40).