Μετάβαση στο περιεχόμενο

Διακριτά Μαθηματικά — 2021 (συνεδρίες χωρίς ημερομηνία)

Μεταγραφή από το αρχείο 2021_exams.pdf (χωρίς κείμενο PDF· αρχικό προσχέδιο Gemini, ελεγμένο σελίδα προς σελίδα με το πρωτότυπο).

Σημείωση: το στιγμιότυπο περιέχει επιλογές και σημάδια φοιτητή (ηλεκτρονικό τεστ), που δεν μεταγράφονται.

2021_exams.pdf

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε με έμμεση απόδειξη για όλους τους ακέραιους την πρόταση: «Αν ο \(x\) είναι άρτιος και ο \(y\) άρτιος, τότε ο \(x + y\) είναι άρτιος». Τι από τα παρακάτω υποθέτετε για να ξεκινήσετε την απόδειξη;

  • [ ] ο \(x\) είναι άρτιος και ο \(y\) άρτιος
  • [ ] ο \(x\) είναι περιττός και ο \(y\) περιττός
  • [ ] ο \(x + y\) είναι περιττός
  • [ ] ο \(x + y\) είναι άρτιος
  • [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 3.50 βαθμοί)

Να επιλέξετε ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις αληθεύουν.

  • [ ] Ο τύπος \(\forall x (P(x, y) \land Q(x)) \to \exists y Q(y)\) είναι λογική πρόταση.
  • [ ] Η μεταβλητή \(z\) είναι δεσμευμένη στον τύπο \(\forall z (Q(z) \to \exists x P(z, x))\).
  • [ ] Οι τύποι \(\forall x \forall y (Q(x) \lor R(y))\) και \(\forall x Q(x) \lor \forall y R(y)\) είναι λογικά ισοδύναμοι.
  • [ ] Οι τύποι \(\exists x \exists y (Q(x) \lor R(y))\) και \(\exists x Q(x) \lor \exists y R(y)\) είναι λογικά ισοδύναμοι.

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν θέλουμε να δείξουμε ότι το \(A\) είναι υποσύνολο του \(B\) είναι αρκετό να δείξουμε:

  • [ ] Κάθε στοιχείο του \(B\) ανήκει στο \(A\)
  • [ ] Υπάρχει στοιχείο στο \(B\) που δεν ανήκει στο \(A\)
  • [ ] Υπάρχει στοιχείο στο \(A\) που δεν ανήκει στο \(B\)
  • [ ] Κάθε στοιχείο του \(A\) ανήκει στο \(B\)
  • [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 2 βαθμοί)

Έστω ότι \(U \subset V\), τότε (επιλέξτε τη σωστή/σωστές):

  • [ ] \(\overline{V} \subset \overline{U}\)
  • [ ] \(V \subseteq U \cap V\)
  • [ ] \(V - U \neq \emptyset\)
  • [ ] \(U \cup V = U \cap V\)
  • [ ] \(V - U \subseteq U - V\)

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 4 βαθμοί)

Να επιλέξετε τον σωστό κλειστό τύπο για το άθροισμα \(\sum_{n=1}^{k} \sum_{m=1}^{k-1} nm\).

  • [ ] \(\frac{(k-2)(k-1)k(k+1)}{4}\)
  • [ ] \(\frac{k(k-1)(k+1)}{4}\)
  • [ ] \(\frac{k^2(k-1)(k+1)}{4}\)
  • [ ] \(\frac{k(k-1)^2(k+1)}{4}\)
  • [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Ένα συρτάρι περιέχει 12 κόκκινες και 12 μπλε κάλτσες μπερδεμένες. Μέσα στο σκοτάδι (δεν τις βλέπετε) παίρνετε κάλτσες από το συρτάρι χωρίς να τις τοποθετείτε πίσω. Πόσες πρέπει να τραβήξετε τουλάχιστον ώστε να είστε σίγουροι ότι έχετε 2 μπλε κάλτσες;

  • [ ] 4
  • [ ] 14
  • [ ] 22
  • [ ] 23
  • [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Σε ένα ράφι θέλουμε να τοποθετήσουμε 2 διαφορετικά βιβλία Γεωλογίας, 2 διαφορετικά βιβλία Κοινωνιολογίας και 5 διαφορετικά βιβλία Φυσικής. Με πόσους τρόπους μπορούμε να τα τοποθετήσουμε στο ράφι ώστε τα βιβλία ίδιου αντικειμένου να είναι μαζί;

  • [ ] 3846
  • [ ] 2880
  • [ ] 900
  • [ ] 90
  • [ ] Τίποτα από τα παραπάνω.
  • [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

[Λείπει από τη φωτογραφία: επικεφαλίδα ερώτησης (αριθμός, τύπος και βαθμοί)]

Με πόσους τρόπους μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα κολιέ που να έχει 6 ίδιες άσπρες χάντρες και 5 ίδιες κόκκινες χάντρες;

Προσοχή ότι το κολιέ είναι κυκλικό.

  • [ ] \(\frac{10!}{2 \cdot (6! \cdot 5!)}\)
  • [ ] \(\frac{11!}{2 \cdot (6! \cdot 5!)}\)
  • [ ] \(\frac{10!}{6! \cdot 5!}\)
  • [ ] \(\frac{11!}{6! \cdot 5!}\)
  • [ ] Τίποτα από τα παραπάνω.
  • [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Πόσες λέξεις μήκους 10 μπορούμε να σχηματίσουμε από τα γράμματα \(\{a,b,c,d,e,f,g,h\}\) που περιέχουν ακριβώς τρία \(a\);

Οι λέξεις δεν χρειάζεται να έχουν νόημα.

  • [ ] \(C(10, 3) + 7^8\)
  • [ ] \(C(10, 3) + 7^7\)
  • [ ] \(10^8 - 7^7\)
  • [ ] \(8^7 - 7^7\)
  • [ ] \(C(10, 3) \cdot 7^7\)
  • [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

[Λείπει από τη φωτογραφία: επικεφαλίδα ερώτησης (αριθμός, τύπος και βαθμοί)]

Θεωρούμε 50 διακεκριμένους επιβάτες ενός τραίνου που πρόκειται να κατέβουν στις επόμενες 4 στάσεις. Οι διαφορετικοί τρόποι που μπορεί να συμβεί αυτό είναι:

  • [ ] \(50^4\), αν δεν έχει σημασία η σειρά με την οποία οι επιβάτες κατεβαίνουν από το τραίνο.
  • [ ] \(4^{50}\), αν δεν έχει σημασία η σειρά με την οποία οι επιβάτες κατεβαίνουν από το τραίνο.
  • [ ] \(\frac{53!}{3!}\), αν έχει σημασία η σειρά με την οποία οι επιβάτες κατεβαίνουν από το τραίνο.
  • [ ] Όσοι ο συντελεστής του \(x^{50}\) στην παράσταση \((1 + x + x^2 + x^3 + \cdots)^4\), αν έχει σημασία η σειρά με την οποία οι επιβάτες κατεβαίνουν από το τραίνο.

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 2 βαθμοί)

Έστω το σύνολο \(A = \{0, 1, 2, \ldots, 9\}\).

Να επιλέξετε τις σωστές προτάσεις.

  • [ ] Το \(A\) έχει \(2^{10} - 1\) μη κενά υποσύνολα.
  • [ ] Τα υποσύνολα του \(A\) που είναι υπερσύνολα του \(\{1, 2\}\) είναι \(2 \cdot 2^8\).
  • [ ] Οι διαφορετικές συμβολοσειρές μήκους 10 που μπορούν να σχηματιστούν με όλα τα στοιχεία του \(A\) χωρίς περιορισμούς και χωρίς πολλαπλές εμφανίσεις συμβόλων είναι \(10!\).
  • [ ] Το πλήθος των υποσυνόλων του \(A\) που περιέχουν το στοιχείο 4 είναι \(\frac{2^{10}}{2}\).

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Να επιλέξετε τη σωστή γεννήτρια συνάρτηση που περιγράφει τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να τοποθετήσουμε \(n\) σφαίρες σε 5 κουτιά ώστε το πρώτο κουτί να έχει τουλάχιστον μία σφαίρα και το δεύτερο κουτί να έχει το πολύ 3 σφαίρες.

Τα κουτιά είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

  • [ ] \((x + x^2 + x^3 + x^4)(\frac{1}{1-x})^4\)
  • [ ] \((1 + x + x^2 + x^3)(\frac{1}{1-x})^4\)
  • [ ] \(\frac{x}{1-x}(1 + x)^3(\frac{1}{1-x})^3\)
  • [ ] \((x^4 + x^5 + x^6 + \cdots)(\frac{1}{1-x})^4\)
  • [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 2 (Συμπλήρωση Κενών (Χαλαρή Ταυτοποίηση) — 0 βαθμοί)

Να συμπληρώσετε το αποτέλεσμα που ζητείται στο κενό.

Προτείνεται η χρήση γεννητριών συναρτήσεων. Το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός. Αυτός ο αριθμός να αποτελείται μόνο από ψηφία χωρίς τελείες σε περίπτωση μεγάλου αριθμού (π.χ., γράψτε 7650 αντί για 7.650) και χωρίς σύμβολα (π.χ., όχι σύμβολα για συνδυασμούς όπως C(n,m)).

Έστω όλες οι ακολουθίες που υπάρχουν με δεδομένο τους εξής περιορισμούς: α) Τα στοιχεία της ακολουθίας αντλούνται από το σύνολο \(\{0, 1, \ldots, 9\}\). β) Το μήκος της ακολουθίας είναι 6, γ) Επιτρέπονται οι επαναλήψεις ψηφίων και δ) Το άθροισμα των ψηφίων είναι ακριβώς 10 (π.χ., 111322). Το πλήθος αυτών των ακολουθιών είναι: [ ]

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.1-pro-preview, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2021

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα Α1 (έμμεση απόδειξη, 1η εμφάνιση «Ερώτηση 1»)

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Έμμεση απόδειξη = αντιθετοαντιστροφή: υποθέτουμε την άρνηση του συμπεράσματος, δηλ. ότι ο \(x+y\) είναι περιττός. Απάντηση: 3η. (Αν εννοούσε απόδειξη με άτοπο θα ήταν «οι \(x,y\) άρτιοι και \(x+y\) περιττός», που δεν υπάρχει ως επιλογή.)

Θέμα Α2 (λογική, «Ερώτηση 4»)

Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή

Λύση 1: - 1η ✗: η \(y\) είναι ελεύθερη στο πρώτο μέρος (\(P(x,y)\) εκτός του \(\exists y\)), άρα δεν είναι πρόταση. - 2η ✓: η \(z\) δεσμεύεται από το \(\forall z\). - 3η ✓: \(\forall x\forall y(Q(x)\lor R(y))\equiv\forall xQ(x)\lor\forall yR(y)\). Αν υπήρχαν \(x_0\) με \(\neg Q(x_0)\) και \(y_0\) με \(\neg R(y_0)\), το ζεύγος \((x_0,y_0)\) θα διέψευδε την αριστερή πλευρά· άρα αν ισχύει η αριστερή, ισχύει ένα από τα δύο καθολικά. Το αντίστροφο προφανές. - 4η ✓: \(\exists x\exists y(Q(x)\lor R(y))\equiv\exists xQ(x)\lor\exists yR(y)\).

Απάντηση: 2η, 3η, 4η.

Λύση 2: - Επιλογή: 2880

Αιτιολόγηση: Θεωρούμε τα βιβλία κάθε αντικειμένου ως μία ομάδα («μπλοκ»). - Υπάρχουν 3 ομάδες (Γεωλογία, Κοινωνιολογία, Φυσική), οι οποίες μπορούν να διαταχθούν μεταξύ τους με \(3! = 6\) τρόπους. - Τα 2 διαφορετικά βιβλία Γεωλογίας διατάσσονται με \(2! = 2\) τρόπους. - Τα 2 διαφορετικά βιβλία Κοινωνιολογίας διατάσσονται με \(2! = 2\) τρόπους. - Τα 5 διαφορετικά βιβλία Φυσικής διατάσσονται με \(5! = 120\) τρόπους.

Συνολικοί τρόποι: \(3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 5! = 6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 120 = 2880\).

Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Επιλογές: - Η μεταβλητή \(z\) είναι δεσμευμένη στον τύπο \(\forall z (Q(z) \to \exists x P(z, x))\). - Οι τύποι \(\forall x \forall y (Q(x) \lor R(y))\) και \(\forall x Q(x) \lor \forall y R(y)\) είναι λογικά ισοδύναμοι. - Οι τύποι \(\exists x \exists y (Q(x) \lor R(y))\) και \(\exists x Q(x) \lor \exists y R(y)\) είναι λογικά ισοδύναμοι.

Αιτιολόγηση: 1) Ο πρώτος τύπος δεν είναι λογική πρόταση διότι η μεταβλητή \(y\) στο \(P(x, y)\) είναι ελεύθερη (δεν δεσμεύεται από κάποιον ποσοδείκτη). 2) Στον δεύτερο τύπο, όλες οι εμφανίσεις της μεταβλητής \(z\) βρίσκονται εντός της εμβέλειας του ποσοδείκτη \(\forall z\), άρα είναι δεσμευμένη. 3) Στον τρίτο και τέταρτο τύπο, επειδή τα κατηγορήματα \(Q(x)\) και \(R(y)\) εξαρτώνται από διαφορετικές μεταβλητές, οι ποσοδείκτες μπορούν να επιμεριστούν. Συγκεκριμένα ισχύει \(\forall y (Q(x) \lor R(y)) \equiv Q(x) \lor \forall y R(y)\) και αντίστοιχα για τον υπαρξιακό ποσοδείκτη.

Θέμα Α3 (υποσύνολο)

Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή

Λύση 1: \(A\subseteq B\) ⇔ κάθε στοιχείο του \(A\) ανήκει στο \(B\). Απάντηση: 4η.

Λύση 2: - [x] \(\overline{V} \subset \overline{U}\) - [x] \(V - U \neq \emptyset\)

Αιτιολόγηση: - Εφόσον \(U \subset V\) (γνήσιο υποσύνολο), υπάρχει στοιχείο \(x \in V\) τέτοιο ώστε \(x \notin U\), άρα \(V - U \neq \emptyset\). - Για τα συμπληρώματα ισχύει γενικά ότι \(U \subset V \iff \overline{V} \subset \overline{U}\), αφού \(x \notin V \implies x \notin U\) και για το στοιχείο \(x \in V \setminus U\) ισχύει \(x \in \overline{U}\) αλλά \(x \notin \overline{V}\). - Οι υπόλοιπες επιλογές είναι λανθασμένες (π.χ. \(V \subseteq U \cap V \iff V \subseteq U\), άτοπο).

Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Επιλογή: Κάθε στοιχείο του \(A\) ανήκει στο \(B\)

Αιτιολόγηση: Σύμφωνα με τον ορισμό των συνόλων, το \(A\) είναι υποσύνολο του \(B\) (\(A \subseteq B\)) αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο \(x\), αν \(x \in A\) τότε συνεπάγεται ότι \(x \in B\).

Θέμα Α4 («\(U\subset V\)»)

Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή

Λύση 1: Με \(\subset\) ως γνήσιο υποσύνολο: \(V-U\neq\emptyset\). - 1η ✓: \(\overline V\subset\overline U\). - 2η ✗: \(U\cap V=U\) και \(V\not\subseteq U\). - 3η ✓. - 4η ✗: \(U\cup V=V\neq U=U\cap V\). - 5η ✗: \(U-V=\emptyset\) ενώ \(V-U\neq\emptyset\).

Απάντηση: 1η, 3η. (Αν το \(\subset\) σήμαινε \(\subseteq\) η 3η θα μπορούσε να αποτύχει, αλλά το «⊂» στην εξέταση συνήθως είναι γνήσιο.)

Λύση 2: - [x] Η μεταβλητή \(z\) είναι δεσμευμένη στον τύπο \(\forall z (Q(z) \to \exists x P(z, x))\). - [x] Οι τύποι \(\forall x \forall y (Q(x) \lor R(y))\) και \(\forall x Q(x) \lor \forall y R(y)\) είναι λογικά ισοδύναμοι. - [x] Οι τύποι \(\exists x \exists y (Q(x) \lor R(y))\) και \(\exists x Q(x) \lor \exists y R(y)\) είναι λογικά ισοδύναμοι.

Αιτιολόγηση: 1. Η πρώτη δήλωση είναι ψευδής διότι η μεταβλητή \(y\) στον πρώτο όρο εμφανίζεται ελεύθερη, άρα ο τύπος είναι κατηγόρημα (ανοικτός τύπος) και όχι πρόταση. 2. Η δεύτερη είναι αληθής, καθώς όλες οι εμφανίσεις του \(z\) βρίσκονται στην εμβέλεια του ποσοδείκτη \(\forall z\). 3. Η τρίτη είναι αληθής: επειδή το \(y\) δεν εμφανίζεται ελεύθερο στο \(Q(x)\) και το \(x\) δεν εμφανίζεται ελεύθερο στο \(R(y)\), ισχύει \(\forall x \forall y (Q(x) \lor R(y)) \equiv \forall x (Q(x) \lor \forall y R(y)) \equiv \forall x Q(x) \lor \forall y R(y)\). 4. Η τέταρτη είναι αληθής: ο υπαρξιακός ποσοδείκτης διανέμεται ως προς τη διάζευξη, δηλαδή \(\exists x \exists y (Q(x) \lor R(y)) \equiv \exists x Q(x) \lor \exists y R(y)\).

Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Επιλογές: - \(\overline{V} \subset \overline{U}\) - \(V - U \neq \emptyset\)

Αιτιολόγηση: Ο συμβολισμός \(U \subset V\) υποδηλώνει ότι το \(U\) είναι γνήσιο υποσύνολο του \(V\) (αν σήμαινε απλό υποσύνολο \(\subseteq\), καμία επιλογή δεν θα ήταν πάντα σωστή). Εφόσον το \(U\) είναι γνήσιο υποσύνολο, υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο στο \(V\) που δεν ανήκει στο \(U\), συνεπώς η διαφορά \(V - U\) δεν είναι το κενό σύνολο (\(V - U \neq \emptyset\)). Επίσης, περνώντας στα συμπληρώματα, η σχέση εγκλεισμού αντιστρέφεται γνησίως, οπότε \(\overline{V} \subset \overline{U}\).

Θέμα Α5 (διπλό άθροισμα)

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

\(\sum_{n=1}^k n\cdot\sum_{m=1}^{k-1}m=\frac{k(k+1)}2\cdot\frac{(k-1)k}2=\frac{k^2(k-1)(k+1)}4\) (έλεγχος σε Python για \(k=3..8\)). Απάντηση: 3η.

Θέμα Α6 (κάλτσες)

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Χειρότερη περίπτωση: πρώτα και οι 12 κόκκινες, μετά 2 μπλε: \(12+2=14\). Απάντηση: 14.

Θέμα Α7 (βιβλία στο ράφι)

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Σειρά των 3 ομάδων: \(3!\)· μέσα σε κάθε ομάδα: \(2!\cdot2!\cdot5!\). Σύνολο \(6\cdot2\cdot2\cdot120=\mathbf{2880}\) (2η).

Θέμα Α8 (κολιέ, χωρίς επικεφαλίδα)

Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή

Λύση 1: 11 χάντρες σε κύκλο, μόνο περιστροφές. Επειδή \(\gcd(11,5)=1\) δεν υπάρχει διάταξη με συμμετρία περιστροφής, άρα \(\binom{11}5/11=42=\frac{10!}{6!\,5!}\) (Python). Απάντηση: 3η.

Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Επιλογή: Τίποτα από τα παραπάνω.

Αιτιολόγηση: Ο αριθμός των απλών κυκλικών διατάξεων 11 χαντρών (6 άσπρες, 5 κόκκινες) είναι \(\frac{(11-1)!}{6! \cdot 5!} = \frac{10!}{6! \cdot 5!} = 42\). Επειδή πρόκειται για κολιέ, επιτρέπεται και η αναστροφή (γύρισμα) στον χώρο. Ο απλοϊκός τύπος που διαιρεί τις κυκλικές διατάξεις με το 2 δίνει \(\frac{10!}{2 \cdot (6! \cdot 5!)} = 21\), ο οποίος όμως είναι μαθηματικά λανθασμένος. Αυτό συμβαίνει διότι υπάρχουν 10 συμμετρικές διατάξεις που ταυτίζονται με τον εαυτό τους κατά την αναστροφή. Χρησιμοποιώντας το Λήμμα του Burnside, ο ακριβής αριθμός των διαφορετικών κολιέ είναι \(\frac{42 - 10}{2} + 10 = 26\). Εφόσον κανένας τύπος δεν ισούται με 26, η σωστή επιλογή είναι «Τίποτα από τα παραπάνω» (σημείωση: αν στο μάθημα αγνοούνται οι συμμετρίες αναστροφής, ο αναμενόμενος -αν και αδόκιμος- τύπος θα ήταν ο πρώτος).

Θέμα Α9 (λέξεις με τρία \(a\))

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Θέσεις των \(a\): \(C(10,3)\). Οι υπόλοιπες 7 θέσεις από τα άλλα 7 γράμματα: \(7^7\). Απάντηση: \(C(10,3)\cdot7^7\) (5η).

Θέμα Α10 (επιβάτες τρένου, χωρίς επικεφαλίδα)

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

  • 1η ✗: χωρίς σειρά, κάθε επιβάτης διαλέγει στάση: \(4^{50}\), όχι \(50^4\).
  • 2η ✓.
  • 3η ✓: με σειρά, \(50!\cdot\binom{53}{3}=\frac{53!}{3!}\) (μεταθέσεις επιβατών + 3 διαχωριστές).
  • 4η ✗: ο συντελεστής του \(x^{50}\) στο \((1-x)^{-4}\) μετράει μόνο πόσοι κατεβαίνουν σε κάθε στάση (επιβάτες ίδιοι), όχι με σειρά.

Απάντηση: 2η, 3η.

Θέμα Α11 (σύνολο \(A=\{0..9\}\))

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

1η ✓ (\(2^{10}-1\)). 2η ✗ (υπερσύνολα του \(\{1,2\}\): \(2^8\), όχι \(2\cdot2^8\)). 3η ✓ (\(10!\)). 4η ✓ (υποσύνολα με το 4: \(2^9=2^{10}/2\)). Απάντηση: 1η, 3η, 4η.

Θέμα Α12 (γεννήτρια συνάρτηση για σφαίρες)

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Κουτί 1 τουλάχιστον 1: \(\frac{x}{1-x}\). Κουτί 2 το πολύ 3: \(1+x+x^2+x^3\). Τα άλλα 3: \((1-x)^{-3}\). Γινόμενο \(=x(1+x+x^2+x^3)(1-x)^{-4}=(x+x^2+x^3+x^4)\left(\frac1{1-x}\right)^4\). Απάντηση: 1η.

Θέμα Α13 (ακολουθίες με άθροισμα 10, μήκος 6)

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

\([x^{10}]\left(\frac{1-x^{10}}{1-x}\right)^6=\binom{15}{5}-6\binom{5}{5}=3003-6=\) 2997. Επαληθεύτηκε με Python (εξαντλητική απαρίθμηση: 2997).

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή