Διακριτά Μαθηματικά — Αύγουστος 2021 (φωτογραφίες)¶
Μεταγραφή από τις φωτογραφίες exa.png, 2021-08-23_7.45.49_.png, 2021-08-26_6.34.13_.png και Screenshot_3.png.
exa.png¶
Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)
Ένα συρτάρι περιέχει 12 κόκκινες και 12 μπλε κάλτσες μπερδεμένες. Μέσα στο σκοτάδι (δεν τις βλέπετε) παίρνετε κάλτσες από το συρτάρι χωρίς να τις τοποθετείτε πίσω. Πόσες πρέπει να τραβήξετε τουλάχιστον ώστε να είστε σίγουροι ότι έχετε 2 μπλε κάλτσες; - [ ] 4 - [ ] 14 - [ ] 22 - [ ] 23 - [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.
2021-08-23_7.45.49_.png¶
Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)
Πόσες δυαδικές (0 και 1) ακολουθίες υπάρχουν μήκους 7 ώστε τα μηδέν να είναι περισσότερα από τους άσσους;
- [ ] \(\frac{2^7}{2}\)
- [ ] \(2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7\)
- [ ] \(C(7,4) \cdot C(7,5) \cdot C(7,6) \cdot C(7,7)\)
- [ ] \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\)
- [ ] \(\frac{C(7,4)+C(7,5)+C(7,6)+C(7,7)}{2!}\)
- [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.
2021-08-26_6.34.13_.png¶
Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)
Δοθέντος ότι \(j > 1\), να αναφέρετε ποια από τις παρακάτω αναπαραστάσεις αθροισμάτων/γινομένων είναι λάθος.
- [ ] \((1 - r^2)(1 - r^3) \cdots (1 - r^j) = \prod_{k=0}^{j-2} (1 - r^{j-k})\)
- [ ] \(\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{j-1}{j!} = \sum_{k=2}^j \frac{k-1}{k!}\)
- [ ] \(n + (n-1) + (n-2) + \cdots + (n-j) = \sum_{k=0}^j (n-k)\)
- [ ] \((2^2 + 1)(3^2 + 1) \cdots (j^2 + 1) = \prod_{k=2}^j ((k+1)^2 - k)\)
- [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.
Screenshot_3.png¶
[Λείπει από τη φωτογραφία: αριθμός και κεφαλίδα της ερώτησης (βαθμοί)]
Με πόσους τρόπους μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα κολιέ που να έχει 6 ίδιες άσπρες χάντρες και 5 ίδιες κόκκινες χάντρες;
Προσοχή ότι το κολιέ είναι κυκλικό.
- [ ] \(\frac{10!}{2 \cdot (6! \cdot 5!)}\)
- [ ] \(\frac{11!}{2 \cdot (6! \cdot 5!)}\)
- [ ] \(\frac{10!}{6! \cdot 5!}\)
- [ ] \(\frac{11!}{6! \cdot 5!}\)
- [ ] Τίποτα από τα παραπάνω.
- [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.
Λύσεις (🟡 community)
Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: φωτογραφία με χειρόγραφη λύση φοιτητή (image0.png), μόνο για την Ερώτηση 2
Προσοχή
Λύση φοιτητή σε χειρόγραφη σημείωση, όχι επίσημο κλειδί· η μεταγραφή της σημείωσης γράφτηκε από την εικόνα. Η απάντηση συμπίπτει με την πρώτη επιλογή (2^7/2).
Λύσεις — Διακριτά Μαθηματικά — Αύγουστος 2021 (φωτογραφίες)¶
Χειρόγραφη λύση φοιτητή για την Ερώτηση 2 (μεταγραφή της σημείωσης): επτά διαδοχικά κουτιά, η σειρά έχει σημασία· όλες οι ακολουθίες είναι 2^7. Έστω Α το πλήθος των ακολουθιών με περισσότερα μηδενικά και Β το πλήθος με περισσότερους άσσους. Τότε Α+Β = 2^7 και Α = Β, άρα 2Α = 2^7 και Α = 2^7/2 = 2^6.
image0.png¶
Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)
Πόσες δυαδικές (0 και 1) ακολουθίες υπάρχουν μήκους 7 ώστε τα μηδέν να είναι περισσότερα από τους άσσους; - [ ] \(\frac{2^7}{2}\) - [ ] \(2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7\) - [ ] \(C(7,4) \cdot C(7,5) \cdot C(7,6) \cdot C(7,7)\) - [ ] \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\) - [ ] \(\frac{C(7,4) + C(7,5) + C(7,6) + C(7,7)}{2!}\) - [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.
Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.