Διακριτά Μαθηματικά — Ιανουάριος 2021

Μεταγραφή από το αρχείο Ianouarios_2021_Themata.pdf.

Ianouarios_2021_Themata.pdf

Διακριτά Μαθηματικά Θέματα

Ιανουάριος 2021

Προτασιακός-Κατηγορηματικός Λογισμός - Αποδείξεις

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε με αντίφαση την εξής πρόταση για όλους τους ακέραιους: «Αν οι \(x\) και \(y\) είναι άρτιοι, τότε ο \(3x + 2y\) είναι άρτιος». Τι από τα παρακάτω υποθέτετε για να ξεκινήσετε την απόδειξη;

• [ ] Οι \(x\) και \(y\) είναι άρτιοι και ο \(3x + 2y\) είναι περιττός
• [ ] Ο \(3x + 2y\) δεν είναι άρτιος
• [ ] Οι \(x\) και \(y\) είναι άρτιοι και ο \(3x + 2y\) είναι άρτιος
• [ ] Ο \(3x + 2y\) είναι άρτιος
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Έστω ότι ελέγχουμε μία εικασία της μορφής \(\exists x \forall y P(x, y)\). Για να δείξουμε ότι η εικασία είναι ψευδής, τι από τα παρακάτω πρέπει να δείξουμε;

• [ ] Υπάρχει τιμή \(x\) για κάθε τιμή του \(y\) ώστε η \(P(x, y)\) να είναι ψευδής
• [ ] Υπάρχουν τιμές για τα \(x\) και \(y\) έτσι ώστε η \(P(x, y)\) να είναι ψευδής
• [ ] Για κάθε τιμή των \(x\) και \(y\) η \(P(x, y)\) είναι αληθής
• [ ] Για κάθε τιμή του \(x\) υπάρχει μία τιμή του \(y\) ώστε η \(P(x, y)\) να είναι ψευδής
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 3.50 βαθμοί)

Να επιλέξετε από τους παρακάτω τύπους αυτούς που είναι λογικά ισοδύναμοι με τον τύπο \(\exists x \forall y ((x \neq y) \to \neg P(x, y))\).

• [ ] \(\exists x \forall y (P(x, y) \to (x = y))\)
• [ ] \(\neg (\forall x \exists y ((x \neq y) \land P(x, y)))\)
• [ ] \(\neg (\forall x \exists y ((x \neq y) \to P(x, y)))\)
• [ ] \(\forall y \exists x ((x \neq y) \land \neg P(x, y))\)

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 3.50 βαθμοί)

Στους παρακάτω τύπους τα \(p, q, r\) είναι προτασιακές μεταβλητές. Να επιλέξετε τις λογικές προτάσεις που είναι ταυτολογίες:

• [ ] \(p \to (q \to r)\)
• [ ] \((p \to q) \land (q \to p)\)
• [ ] \(((q \to p) \land (\neg p \lor r)) \to (q \to r)\)
• [ ] \((p \to q) \lor (q \to p)\)

Σχέσεις - Σύνολα

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής για κάθε σύνολο \(S\) και \(T\).

• [ ] \(\emptyset \in S \cup T\)
• [ ] \(S - T = \emptyset\)
• [ ] \(S \cap T \neq \emptyset\)
• [ ] \((S - T) \cap (T - S) = \emptyset\)
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Έστω σύνολα \(A\) και \(B\). Η ισότητα \(A \times B = B \times A\) ισχύει: Το σύμβολο \(\times\) αντιστοιχεί στο καρτεσιανό γινόμενο.

• [ ] Πάντα.
• [ ] Ποτέ.
• [ ] Όταν \(A = B\)
• [ ] Όταν \(A \subset B\)
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 2 βαθμοί)

Να επιλέξετε τις προτάσεις που είναι ψευδείς για σύνολα \(A\) και \(B\).

• [ ] \(2 \in A \cup B\) συνεπάγεται ότι αν \(2 \notin A\) τότε \(2 \in B\).
• [ ] \(\{2, 3\} \subseteq A\) συνεπάγεται ότι είτε \(2 \in A\) ή \(3 \in A\) ή και τα δύο.
• [ ] \(\{2, 3\} \subseteq A \cap B\) συνεπάγεται ότι \(\{2, 3\} \subseteq A\) και \(\{2, 3\} \subseteq B\)
• [ ] \(\{3\} \subseteq A - B\) και \(\{2\} \subseteq B\) συνεπάγεται ότι \(\{2, 3\} \subseteq A \cup B\).
• [ ] \(\{2\} \in A\) και \(\{3\} \in A\) συνεπάγεται ότι \(\{2, 3\} \subseteq A\)

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Ορίζουμε τη σχέση ισοδυναμίας \(R\) στο σύνολο των ανθρώπων \(A\) ως εξής: \((x, y) \in R\) αν και μόνο αν \(\eta\lambda\iota\kappa\acute{\iota}\alpha(x) = \eta\lambda\iota\kappa\acute{\iota}\alpha(y)\), όπου \(x, y \in A\). Σε τι αντιστοιχεί η κάθε κλάση ισοδυναμίας;

• [ ] Σε ένα σύνολο ανθρώπων με ίδια ηλικία.
• [ ] Σε ένα σύνολο ανθρώπων που ανά δύο έχουν διαφορετική ηλικία.
• [ ] Τίποτα από τα παραπάνω.
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 5 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 3 βαθμοί)

Έστω ότι \((a, b), (c, d) \in \mathbb{R}^2\) και ορίζουμε τη σχέση \(S\) πάνω στην \(\mathbb{R}^2\) έτσι ώστε \(((a, b), (c, d)) \in S\) αν \(2a - b = 2c - d\). Να επιλέξετε τις ιδιότητες που έχει η συγκεκριμένη σχέση.

• [ ] Ανακλαστική
• [ ] Μη-ανακλαστική
• [ ] Συμμετρική
• [ ] Αντισυμμετρική
• [ ] Μεταβατική
• [ ] Σχέση Ισοδυναμίας

Αθροίσματα & Γινόμενα

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Ποιο από τα παρακάτω αθροίσματα είναι ισοδύναμο με το \(\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \frac{2}{j-i+1}\) όταν εφαρμόσουμε τη μεταθετική ιδιότητα (αλλαγή μεταβλητής) \(k = j - i\).

Η αλλαγή μεταβλητής αφορά το εσωτερικό άθροισμα.

• [ ] \(\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{k=1}^{n-i} \frac{2}{k+1}\)
• [ ] \(\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{k=1}^{n-i} \frac{2}{k}\)
• [ ] \(\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k+1}\)
• [ ] \(\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{k=1}^{n-i+1} \frac{2}{k+1}\)
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Δοθέντος ότι \(j > 1\), να αναφέρετε ποια από τις παρακάτω αναπαραστάσεις αθροισμάτων/γινομένων είναι λάθος.

• [ ] \((1 - r^2)(1 - r^3)\cdots(1 - r^j) = \prod_{k=0}^{j-2} (1 - r^{j-k})\)
• [ ] \(\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{j-1}{j!} = \sum_{k=2}^{j} \frac{k-1}{k!}\)
• [ ] \(n + (n-1) + (n-2) + \cdots + (n-j) = \sum_{k=0}^{j} (n-k)\)
• [ ] \((2^2 + 1)(3^2 + 1)\cdots(j^2 + 1) = \prod_{k=2}^{j} ((k+1)^2 - k)\)
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Να επιλέξετε το σωστό αποτέλεσμα για το άθροισμα \(\sum_{j=2}^{1000} \frac{1}{j(j-1)}\).

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο της ανάλυσης σε μερικά κλάσματα.

• [ ] 0.999
• [ ] \(H_{999}\) (Ο 999-αρμονικός αριθμός)
• [ ] 2
• [ ] 1
• [ ] \(H_{1000}\) (Ο 1000-αρμονικός αριθμός)
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 4 βαθμοί)

Να επιλέξετε τον σωστό κλειστό τύπο για το άθροισμα \(\sum_{n=1}^{k-1} \sum_{m=1}^{k-2} nm\).

• [ ] \(\frac{(k-2)(k-1)k(k+1)}{4}\)
• [ ] \(\frac{k(k-1)^2(k+1)}{4}\)
• [ ] \(\frac{k^2(k-1)(k+1)}{4}\)
• [ ] \(\frac{k(k-1)(k+1)}{4}\)
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Συνδυαστική Ι

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 1 βαθμός)

Αν 40 κέρματα τοποθετηθούν σε 7 κουτάκια, τότε θα υπάρχει ένα κουτί που θα έχει:

• [ ] 5 κέρματα
• [ ] 6 κέρματα
• [ ] 7 κέρματα
• [ ] 8 κέρματα
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Πόσες δυαδικές (0 και 1) ακολουθίες υπάρχουν μήκους 7 ώστε τα μηδέν να είναι περισσότερα από τους άσσους;

• [ ] \(\frac{2^7}{2}\)
• [ ] \(2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7\)
• [ ] \(C(7, 4) \cdot C(7, 5) \cdot C(7, 6) \cdot C(7, 7)\)
• [ ] \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1\)
• [ ] \(\frac{C(7, 4) + C(7, 5) + C(7, 6) + C(7, 7)}{2!}\)
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Μία ομάδα αποτελείται από 12 γυναίκες και 10 άνδρες. Με πόσους τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε μία εξαμελής επιτροπή αν οι γυναίκες πρέπει να είναι περισσότερες (\(>\)) από τους άνδρες.

Δεν διαφοροποιούνται οι γυναίκες μεταξύ τους. Δεν διαφοροποιούνται οι άνδρες μεταξύ τους.

• [ ] \(C(12, 4) + C(12, 5) + C(12, 6)\)
• [ ] \(C(22, 6) \cdot [C(10, 6) \cdot C(12, 0) + C(10, 5) \cdot C(12, 1) \cdot C(10, 4) \cdot C(12, 2)]\)
• [ ] \(C(12, 4) \cdot C(10, 2)\)
• [ ] \(C(12, 4) \cdot C(10, 2) \cdot C(12, 5) \cdot C(10, 1) \cdot C(12, 6) \cdot C(10, 0)\)
• [ ] \(C(12, 4) \cdot C(10, 2) + C(12, 5) \cdot C(10, 1) + C(12, 6) \cdot C(10, 0)\)
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Ο αριθμός των τρόπων διανομής \(n\) μη διακεκριμένων αντικειμένων σε \(m\) διακεκριμένες υποδοχές δεν είναι αντίστοιχο με:

• [ ] Όσες οι διατάξεις \(n + m - 1\) αντικειμένων από τα οποία τα \(n\) αποτελούν μία ομάδα μη διακεκριμένων μεταξύ τους αντικειμένων και τα υπόλοιπα μια άλλη.
• [ ] Όσες οι δυαδικές συμβολοσειρές με \(m - 1\) μηδενικά και \(n\) άσσους.
• [ ] Όσες οι ακέραιες και θετικές λύσεις της εξίσωσης \(x_1 + x_2 + \cdots + x_m = n + m\).
• [ ] Όσες οι επιλογές μιας διατεταγμένης \(n\)-άδας με δυνατότητα επανάληψης από \(m\) διακεκριμένα αντικείμενα.
• [ ] Όσες οι ακολουθίες με \(m - 1\) παύλες και \(n\) αστεράκια.
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 5 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Με πόσους τρόπους μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα κολιέ που να έχει 6 ίδιες άσπρες χάντρες και 5 ίδιες κόκκινες χάντρες;

Προσοχή ότι το κολιέ είναι κυκλικό.

• [ ] \(\frac{10!}{2 \cdot (6! \cdot 5!)}\)
• [ ] \(\frac{11!}{2 \cdot (6! \cdot 5!)}\)
• [ ] \(\frac{10!}{6! \cdot 5!}\)
• [ ] \(\frac{11!}{6! \cdot 5!}\)
• [ ] Τίποτα από τα παραπάνω.
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Συνδυαστική ΙΙ (2ο μέρος συνδυαστικής με Γεννήτριες Συναρτήσεις)

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 2 βαθμοί)

Οι διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους \(k + n - 1\) με \(k\) άσσους και \(n - 1\) μηδενικά είναι:

• [ ] Όσα τα διαφορετικά υποσύνολα με \(k\) στοιχεία ενός συνόλου με \(k + n - 1\) στοιχεία.
• [ ] Όσες οι διαφορετικές μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης \(z_1 + \cdots + z_n = k\).
• [ ] Όσες οι διαφορετικές μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης \(z_1 + \cdots + z_k = n\).
• [ ] Όσες ο συντελεστής του \(x^{n-1}\) στην παράσταση \((1 + x + x^2 + x^3 + \cdots)^{k+1}\).

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 2 βαθμοί)

Μια 7-μελής ακαδημαϊκή επιτροπή, με ισότιμα μέλη, επιλέγεται από ένα σύνολο 100 φοιτητών και 20 καθηγητών. Οι διαφορετικοί τρόποι επιλογής της επιτροπής είναι:

• [ ] Όσοι ο συντελεστής του \(x^7\) στην παράσταση \((1 + x)^{120}\), αν δεν υπάρχουν περιορισμοί.
• [ ] \(\binom{100}{2} \times \binom{20}{5}\), αν στην επιτροπή συμμετέχουν 2 φοιτητές και 5 καθηγητές.
• [ ] \(\binom{100}{2} \times \binom{20}{5} / 2!\), αν στην επιτροπή συμμετέχουν 2 φοιτητές και 5 καθηγητές.
• [ ] Όσοι ο συντελεστής του \(x^7\) στην παράσταση \((1 + x + x^2 + \cdots + x^7)^{120}\), αν δεν υπάρχουν περιορισμοί.

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 2 βαθμοί)

Στην τελετή αποφοίτησης ενός Δημοτικού Σχολείου, οι 100 (διακεκριμένοι) μαθητές περιμένουν σε 3 διαφορετικές σειρές για να πάρουν το απολυτήριο (η θέση κάθε μαθητή στη σειρά έχει σημασία). Οι διαφορετικοί τρόποι να συμβεί αυτό είναι:

• [ ] \(3^{100}\)
• [ ] \(\frac{102!}{2!}\)
• [ ] \(\frac{102!}{3!}\)
• [ ] Όσοι ο συντελεστής του \(x^{100}\) στην παράσταση \((x^5 + x^6 + x^7 + \cdots)^3\), αν πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 5 παιδιά σε κάθε σειρά.

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 0 βαθμοί)

Επιλέγουμε 5 διαφορετικούς αριθμούς από το 1 μέχρι και το 40 (δεν έχει σημασία η σειρά με την οποία επιλέγονται οι αριθμοί). Ισχύει ότι:

• [ ] Όλες οι διαφορετικές πεντάδες είναι όσες ο συντελεστής του \(x^{40}\) στην παράσταση \((1 + x)^5\).
• [ ] Ο αριθμός 1 εμφανίζεται σε \(\binom{39}{4}\) διαφορετικές πεντάδες.
• [ ] Ο αριθμός 1 δεν εμφανίζεται σε \(\binom{39}{5}\) διαφορετικές πεντάδες.
• [ ] Οι διαφορετικές πεντάδες με αριθμούς που δεν ξεπερνούν το 10 είναι \(\binom{40}{10}\).

Ερώτηση 5 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 2 βαθμοί)

Σε μία χώρα υπάρχουν κέρματα των 2, 3, 5 και 7 νομισματικών μονάδων. Μας ενδιαφέρει να βρούμε το πλήθος των τρόπων για να πληρώσουμε ακριβώς 10 νομισματικές μονάδες.

• [ ] Το πλήθος των τρόπων για να πληρώσουμε ακριβώς 10 μονάδες είναι το άθροισμα των συντελεστών των όρων \(x^2, x^3, x^5\) και \(x^7\) της γεννήτριας συνάρτησης για αυτό το πρόβλημα μέτρησης.
• [ ] Η γεννήτρια συνάρτηση που περιγράφει το πλήθος των λύσεων είναι \(\frac{1}{1-x^2} \cdot \frac{1}{1-x^3} \cdot \frac{1}{1-x^5} \cdot \frac{1}{1-x^7}\).
• [ ] Η γεννήτρια συνάρτηση που περιγράφει το πλήθος των λύσεων είναι \((1 + x^2) \cdot (1 + x^3) \cdot (1 + x^5) \cdot (1 + x^7)\).
• [ ] Το πλήθος των τρόπων για να πληρώσουμε ακριβώς 10 μονάδες είναι ο συντελεστής του όρου \(x^{10}\) της γεννήτριας συνάρτησης για αυτό το πρόβλημα μέτρησης.

Συνδυαστική III (ασκήσεις σε Γεννήτριες Συναρτήσεις)

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 2 βαθμοί)

Να επιλέξετε τη σωστή γεννήτρια συνάρτηση που περιγράφει τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να τοποθετήσουμε \(n\) σφαίρες σε 5 κουτιά ώστε το πρώτο κουτί να έχει ακριβώς 3 σφαίρες και το δεύτερο να έχει άρτια πλήθος σφαιρών.

Τα κουτιά είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

• [ ] \(\frac{x^3}{(1-x^2)(1-x)^3}\)
• [ ] \(\frac{1+x+x^2}{(1-x^2)(1-x)^4}\)
• [ ] \(\frac{1}{(1-x^2)(1-x)^3}\)
• [ ] \(\frac{x^3}{(1-x^2)(1-x)^4}\)
• [ ] Δεν επιλέγω τίποτα.

Ερώτηση 2 (Συμπλήρωση Κενών (Χαλαρή Ταυτοποίηση) — 0 βαθμοί)

Να συμπληρώσετε το αποτέλεσμα που ζητείται στο κενό.

Προτείνεται η χρήση γεννητριών συναρτήσεων. Το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός. Αυτός ο αριθμός να αποτελείται μόνο από ψηφία χωρίς τελείες σε περίπτωση μεγάλου αριθμού (π.χ., γράψτε 7650 αντί για 7.650) και χωρίς σύμβολα (π.χ., όχι σύμβολα για συνδυασμούς όπως C(n,m)).

Έστω όλες οι ακολουθίες που υπάρχουν με δεδομένο τους εξής περιορισμούς: α) Τα στοιχεία της ακολουθίας αντλούνται από το σύνολο \(\{0, 1, \ldots, 9\}\). β) Το μήκος της ακολουθίας είναι 7, γ) Επιτρέπονται οι επαναλήψεις ψηφίων και δ) Το άθροισμα των ψηφίων είναι ακριβώς 10 (π.χ., 1101322). Το πλήθος αυτών των ακολουθιών είναι: [ ]

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.1-pro-preview, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2021-01

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα Λογική.1

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Απόδειξη με αντίφαση του \(P\to Q\): υποθέτουμε την άρνησή του, \(P\land\neg Q\), δηλαδή ότι οι \(x,y\) είναι άρτιοι και ο \(3x+2y\) δεν είναι άρτιος (περιττός). Απάντηση: 1η.

Θέμα Λογική.2

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

\(\neg\exists x\forall y P \equiv \forall x\exists y\neg P\). Απάντηση: 4η (για κάθε \(x\) υπάρχει \(y\) με \(P(x,y)\) ψευδές).

Θέμα Λογική.3

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Έστω \(F=\exists x\forall y\,((x\ne y)\to\neg P)\). - 1η: αντιθετοαντιστροφή: \((x\ne y\to\neg P)\equiv(P\to x=y)\). Ισοδύναμος. - 2η: \(\neg\forall x\exists y(x\ne y\land P)\equiv\exists x\forall y\,\neg(x\ne y\land P)\equiv\exists x\forall y\,(x\ne y\to\neg P)\). Ισοδύναμος. - 3η: \(\neg(\ldots(x\ne y\to P))\equiv\exists x\forall y\,(x\ne y\land\neg P)\), ισχυρότερος, όχι ισοδύναμος. - 4η: αλλάζει η σειρά των ποσοδεικτών (\(\forall y\exists x\)) και υπάρχει \(\land\), όχι ισοδύναμος.

Απάντηση: 1η και 2η.

Θέμα Λογική.4

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

• 1η: ψευδής για \(p=T,q=T,r=F\).
• 2η: ψευδής για \(p=T,q=F\).
• 3η: αν \(q\to p\) και \(p\to r\) (αφού \(\neg p\lor r\equiv p\to r\)), τότε \(q\to r\) (συλλογισμός). Ταυτολογία.
• 4η: αν \(p\to q\) ψευδές, τότε \(p=T,q=F\), οπότε \(q\to p\) αληθές. Ταυτολογία.

Απάντηση: 3η και 4η.

Θέμα Σύνολα.1

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Ένα στοιχείο δεν μπορεί να ανήκει ταυτόχρονα στα \(S-T\) και \(T-S\) (το πρώτο απαιτεί \(\notin T\), το δεύτερο \(\in T\)). Άρα η τομή είναι κενή. Απάντηση: 4η.

Θέμα Σύνολα.2

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Για \(A=B\) ισχύει προφανώς. Γενικά \(A\times B=B\times A\) ισχύει ακριβώς όταν \(A=B\) ή κάποιο από τα δύο είναι κενό. Από τις επιλογές μόνο η 3η είναι πάντοτε αληθής (η 4η (\(A\subset B\)) είναι ψευδής π.χ. για \(A=\{1\},B=\{1,2\}\)). Απάντηση: 3η (\(A=B\)).

Θέμα Σύνολα.3

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Ψευδής είναι η 5η: από \(\{2\}\in A\) και \(\{3\}\in A\) προκύπτει ότι τα σύνολα \(\{2\},\{3\}\) είναι στοιχεία του \(A\), όχι ότι \(2,3\in A\) (π.χ. \(A=\{\{2\},\{3\}\}\)). Οι 1η–4η αληθείς: 1η από ορισμό ένωσης, 2η επειδή το \(\{2,3\}\subseteq A\) δίνει \(2\in A\), 3η και 4η ευθέως. Απάντηση: 5η.

Θέμα Σύνολα.4

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Η κλάση του \(x\) είναι \(\{y:\text{ηλικία}(y)=\text{ηλικία}(x)\}\), σύνολο ανθρώπων με ίδια ηλικία. Απάντηση: 1η.

Θέμα Σύνολα.5

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Η σχέση είναι «\(f(a,b)=f(c,d)\)» με \(f(a,b)=2a-b\). - Ανακλαστική: \(2a-b=2a-b\). Συμμετρική: η ισότητα είναι συμμετρική. Μεταβατική: η ισότητα είναι μεταβατική. - Άρα σχέση ισοδυναμίας. - Δεν είναι αντισυμμετρική: \((0,0)S(1,2)\) και \((1,2)S(0,0)\) (και τα δύο δίνουν \(0\)) αλλά \((0,0)\neq(1,2)\). Δεν είναι μη-ανακλαστική.

Απάντηση: Ανακλαστική, Συμμετρική, Μεταβατική, Σχέση ισοδυναμίας.

Θέμα Αθροίσματα.1

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Με \(k=j-i\): για \(j=i+1\ldots n\) το \(k\) πάει από \(1\) ως \(n-i\) και \(j-i+1=k+1\). Απάντηση: 1η \(\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{k=1}^{n-i}\frac{2}{k+1}\).

Θέμα Αθροίσματα.2

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Η 4η είναι λάθος: για \(k=2\) ο παράγοντας \((k+1)^2-k=7\) ενώ ο πρώτος παράγοντας είναι \(2^2+1=5\) (γενικά \((k+1)^2-k=k^2+k+1\neq k^2+1\)). Οι άλλες τρεις ελέγχονται εύκολα (π.χ. 1η: \(k=0\to r^j\), \(k=j-2\to r^2\)). Απάντηση: 4η.

Θέμα Αθροίσματα.3

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

\(\frac1{j(j-1)}=\frac1{j-1}-\frac1j\), τηλεσκοπικό: \(\sum_{j=2}^{1000}=1-\frac1{1000}=0.999\) (επαλήθευση με Python). Απάντηση: 0.999.

Θέμα Αθροίσματα.4

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή

Το άθροισμα παραγοντοποιείται: \(\sum_{n=1}^{k-1}n\cdot\sum_{m=1}^{k-2}m=\frac{(k-1)k}{2}\cdot\frac{(k-2)(k-1)}{2}=\frac{k(k-1)^2(k-2)}{4}\) (επαλήθευση με Python). Καμία από τις επιλογές δεν ταυτίζεται με αυτό (π.χ. για \(k=4\): \(18\), ενώ οι επιλογές δίνουν \(30,45,60,15\)). Πιθανότατα λάθος μεταγραφής/θέματος (η παραλλαγή με όρια \(k\) και \(k-1\) δίνει \(\frac{k^2(k-1)(k+1)}{4}\), 3η επιλογή). Αν το θέμα ήταν όπως μεταγράφηκε, η σωστή απάντηση είναι «καμία», αλλιώς η 3η.

Θέμα Συνδυαστική Ι.1

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Αρχή του περιστερώνα: \(\lceil 40/7\rceil=6\), άρα υπάρχει κουτί με τουλάχιστον 6 κέρματα. Απάντηση: 6 κέρματα (2η).

Θέμα Συνδυαστική Ι.2

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Ακολουθίες με περισσότερα \(0\) από \(1\) (μήκος 7, δεν υπάρχει ισοπαλία): από συμμετρία (\(0\leftrightarrow1\)) είναι το μισό: \(2^7/2=64\). Ισοδύναμα \(\binom70+\binom71+\binom72+\binom73=64\). Απάντηση: 1η.

Θέμα Συνδυαστική Ι.3

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Γυναίκες \(>\) άνδρες σε 6 μέλη: \((4,2),(5,1),(6,0)\). Άθροισμα γινομένων: \(C(12,4)C(10,2)+C(12,5)C(10,1)+C(12,6)C(10,0)\). Απάντηση: 5η.

Θέμα Συνδυαστική Ι.4

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Το πλήθος είναι \(\binom{n+m-1}{n}\). Αντιστοιχούν: 1η, 2η (άσσοι/μηδενικά), 3η (θετικές λύσεις με άθροισμα \(n+m\) ↔ μη αρνητικές με άθροισμα \(n\)), 5η. Η 4η δίνει \(m^n\), δεν αντιστοιχεί. Απάντηση: 4η.

Θέμα Συνδυαστική Ι.5

Αξιοπιστία: ⚠ οι ανεξάρτητες λύσεις διαφωνούν: δες όλες και έλεγξε μόνος σου · εμπιστοσύνη λύτη: χαμηλή

Λύση 1: 11 χάντρες σε κύκλο (μόνο περιστροφές). Επειδή \(\gcd(11,5)=1\) καμία διάταξη δεν έχει συμμετρία περιστροφής, άρα \(\binom{11}{5}/11=462/11=42=\frac{10!}{6!\,5!}\) (Python). Απάντηση: 3η. (Αν λογίζονταν και ανακλάσεις θα έβγαινε 26, που δεν υπάρχει στις επιλογές.)

Λύση 3 (τρίτη γνώμη): Σωστή επιλογή: \(\frac{10!}{6! \cdot 5!}\)

Αιτιολόγηση: Το πλήθος των γραμμικών μεταθέσεων 11 στοιχείων εκ των οποίων τα 6 είναι όμοια (άσπρα) και τα 5 όμοια (κόκκινα) δίνεται από τον τύπο των μεταθέσεων με επανάληψη: \(\frac{11!}{6! \cdot 5!}\). Επειδή το κολιέ είναι κυκλικό και ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των πλήθων των χαντρών είναι \(\text{ΜΚΔ}(6, 5) = 1\), καμία διάταξη δεν ταυτίζεται με τον εαυτό της σε λιγότερες από 11 περιστροφές. Επομένως, για να βρούμε τις κυκλικές διατάξεις διαιρούμε το πλήθος των γραμμικών διατάξεων με το 11, προκύπτοντας: \(\frac{1}{11} \cdot \frac{11!}{6! \cdot 5!} = \frac{10!}{6! \cdot 5!}\).

Θέμα Συνδυαστική ΙΙ.1

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Το πλήθος είναι \(\binom{k+n-1}{k}\). - 1η: υποσύνολα \(k\) στοιχείων από \(k+n-1\) ✓. - 2η: λύσεις \(z_1+\dots+z_n=k\): \(\binom{k+n-1}{k}\) ✓. - 3η: \(z_1+\dots+z_k=n\): \(\binom{n+k-1}{n}\), γενικά διαφορετικό ✗. - 4η: συντελεστής του \(x^{n-1}\) στο \((1-x)^{-(k+1)}\): \(\binom{n-1+k}{k}\) ✓.

Απάντηση: 1η, 2η, 4η.

Θέμα Συνδυαστική ΙΙ.2

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

1η: \([x^7](1+x)^{120}=\binom{120}7\) ✓. 2η: \(\binom{100}2\binom{20}5\) ✓. 3η: η διαίρεση με \(2!\) είναι λάθος (οι επιλογές είναι ήδη σύνολα) ✗. 4η: \([x^7](1+\dots+x^7)^{120}=\binom{126}{7}\ne\binom{120}7\) ✗. Απάντηση: 1η, 2η.

Θέμα Συνδυαστική ΙΙ.3

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Διακεκριμένοι μαθητές σε 3 διατεταγμένες σειρές: \(100!\cdot\binom{102}{2}=\frac{102!}{2!}\) (μεταθέσεις \(100\) μαθητών και διαχωρισμός με \(2\) διαχωριστές). Άρα μόνο η 2η. Η 4η μετράει μόνο τα μεγέθη των σειρών, όχι ποιος κάθεται πού. Απάντηση: 2η.

Θέμα Συνδυαστική ΙΙ.4

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

1η ✗ (\([x^{40}](1+x)^5=0\)). 2η ✓ (\(\binom{39}4\)). 3η ✓ (\(\binom{39}5\)). 4η ✗ (οι πεντάδες από \(\{1..10\}\) είναι \(\binom{10}5\)). Απάντηση: 2η, 3η.

Θέμα Συνδυαστική ΙΙ.5

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Απεριόριστα κέρματα: \(\frac1{1-x^2}\cdot\frac1{1-x^3}\cdot\frac1{1-x^5}\cdot\frac1{1-x^7}\) και ο ζητούμενος αριθμός είναι ο συντελεστής του \(x^{10}\). Η 1η είναι λάθος (δεν αθροίζονται συντελεστές διαφόρων δυνάμεων), η 3η λάθος (θα επέτρεπε το πολύ ένα κέρμα κάθε είδους). Απάντηση: 2η, 4η.

Θέμα Συνδυαστική ΙΙΙ.1

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Κουτί 1 ακριβώς 3: \(x^3\). Κουτί 2 άρτιο: \(1+x^2+\dots=\frac1{1-x^2}\). Τα υπόλοιπα 3 κουτιά: \(\frac1{(1-x)^3}\). Γινόμενο \(\frac{x^3}{(1-x^2)(1-x)^3}\). Απάντηση: 1η.

Θέμα Συνδυαστική ΙΙΙ.2

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Ζητείται \([x^{10}]\left(\frac{1-x^{10}}{1-x}\right)^7\) (ψηφία 0–9, 7 θέσεις): \(\binom{16}{6}-7\binom{6}{6}=8008-7=\) 8001. Επαληθεύτηκε με εξαντλητική απαρίθμηση σε Python (8001).

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

---

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή