2024)¶

Μεταγραφή των φωτογραφιών 20240919_150450.jpg, 20240919_150505.jpg και 20240919_150611.jpg.

20240919_150450.jpg¶

Θ1. Έστω ότι το $M$ είναι ένα $5 \times 5$ μητρώο.

(α) ◼ Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $M$, ως γραμμικός συνδυασμός των δυνάμεων της ανεξάρτητης μεταβλητής $\lambda$, είναι της μορφής

\[p(\lambda) =\]

(β) ◼ Προσδιορίστε τους συντελεστές ή τον συντελεστή του πολυωνύμου, όπως τους γράψατε στο (α'), ώστε το $M$ να είναι μη αντιστρέψιμο.

Θ2. Έστω ότι τα $\mathbf{u}$ και $\mathbf{v}$ είναι μοναδιαία διανύσματα του $\mathbb{R}^5$ τέτοια ώστε να ισχύει

\[\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|,\]

όπου $\|\cdot\|$ είναι η νόρμα που παράγεται από το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο.

(α') Δείξτε ότι $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$.

(β') Υπολογίστε το $\|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|$.

Θ3. Για ποιές τιμές της παραμέτρου $\mu$ είναι όλες οι ιδιοτιμές του μητρώου

\[A(\mu) = \begin{pmatrix} 2 & \mu & 4 \\ 3 & \mu & \mu \\ \mu & \mu & \mu \end{pmatrix}\]

διάφορες του μηδενός; Δικαιολογήστε πλήρως την απάντησή σας.

20240919_150505.jpg¶

Θ4. Δίνεται το μητρώο

\[A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \beta & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \gamma & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \delta \end{pmatrix}\]

όπου $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ είναι πραγματικοί αριθμοί, και έστω $q = \alpha\beta\gamma\delta$.

(α') ◼ Αν $q = 3$, τότε $\operatorname{rank} A =$

(β') ◼ Αν $p = 3$, τότε $\det A =$

(γ') ◼ Να βρεθούν οι ιδιοτιμές $\lambda_j$ του $A$

(δ') Αν $\alpha = \beta = \delta = 1$ και $\gamma = 0$, να βρεθεί μια βάση για το χώρο στηλών του $A$.

(ε') Αν $\alpha = \beta = \delta = 1$ και $\gamma = 0$, να βρεθεί μια βάση για το χώρο γραμμών του $A$.

(ς') ◼ Για ποια/ποιες τιμή/τιμές του $q$ είναι $\dim(\operatorname{null} A) \ge 1$: $\quad q =$

Θ5. Αν

\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 4\]

τότε

(α') $\begin{vmatrix} g & h & i \\ \lambda d + a & \lambda e + b & \lambda f + c \\ d & e & f \end{vmatrix} =$

(β') $\begin{vmatrix} a & b & c \\ \lambda d + a & \lambda e + b & \lambda f + c \\ g & h & i \end{vmatrix} =$

20240919_150611.jpg¶

Θ6. Θεωρήστε τα $2 \times 2$ με ελλιπή στοιχεία μητρώα $A$ και $B$

\[A = \begin{pmatrix} & \\ \frac{1}{3} & \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} & 2 \\ & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\]

(α') ◼ Συμπληρώστε τα υπόλοιπα στοιχεία του $A$ ώστε να είναι ορθογώνιο

(β') ◼ Συμπληρώστε τα υπόλοιπα στοιχεία του $B$ ώστε να είναι

\[\operatorname{range} B = \operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \right\} = W.\]

(γ') ◼ Είναι το $B$ που βρήκατε (στο ii) μητρώο προβολής επί του $W$; $\qquad$ ΝΑΙ $\quad$ ΟΧΙ

Θ7. Έστω $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ ο γραμμικός μετασχηματισμός

\[T \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} dx - z \\ x - y + z \\ y - 2z \end{pmatrix}\]

(α') Να βρεθεί το μητρώο αναπαράστασης του $T$.

(β') Να βρεθεί τιμή του $d$ για την οποία ο $T$ δεν έχει αντίστροφο.

(γ') ◼ Για $d$ διάφορο της τιμής που βρήκατε στο (β) η εικόνα του $T$ είναι $\operatorname{Image} T =$

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: migrated from previous_exams.md (Antigravity, 2026-10)

Προσοχή

Θέμα 1(α): η λύση δίνει δύο διαφορετικές συμβάσεις για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο (det(λI−M) και det(M−λI)) και δεν καταλήγει σε συγκεκριμένη μορφή p(λ)· η σωστή μορφή εξαρτάται από τη σύμβαση του μαθήματος. Θέμα 6(α)–(γ): η λύση δεν συμπληρώνει τα ελλιπή στοιχεία των μητρώων A και B (η μεταγραφή των φωτογραφιών έχει δυσανάγνωστα σημεία στο Θέμα 6). Η απάντηση ΝΑΙ/ΟΧΙ της (γ) διατυπώνεται υπό όρο. Για B = [[c1, c2], [3c1, 3c2]] το B είναι ορθογώνιος προβολέας μόνο αν B = P_W, δηλαδή c1 = 0,1 και c2 = 0,3.

Λύσεις — Γραμμική Άλγεβρα — Σεπτέμβριος 2024¶

Λύσεις των Θεμάτων 1–7 του Σεπτεμβρίου 2024, μεταφερμένες αυτούσιες από το παλιό previous_exams.md (Antigravity, 2026-10). Μεταφέρεται μόνο το κείμενο των λύσεων· οι εκφωνήσεις του παλιού αρχείου δεν αντιγράφονται. Δεν έχουν ελεγχθεί από διδάσκοντα.

Θέμα 1¶

💡 Πλήρης Λύση & Αιτιολόγηση¶

Ερώτημα (α):
Για τετραγωνικό πίνακα $M \in \mathbb{R}^{5 \times 5}$, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο βαθμού 5 ορίζεται ως: $$p(\lambda) = \det(\lambda I_5 - M) = \lambda^5 - c_1 \lambda^4 + c_2 \lambda^3 - c_3 \lambda^2 + c_4 \lambda - c_5$$ ή γενικότερα με συντελεστές $a_i$: $$p(\lambda) = \lambda^5 + a_4 \lambda^4 + a_3 \lambda^3 + a_2 \lambda^2 + a_1 \lambda + a_0$$ (ή εναλλακτικά αν ορίζεται ως $p(\lambda) = \det(M - \lambda I_5) = -\lambda^5 + \dots + \det(M)$).
Ιδιαίτερη σημασία έχουν:
Ο συντελεστής $a_4 = -\operatorname{tr}(M)$ (το αντίθετο του ίχνους του πίνακα).
Ο σταθερός όρος $a_0 = p(0) = \det(-M) = (-1)^5 \det(M) = -\det(M)$ (αν $p(\lambda) = \det(\lambda I - M)$).
Ερώτημα (β):
Το μητρώο $M$ είναι μη αντιστρέψιμο (ιδιάζον / singular) αν και μόνο αν η ορίζουσά του είναι μηδέν: $$\det(M) = 0$$ Αυτό ισοδυναμεί με το να είναι το $\lambda = 0$ ιδιοτιμή του $M$ ($p(0) = 0$).
Συνεπώς, ο σταθερός όρος του χαρακτηριστικού πολυωνύμου πρέπει να είναι μηδέν: $$a_0 = 0 \iff \det(M) = 0$$

Θέμα 2¶

💡 Πλήρης Λύση & Αιτιολόγηση¶

Ερώτημα (α):
Χρησιμοποιούμε τη σχέση νόρμας και εσωτερικού γινομένου $\|\mathbf{x}\|^2 = \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle$: $$\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \langle \mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{u} + \mathbf{v} \rangle = \|\mathbf{u}\|^2 + 2\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2$$ $$\|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|^2 = \langle \mathbf{u} - \mathbf{v}, \mathbf{u} - \mathbf{v} \rangle = \|\mathbf{u}\|^2 - 2\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2$$ Εφόσον $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|$, εξισώνουμε τα τετράγωνά τους: $$\|\mathbf{u}\|^2 + 2\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 - 2\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2$$ $$4\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0 \iff \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0$$ Άρα τα διανύσματα είναι ορθογώνια μεταξύ τους: $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$.
Ερώτημα (β):
Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα για ορθογώνια διανύσματα ($\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0$) και δεδομένου ότι είναι μοναδιαία ($\|\mathbf{u}\| = 1, \|\mathbf{v}\| = 1$): $$\|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$$ Συνεπώς: $$\|\mathbf{u} - \mathbf{v}\| = \sqrt{2}$$

Θέμα 3¶

💡 Πλήρης Λύση & Αιτιολόγηση¶

Ένας πίνακας έχει όλες τις ιδιοτιμές του διάφορες του μηδενός ($\lambda_i \neq 0, \forall i$) αν και μόνο αν είναι αντιστρέψιμος, διότι: $$\prod_{i=1}^n \lambda_i = \det(A(\mu))$$ Συνεπώς, όλες οι ιδιοτιμές είναι μη μηδενικές αν και μόνο αν: $$\det(A(\mu)) \neq 0$$
Υπολογισμός της ορίζουσας $\det(A(\mu))$: $$\det(A(\mu)) = \begin{vmatrix} 2 & \mu & 4 \\ 3 & \mu & \mu \\ \mu & \mu & \mu \end{vmatrix}$$ Εκτελούμε τη γραμμοπράξη $R_2 \leftarrow R_2 - R_3$ (αφαιρούμε την 3η γραμμή από τη 2η): $$\det(A(\mu)) = \begin{vmatrix} 2 & \mu & 4 \\ 3-\mu & 0 & 0 \\ \mu & \mu & \mu \end{vmatrix}$$ Αναπτύσσουμε κατά τη 2η γραμμή (που έχει δύο μηδενικά): $$\det(A(\mu)) = -(3 - \mu) \begin{vmatrix} \mu & 4 \\ \mu & \mu \end{vmatrix} = (\mu - 3)(\mu^2 - 4\mu) = (\mu - 3)\mu(\mu - 4)$$ $$\det(A(\mu)) = \mu(\mu - 3)(\mu - 4)$$
Οι ρίζες της ορίζουσας είναι: $$\det(A(\mu)) = 0 \iff \mu = 0 \quad \text{ή} \quad \mu = 3 \quad \text{ή} \quad \mu = 4$$
Συμπέρασμα: Όλες οι ιδιοτιμές είναι διάφορες του μηδενός για: $$\mathbf{\mu \in \mathbb{R} \setminus \{0, 3, 4\}} \quad (\mu \neq 0 \;\text{και}\; \mu \neq 3 \;\text{και}\; \mu \neq 4)$$

Θέμα 4¶

💡 Πλήρης Λύση & Αιτιολόγηση¶

(α) Εφόσον $q = \alpha \beta \gamma \delta = 3 \neq 0$, κανένα διαγώνιο στοιχείο δεν είναι μηδέν ($\alpha \neq 0, \beta \neq 0, \gamma \neq 0, \delta \neq 0$).
Σε άνω τριγωνικό πίνακα με μη μηδενική διαγώνιο υπάρχουν 4 οδηγοί (pivots). Άρα: $$\mathbf{\operatorname{rank}(A) = 4}$$
(β) Η ορίζουσα άνω τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου: $$\mathbf{\det(A) = \alpha \beta \gamma \delta = q = 3}$$
(γ) Οι ιδιοτιμές ενός τριγωνικού πίνακα είναι ακριβώς τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του: $$\mathbf{\lambda_1 = \alpha, \quad \lambda_2 = \beta, \quad \lambda_3 = \gamma, \quad \lambda_4 = \delta}$$
(δ) & (ε) Για $\alpha = \beta = \delta = 1$ και $\gamma = 0$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Εκτελώντας $R_4 \leftarrow R_4 - R_3$, η 4η γραμμή μηδενίζεται: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Οδηγοί υπάρχουν στις στήλες 1, 2 και 4.
Βάση Χώρου Στηλών $\operatorname{Col}(A)$: Οι αρχικές στήλες των οδηγών (στήλες 1, 2, 4): $$\mathcal{B}_{\operatorname{Col}(A)} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$$
Βάση Χώρου Γραμμών $\operatorname{Row}(A)$: Οι μη μηδενικές γραμμές της κλιμακωτής μορφής: $$\mathcal{B}_{\operatorname{Row}(A)} = \left\{ (1, 1, 1, 0), \; (0, 1, 1, 1), \; (0, 0, 0, 1) \right\}$$
(ς) Από το Θεώρημα Βαθμού-Μηδενικότητας: $$\dim(\operatorname{null}(A)) = 4 - \operatorname{rank}(A)$$ Συνεπώς $\dim(\operatorname{null}(A)) \ge 1 \iff \operatorname{rank}(A) \le 3 \iff \det(A) = 0 \iff \alpha \beta \gamma \delta = 0$. Άρα: $$\mathbf{q = 0}$$

Θέμα 5¶

💡 Πλήρης Λύση & Αιτιολόγηση¶

Ερώτημα (α): $$\Delta_1 = \begin{vmatrix} g & h & i \\ \lambda d + a & \lambda e + b & \lambda f + c \\ d & e & f \end{vmatrix}$$
Αφαιρούμε $\lambda \times R_3$ από τη 2η γραμμή ($R_2 \leftarrow R_2 - \lambda R_3$). Η ορίζουσα δεν μεταβάλλεται: $$\Delta_1 = \begin{vmatrix} g & h & i \\ a & b & c \\ d & e & f \end{vmatrix}$$
Εναλλάσσουμε 1η και 2η γραμμή ($R_1 \leftrightarrow R_2$), οπότε αλλάζει πρόσημο: $$\Delta_1 = - \begin{vmatrix} a & b & c \\ g & h & i \\ d & e & f \end{vmatrix}$$
Εναλλάσσουμε 2η και 3η γραμμή ($R_2 \leftrightarrow R_3$), οπότε αλλάζει ξανά πρόσημο: $$\Delta_1 = (-1)^2 \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \mathbf{4}$$
Ερώτημα (β): $$\Delta_2 = \begin{vmatrix} a & b & c \\ \lambda d + a & \lambda e + b & \lambda f + c \\ g & h & i \end{vmatrix}$$ Αφαιρούμε την 1η γραμμή από τη 2η ($R_2 \leftarrow R_2 - R_1$): $$\Delta_2 = \begin{vmatrix} a & b & c \\ \lambda d & \lambda e & \lambda f \\ g & h & i \end{vmatrix} = \lambda \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = \mathbf{4\lambda}$$

Θέμα 6¶

💡 Πλήρης Λύση & Αιτιολόγηση¶

(α) Ένα μητρώο $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ είναι ορθογώνιο ($A^T A = I$) αν και μόνο αν οι στήλες του είναι ορθοκανονικές. Αν η πρώτη στήλη είναι $\mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}$, τότε η δεύτερη στήλη πρέπει να είναι ορθογώνια και μοναδιαία: $\mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix}$ ή $\begin{pmatrix} \sin\theta \\ -\cos\theta \end{pmatrix}$.
(Π.χ. για διάνυσμα παράλληλο στο $(1, 3)^T$, το κανονικοποιημένο είναι $\frac{1}{\sqrt{10}}(1, 3)^T$, και το ορθογώνιο $\frac{1}{\sqrt{10}}(-3, 1)^T$).
(β) Για να είναι $\operatorname{range}(B) = \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\right\}$, όλες οι μη μηδενικές στήλες του $B$ πρέπει να είναι πολλαπλάσια του διανύσματος $\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Άρα $B = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ 3c_1 & 3c_2 \end{pmatrix}$ με $(c_1, c_2) \neq (0, 0)$.
(γ) Ορθογώνιο μητρώο προβολής επί του μονοδιάστατου υποχώρου $W = \operatorname{span}\{\mathbf{w}\}$: $$P_W = \frac{\mathbf{w} \mathbf{w}^T}{\mathbf{w}^T \mathbf{w}} = \frac{1}{1^2 + 3^2} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.1 & 0.3 \\ 0.3 & 0.9 \end{pmatrix}$$ Ένας πίνακας είναι πίνακας προβολής αν και μόνο αν είναι ταυτοδύναμος ($B^2 = B$) και συμμετρικός ($B^T = B$ για ορθογώνια προβολή). Αν το επιλεγέν $B$ συμπίπτει με το $P_W$ $\implies$ ΝΑΙ, διαφορετικά ΟΧΙ.

Θέμα 7¶

💡 Πλήρης Λύση & Αιτιολόγηση¶

Ερώτημα (α): Εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό στα διανύσματα της κανονικής βάσης: $$T(\mathbf{e}_1) = T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad T(\mathbf{e}_2) = T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad T(\mathbf{e}_3) = T\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$ Συνεπώς το μητρώο αναπαράστασης $[T]$ ως προς την κανονική βάση είναι: $$\mathbf{[T] = \begin{pmatrix} d & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}}$$
Ερώτημα (β): Ο γραμμικός μετασχηματισμός $T$ δεν έχει αντίστροφο αν και μόνο αν $\det([T]) = 0$.
Υπολογίζουμε την ορίζουσα αναπτύσσοντας κατά την 1η γραμμή: $$\det([T]) = d \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$= d [(-1)(-2) - 1(1)] - 1 [1(1) - (-1)(0)] = d(2 - 1) - 1(1) = d - 1$$ $$\det([T]) = 0 \iff d - 1 = 0 \iff \mathbf{d = 1}$$
Ερώτημα (γ): Για $d \neq 1$, έχουμε $\det([T]) \neq 0$, άρα το μητρώο $[T]$ είναι αντιστρέψιμο και πλήρους βαθμού ($\operatorname{rank}([T]) = 3$).
Επειδή ο χώρος άφιξης είναι ο $\mathbb{R}^3$ και $\dim(\operatorname{Image}(T)) = \operatorname{rank}([T]) = 3$, ο μετασχηματισμός $T$ είναι επιμορφισμός (onto) και η εικόνα του είναι ολόκληρος ο χώρος: $$\mathbf{\operatorname{Image}(T) = \mathbb{R}^3}$$

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή