2024)¶

Μεταγραφή των φωτογραφιών 20240618_*.jpg και IMG_20240618_204743.jpg της εξέτασης 18/6/2024.

20240618_091153.jpg¶

$\mathbf{\Theta}$1. Δίνεται ο υπόχωρος του $\mathbb{R}^3$ $$V = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} : x = y \text{ και } x + y - z = 0 \right\}.$$

($\alpha$) Να βρεθεί μια βάση για τον $V$.

($\beta$) Να βρεθεί το ορθογώνιο συμπλήρωμα $V^\perp$ του $V$.

$\mathbf{\Theta}$2. Αν $A$ είναι το $3 \times 3$ μητρώο ορθογώνιας προβολής επί ενός διδιάστατου υπόχωρου $W$ [δυσανάγνωστο], τότε ($\alpha$) $\blacksquare \operatorname{range} A =$ ($\beta$) $\operatorname{null}(A^2 - A) = \mathbb{R}^3$. ($\gamma$) $\blacksquare \operatorname{null} A =$ ($\delta$) Το σύστημα $Ax = 0$ έχει μη μηδενικές λύσεις. ($\varepsilon$) $\blacksquare \operatorname{rank} A =$ ($\varsigma$) Αν το $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ είναι διάνυσμα στο $W^\perp$, τότε είναι ιδιοδιάνυσμα του $A$.

$\mathbf{\Theta}$3. Αν $$A = \begin{pmatrix} 3 - \rho & 2 & -\rho \\ 0 & \rho & \rho - 1 \\ 0 & 0 & \rho - 2 \end{pmatrix},$$ όπου $\rho$ είναι μια πραγματική παράμετρος, να βρεθούν οι ιδιοτιμές του $A$.

20240618_092513.jpg¶

Επικαλυπτόμενη φωτογραφία: επαναλαμβάνει μόνο το ερώτημα ($\varsigma$) της Θ2 και τη Θ3, ήδη μεταγραμμένα παραπάνω.

20240618_095000.jpg¶

[Λείπει από τη φωτογραφία: η εκφώνηση της Θ4 και το ερώτημα ($\alpha$) με $\blacksquare \det(2A) =$]

($\beta$) $\blacksquare \det(2A(3A)^{-1}) =$ ($\gamma$) $\blacksquare \det(2A(3A)^T) =$ ($\delta$) $\operatorname{rank}(A^{-1}) = 3$

$\mathbf{\Theta}$5. Δίνεται το μητρώο $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.$$

($\alpha$) Να βρείτε την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του $M$.

($\beta$) [Λείπει από τη φωτογραφία: «Να βρείτε μ»]ια βάση για την εικόνα ($\operatorname{range} M$) του $M$. (Το κάτω άκρο της φωτογραφίας κόβει τη γραμμή.)

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

20240618_101908.jpg¶

$\mathbf{\Theta}$7. Έστω $\mathcal{U} = \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\}$ και έστω $\mathcal{V} = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$ δύο βάσεις για τον $\mathbb{R}^3$, και έστω $F : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ ένας γραμμικός μετασχηματισμός τέτοιος ώστε $$F(\mathbf{u}_1) = -\mathbf{v}_1, \quad F(\mathbf{u}_2) = \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_3, \quad F(\mathbf{u}_3) = -\mathbf{v}_3.$$

($\alpha$) $\blacksquare$ Το μητρώο αναπαράστασης $A$ του $F$ ως προς τις βάσεις $\mathcal{U}$ και $\mathcal{V}$ είναι το $$A = \begin{pmatrix} & & \\ & & \\ & & \end{pmatrix}.$$

($\beta$) Μια βάση για την εικόνα $\operatorname{Image}(A)$ είναι η - [ ] i. $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$ - [ ] ii. $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_3\}$ - [ ] iii. $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3\}$ - [ ] iv. Καμιά από τις προηγούμενες

($\gamma$) Υπάρχει $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$ ώστε το σύστημα $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ δεν έχει λύση. $\Sigma$ $\Lambda$

$\mathbf{\Theta}$8. Ένα $3 \times 3$ μητρώο $A$ έχει ιδιοτιμές $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = \lambda_3 = 2$ με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα τα $$\mathbf{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}.$$

20240618_101618.jpg¶

Επικαλυπτόμενη φωτογραφία: επαναλαμβάνει το ερώτημα ($\beta$) ii και το ($\gamma$) της Θ7 και τα εισαγωγικά της Θ8, ήδη μεταγραμμένα παραπάνω.

($\alpha$) Το μητρώο $A$ είναι αντιστρέψιμο.

($\beta$) $\blacksquare \det A =$

[Λείπει από τη φωτογραφία: ετικέτα ($\gamma$)] Το μητρώο $A$ είναι διαγωνοποιήσιμο.

[δυσανάγνωστο] του $\mathbb{R}^3$ τέτοια ώστε να ισχύει

20240618_103457.jpg¶

($\beta$) Πότε η $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|$ παίρνει τη μέγιστη δυνατή τιμή; (Με απόδειξη.)

[Λείπει από τη φωτογραφία: αρχή της πρότασης (ερώτημα της Θ8)]ητρώο τότε $\det A = \det(A^{-1})$. $\Sigma$ $\Lambda$

Σημείωση: η σειρά των γραμμών στη φωτογραφία δεν είναι βέβαιη· η δεύτερη γραμμή ανήκει στη Θ8, η πρώτη στη Θ9(β).

20240618_104030.jpg¶

$\Sigma$ $\Lambda$

$\mathbf{\Theta}$9. Αν $\mathbf{u}$ και $\mathbf{v}$ είναι μη μηδενικά διανύσματα του $\mathbb{R}^3$ τέτοια ώστε να ισχύει $$\|\mathbf{u} + 2\mathbf{v}\| = \|\mathbf{v} + 2\mathbf{u}\|,$$ όπου $\|\cdot\|$ είναι η επαγόμενη νόρμα

($\alpha$) Τι συμπεραίνετε για τα διανύσματα $\mathbf{u}$ και $\mathbf{v}$; (Με απόδειξη.)

($\beta$) Πότε η $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|$ παίρνει τη μέγιστη δυνατή τιμή; (Με απόδειξη.)

IMG_20240618_204743.jpg¶

Αν $$A = \begin{pmatrix} \rho - 4 & 1 & 5 - \rho \\ \rho & \rho - 3 & \rho - 1 \\ 0 & 0 & \rho + 6 \end{pmatrix},$$ όπου $\rho$ είναι μια πραγματική παράμετρος, να βρεθούν οι ιδιοτιμές του $A$.

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2024-06¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα 1¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

(α) $x=y$ και $z=x+y=2x$: $V=\{(x,x,2x)\}=\operatorname{span}\{(1,1,2)^T\}$. Βάση: $\{(1,1,2)^T\}$.

(β) $V^\perp=\{\mathbf v:\ v_1+v_2+2v_3=0\}$, επίπεδο διάστασης 2. Βάση: $\{(1,-1,0)^T,(-2,0,1)^T\}$ (έλεγχος: $-2+0+2=0$).

Θέμα 2¶

Αξιοπιστία: 2 από 3 ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν (η άλλη διαφωνούσε)

(α) $\operatorname{range}A=W$ (επίπεδο, $\dim 2$). (β) $A^2=A$, άρα $A^2-A=O$ και $\operatorname{null}=\mathbb R^3$: Σ. (γ) $\operatorname{null}A=W^\perp$ (ευθεία, $\dim1$). (δ) Ναι, τα $\mathbf x\in W^\perp$, $\mathbf x\neq\mathbf 0$ δίνουν $A\mathbf x=\mathbf 0$: Σ. (ε) $\operatorname{rank}A=2$. (ς) Αν $\mathbf x\in W^\perp$, $\mathbf x\neq\mathbf 0$, τότε $A\mathbf x=\mathbf 0=0\cdot\mathbf x$, άρα ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή 0: Σ.

Θέμα 3¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Το $A$ είναι άνω τριγωνικό, άρα οι ιδιοτιμές είναι τα διαγώνια στοιχεία: $\lambda=3-\rho,\ \rho,\ \rho-2$.

Θέμα 4¶

Αξιοπιστία: δεν λύθηκε

Δεν λύθηκε: λείπει η εκφώνηση (το $A$ και το μέγεθός του) και το ερώτημα (α).

Θέμα 5¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

(α) $R_2\to-\tfrac13R_2$: $(0,1,-1)$. $R_1\to R_1-2R_2$: $(1,0,1)$. $R_3\to R_3-R_2$: $\mathbf 0$. $$\operatorname{rref}M=\begin{pmatrix}1&0&1\0&1&-1\0&0&0\end{pmatrix}.$$ (β) Οδηγοί στις στήλες 1, 2 (rank 2). Βάση του $\operatorname{range}M$: $\{(1,0,0)^T,(2,-3,1)^T\}$. (Το κείμενο του ερωτήματος (β) είναι μερικώς κομμένο· υποθέτω ότι ζητείται βάση της εικόνας.)

Θέμα 6¶

Αξιοπιστία: δεν λύθηκε

Δεν λύθηκε: η εκφώνηση δεν φαίνεται σε καμία φωτογραφία.

Θέμα 7¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

(α) Στήλες: $F(\mathbf u_1)=-\mathbf v_1\to(-1,0,0)^T$, $F(\mathbf u_2)=\mathbf v_1+\mathbf v_3\to(1,0,1)^T$, $F(\mathbf u_3)=-\mathbf v_3\to(0,0,-1)^T$: $$A=\begin{pmatrix}-1&1&0\0&0&0\0&1&-1\end{pmatrix}.$$ (β) Η 2η στήλη είναι $-$(1η)$-$(3η), $\operatorname{rank}=2$, η εικόνα είναι $\operatorname{span}\{\mathbf v_1,\mathbf v_3\}$. Η (ii) έχει 3 εξαρτημένα διανύσματα ($\mathbf v_1-\mathbf v_3$ ανήκει στο span), η (i) δεν είναι υποσύνολο της εικόνας. Σωστό: iii. (γ) $\operatorname{rank}A=2<3$, άρα υπάρχει $\mathbf b$ εκτός εικόνας (π.χ. $\mathbf b=(0,1,0)^T$): Σ.

Θέμα 8¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν

Ιδιοτιμές $1,2,2$, ιδιοδιανύσματα $(1,2,1),(2,0,1),(1,0,2)$. (α) Καμία ιδιοτιμή δεν είναι 0, άρα το $A$ είναι αντιστρέψιμο: Σ. (β) $\det A=1\cdot2\cdot2=$ 4. (γ) Τα τρία ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα ($\det[\mathbf x_1\ \mathbf x_2\ \mathbf x_3]=-6\neq0$), άρα διαγωνοποιήσιμο: Σ. (Ο ισχυρισμός «...τότε $\det A=\det(A^{-1})$» δεν λύθηκε: λείπει η αρχή του.)

Θέμα 9¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Θέμα 2 (φωτογραφία IMG_20240618_204743, ίδιο ερώτημα με το Θ2 του 2018-09)¶

Αξιοπιστία: 2 από 3 ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν (η άλλη διαφωνούσε) · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Ιδιοτιμές του $A$ με τρίτη γραμμή $(0,0,\rho+6)$: $\rho+6$ και οι ρίζες του $\lambda^2-(2\rho-7)\lambda+(\rho-2)(\rho-6)$, δηλ. $\lambda=\rho+6,\ \dfrac{2\rho-7\pm\sqrt{4\rho+1}}{2}$ (ελέγχθηκε αριθμητικά).

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή