Γραμμική Άλγεβρα — Σεπτέμβριος 2022 — Διαγώνισμα (19/9/2022)¶
Μεταγραφή των grammikh1.jpg και grammikh2.jpg από τον φάκελο grammikhSept2022· το zip είναι το ίδιο αρχείο.
grammikh1.jpg¶
ΤΜΗΥΠ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 19/9/2022
| ΕΠΩΝΥΜΟ: | ΟΝΟΜΑ: | ΑΡ. ΜΗΤΡΩΟΥ: |
|---|---|---|
Θ6. Δίνεται το μητρώο
(α') Να βρείτε μια κλιμακωτή μορφή για το \(M\).
(β') Να βρείτε μια βάση για την εικόνα (\(\operatorname{range} M\)) του \(M\).
(γ') Να βρείτε μια βάση για το μηδενόχωρο (\(\operatorname{null} M\)) του \(M\).
Θ7. Έστω \(A\) ένα \(4 \times 4\) μητρώο το οποίο ικανοποιεί την σχέση
όπου \(O\) είναι το μηδενικό μητρώο.
(α') Δείξτε ότι το \(A\) αντιστρέφεται και βρείτε το αντίστροφο.
(β') Χρησιμοποιήστε τη δοσμένη σχέση, ή κάποια ισοδύναμη για να δείξετε ότι το \(\lambda = 0\) δεν μπορεί να είναι ιδιοτιμή του \(A\).
grammikh2.jpg¶
[Λείπει από τη φωτογραφία: ο αριθμός θέματος (η σελίδα κόβεται στο πάνω μέρος)]
Έστω ότι το \(A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) είναι το μητρώο ορθογώνιας προβολής επί ενός διδιάστατου υπόχωρου \(W\) του \(\mathbb{R}^3\). Επιλέξτε κυκλώνοντας το σωστό χαρακτηρισμό για τον ισχυρισμό.
(α') \(A^2 = A\), \(\qquad\) Σ / Λ
(β') Το μητρώο \((A^T A)^{-1}\) υπάρχει, \(\qquad\) Σ / Λ
(γ') \(\operatorname{rank} A = 2\), \(\qquad\) Σ / Λ
(δ') Υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^3\) ώστε \(A\mathbf{v} = \mathbf{0}\), \(\qquad\) Σ / Λ
(ε') ◼ \(\dim(\operatorname{null} A) =\)
Έστω \(A = (\mathbf{a}_1 \quad \mathbf{a}_2 \quad \dots \quad \mathbf{a}_m) \in \mathbb{R}^{m \times m}\) και έστω \(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m\) ένα μη μηδενικό διάνυσμα ορθογώνιο σε κάθε στήλη του \(A\).
(α') Κάθε λύση του συστήματος \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) είναι διάνυσμα ορθογώνιο στο \(\mathbf{b}\).
(β') \(\operatorname{rank} A < m\).
Έστω \(A\) ένα \(n \times n\) μητρώο με \(\det A = m \neq 0\).
(α') ◼ \(\det(2A) =\)
(β') ◼ \(\det(3A(2A)^T) =\)
(γ') ◼ \(\det(2A(3A)^{-1}) =\)
Ένα \(3 \times 3\) μητρώο \(A\) έχει ιδιοτιμές \(\lambda_1 = -1\), \(\lambda_2 = 0\) και \(\lambda_3 = 1\) με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα
(α') Είναι το μητρώο \(A\) αντιστρέψιμο;
(β') Είναι το μητρώο \(A\) διαγωνοποιήσιμο;
[Λείπει από τη φωτογραφία: «Α»]ν \(X\) και \(Y\) είναι διανυσματικοί χώροι, \(\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\}\) είναι μια βάση για τον \(X\), \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}\) [Λείπει από τη φωτογραφία: «μ»]ια βάση για τον \(Y\), και \(F : X \to Y\) είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός τέτοιος ώστε
[Λείπει από τη φωτογραφία: «μ»]ε μητρώο αναπαράστασης \(A\), δηλαδή \(F(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}\), τότε
(α') ◼ \(\dim(\operatorname{Image}(A)) =\)
(β') Το \(\lambda = 0\) είναι ιδιοτιμή του \(A\).
(γ') ◼ \(\qquad A =\)
(δ') ◼ \(\qquad \operatorname{Kernel}(F) =\)
Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις →
2022-09.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας):grammikhSept2022.zip
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2022-09¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 6¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
(α) \(R_3\to R_3-R_1\) δίνει \((0,2,2)\), μετά \(R_3\to R_3-R_2\) δίνει \(\mathbf 0\). Κλιμακωτή μορφή: $\(\begin{pmatrix}1&1&1\0&2&2\0&0&0\end{pmatrix}\)$ (β) Οι οδηγοί είναι στις στήλες 1, 2. Βάση του \(\operatorname{range}M\) οι αντίστοιχες στήλες του αρχικού \(M\): \(\{(1,0,1)^T,(1,2,3)^T\}\).
(γ) Ελεύθερη μεταβλητή \(x_3=t\): \(2x_2+2x_3=0\Rightarrow x_2=-t\), \(x_1+x_2+x_3=0\Rightarrow x_1=0\). Βάση του \(\operatorname{null}M\): \(\{(0,1,-1)^T\}\) (επαληθεύτηκε: \(M(0,1,-1)^T=\mathbf 0\), \(\operatorname{rank}M=2\)).
Θέμα 7¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
(α) Εκτελώντας τον πολλαπλασιασμό: \((A-2I)(A^2+A+I)=A^3-A^2-A-2I=O\). Άρα \(A(A^2-A-I)=2I\), οπότε $\(A\cdot\tfrac12(A^2-A-I)=I.\)$ Το \(A\) αντιστρέφεται και \(A^{-1}=\tfrac12(A^2-A-I)\).
(β) Αν \(\lambda=0\) ήταν ιδιοτιμή, θα υπήρχε \(\mathbf v\neq\mathbf 0\) με \(A\mathbf v=\mathbf 0\). Τότε \((A^2+A+I)\mathbf v=\mathbf v\) και \((A-2I)\mathbf v=-2\mathbf v\), άρα \(\mathbf 0=-2\mathbf v\), άτοπο. (Ισοδύναμα: το \(A\) αντιστρέφεται από το (α), άρα \(\det A\neq0\).)
Θέμα (χωρίς αριθμό) — προβολή στο δισδιάστατο \(W\subset\mathbb R^3\)¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
(α) Σ (\(P^2=P\)). (β) Λ: \(\operatorname{rank}A=2<3\), άρα το \(A^TA\) είναι ιδιάζον. (γ) Σ (\(\operatorname{range}A=W\), \(\dim=2\)). (δ) Σ: τα διανύσματα του \(W^\perp\neq\{0\}\) ανήκουν στον \(\operatorname{null}A\). (ε) \(\dim\operatorname{null}A=3-2=\) 1.
Θέμα (χωρίς αριθμό) — \(\mathbf b\perp\) στηλών του \(A\)¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Δεδομένο: \(A^T\mathbf b=\mathbf 0\), \(\mathbf b\neq\mathbf 0\).
(α) Αν \(A\mathbf x=\mathbf b\), τότε \(\mathbf b^T\mathbf b=\mathbf b^TA\mathbf x=(A^T\mathbf b)^T\mathbf x=0\), άρα \(\mathbf b=\mathbf 0\), άτοπο. Άρα το σύστημα δεν έχει λύση και ο ισχυρισμός ισχύει μόνο κενά (Σ, κενή αλήθεια)· αν ο εξεταστής εννοεί «υπάρχει λύση», θα ήταν Λ. Η ερμηνεία είναι αβέβαιη.
(β) \(A^T\) έχει μη μηδενικό διάνυσμα στον μηδενόχωρο, άρα \(\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A^T<m\): Σ.
Θέμα (χωρίς αριθμό) — \(\det A=m\neq0\), \(n\times n\)¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
(α) \(\det(2A)=2^n m\). (β) \(\det(3A\,(2A)^T)=\det(3A)\det(2A^T)=3^nm\cdot2^nm=6^nm^2\). (γ) \(2A(3A)^{-1}=\tfrac23I\), άρα \(\det=(2/3)^n\).
Θέμα (χωρίς αριθμό) — ιδιοτιμές \(-1,0,1\)¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
(α) Όχι: το \(0\) είναι ιδιοτιμή, άρα \(\det A=0\). (β) Ναι: τρεις διακεκριμένες ιδιοτιμές (και τα \(\mathbf x_i\) είναι ανεξάρτητα, \(\det[\mathbf x_1\ \mathbf x_2\ \mathbf x_3]=-1\ne0\)).
Θέμα (χωρίς αριθμό) — γραμμικός μετασχηματισμός \(F:X\to Y\)¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Οι στήλες του \(A\) είναι οι συντεταγμένες των \(F(\mathbf u_j)\) ως προς \(\{\mathbf v_i\}\): $\(A=\begin{pmatrix}0&1&1\1&0&1\0&0&0\end{pmatrix}.\)$ (γ) Αυτό είναι το \(A\). (α) \(\operatorname{rank}A=2\) (η 3η σειρά μηδενική, οι δύο πρώτες ανεξάρτητες): \(\dim\operatorname{Image}(A)=\) 2. (β) Αφού \(\operatorname{rank}A=2<3\), \(\det A=0\) και το \(\lambda=0\) είναι ιδιοτιμή: Σ. (δ) \(A\mathbf x=\mathbf 0\): \(x_2+x_3=0\), \(x_1+x_3=0\), άρα \(\mathbf x=t(-1,-1,1)^T\). Ισοδύναμα \(F(\mathbf u_1+\mathbf u_2-\mathbf u_3)=\mathbf v_2+\mathbf v_1-\mathbf v_1-\mathbf v_2=\mathbf 0\). \(\operatorname{Kernel}(F)=\operatorname{span}\{\mathbf u_1+\mathbf u_2-\mathbf u_3\}\).