Γραμμική Άλγεβρα — Σεπτέμβριος 2021 — Ερώτηση 7 (17/9/2021)¶
Μεταγραφή του στιγμιότυπου Screenshot_2021-09-17_172141.png.
Screenshot_2021-09-17_172141.png¶
Ερώτηση: 7 (Βαθμός: 6.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))
Εάν \(A\) είναι ένα \(n \times n\) μητρώο με χαρακτηριστικό πολυώνυμο \(p(\lambda) = \lambda^n - 3\), τότε
- [ ] Το \(A\) αντιστρέφεται.
- [ ] Το \(A\) θα μπορούσε να είναι ορθογώνιο.
- [ ] Δεν υπάρχει διάνυσμα \(\mathbf{x}\) με \(\|\mathbf{x}\| = 1\) ώστε \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\).
- [ ] Το άθροισμα των ιδιοτιμών του \(A\) είναι θετικό.
- [ ] Υπάρχει \(\rho > 0\) ώστε \((\rho A)^n = I\).
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2021-09¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 7¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Δεδομένο: \(p(\lambda)=\lambda^n-3\). Τότε \(p(0)=\det(-A)=(-1)^n\det A=-3\), άρα \(\det A\neq0\).
- «Το \(A\) αντιστρέφεται»: σωστό (\(\det A=\pm3\neq0\)).
- «Θα μπορούσε να είναι ορθογώνιο»: λάθος. Ορθογώνιο μητρώο έχει \(|\det|=1\), ενώ εδώ \(|\det A|=3\).
- «Δεν υπάρχει μοναδιαίο \(\mathbf x\) με \(A\mathbf x=\mathbf 0\)»: σωστό, αφού το \(A\) αντιστρέφεται και άρα \(\operatorname{null}A=\{\mathbf 0\}\).
- «Άθροισμα ιδιοτιμών θετικό»: το άθροισμα είναι \(\operatorname{tr}A\) = (αντίθετος συντελεστής του \(\lambda^{n-1}\)) \(=0\) για \(n\ge2\). Λάθος (εκτός από την τετριμμένη περίπτωση \(n=1\) όπου \(A=(3)\) και το άθροισμα είναι \(3>0\)· στη γενική περίπτωση \(n\ge 2\) είναι λάθος).
- «Υπάρχει \(\rho>0\) με \((\rho A)^n=I\)»: από Cayley–Hamilton \(p(A)=0\), δηλ. \(A^n=3I\). Τότε \((\rho A)^n=3\rho^nI=I\) για \(\rho=3^{-1/n}>0\). Σωστό.
Σωστές: 1, 3, 5.