2020)¶

Μεταγραφή από το Linear_Algebra_September_2020.pdf και τα στιγμιότυπα του 23/9/2020· τα 1.png και 2.png είναι διπλότυπα ερωτήσεων 1–2.

Linear_Algebra_September_2020.pdf¶

Ερώτηση: 1 (μέγιστη βαθμολογία: 2.00) (Σωστό / Λάθος)

Εάν $\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n$ είναι ορθογώνια μεταξύ τους διανύσματα του $\mathbb{R}^n$, τότε τα $\mathbf{w}_k$ είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Απάντηση

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση: 2 (μέγιστη βαθμολογία: 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Δίνεται το μητρώο

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.\]

Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

Απάντηση

[ ] Η αναγμένων γραμμών κλιμακωτή μορφή του $A$ είναι το ταυτοτικό μητρώο $I$.
[ ] Η αναγμένων γραμμών κλιμακωτή μορφή του $A$ περιέχει μια γραμμή με μηδέν παντού.
[ ] $\operatorname{rank} A = 3$.
[ ] $\det A = 0$.

Ερώτηση: 3 (μέγιστη βαθμολογία: 2.00) (Σωστό / Λάθος)

Εάν

\[\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ 2c_1 & 2c_2 & 2c_3 \end{vmatrix} = 2,\]

τότε

\[\begin{vmatrix} 3a_1 & 3a_2 & 3a_3 \\ b_1 + 2a_1 & b_2 + 2a_2 & b_3 + 2a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = 3.\]

Απάντηση

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση: 4 (μέγιστη βαθμολογία: 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Εάν $A$ είναι ένα $4 \times 4$ μητρώο, τότε

\[\det(\lambda I - A) = \det A + \lambda p(\lambda),\]

όπου $p(\lambda)$ είναι ένα πολυώνυμο. Τι μπορεί να ειπωθεί για το $p(\lambda)$;

Απάντηση

[ ] $p(\lambda) = 1 + a_1\lambda + a_2\lambda^2 + a_3\lambda^3$.
[ ] $p(\lambda) = a_0 + a_1\lambda + a_2\lambda^2 + \lambda^3$.
[ ] $p(\lambda) = \det(\lambda I - B)$, όπου $B$ είναι ένα $3 \times 3$ μητρώο.
[ ] $p(\lambda) = \lambda^3 + 1$.

Ερώτηση: 5 (μέγιστη βαθμολογία: 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Θεωρήστε το σύστημα

\[\begin{aligned} x + y + 2z &= a \\ 2x + 3y + 3z &= 1 \\ 2x + 2y + \mu z &= b \end{aligned}\]

όπου $a, b, \mu$ είναι πραγματικές παράμετροι. Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

Απάντηση

[ ] Για κάθε $\mu \le 0$ το σύστημα έχει μοναδική λύση.
[ ] Για $\mu \neq 4$ και το $b = 2a$ σύστημα έχει άπειρες λύσεις.
[ ] Για $\mu = 4$ και το $b > 2a$ σύστημα δεν έχει λύση.
[ ] Για $\mu = 5$ το σύστημα δεν έχει λύση.

Ερώτηση: 6 (μέγιστη βαθμολογία: 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Δίνεται το μητρώο

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & p \\ s & 4 & 3 \end{pmatrix}\]

όπου $p$ και $s$, είναι πραγματικές παράμετροι. Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

Απάντηση

[ ] Ο χώρος στηλών $C(A)$ έχει διάσταση 2.
[ ] Ο χώρος γραμμών $R(A)$ του $A$ έχει διάσταση τουλάχιστον ίση με 1.
[ ] Αν $\operatorname{range} A = \mathbb{R}^2$, τότε τάξη $\operatorname{rank} A$ είναι είναι ίση με 2.
[ ] Το σύστημα $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ έχει για κάθε $\mathbf{b}$ άπειρες λύσεις.

Ερώτηση: 7 (μέγιστη βαθμολογία: 3.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση))

Θεωρήστε τους μετασχηματισμούς στο $\mathbb{R}^3$

\[T_1 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_3 \\ x_1 + x_2 \end{pmatrix}, \qquad T_2 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_3 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad T_3 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 + 1 \\ x_1 x_3 \end{pmatrix}.\]

Τι μπορεί να ειπωθεί όσον αφορά την γραμμικότητα ή μη των μετασχηματισμών;

Απάντηση

[ ] Οι $T_1$ και $T_3$ είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί.
[ ] Οι $T_1$ και $T_2$ είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί.
[ ] Οι $T_2$ και $T_3$ είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί.
[ ] Μόνο ένας από τους τρεις μετασχηματισμούς είναι γραμμικός.

Ερώτηση: 8 (μέγιστη βαθμολογία: 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Εάν $A$ είναι ένα τετραγωνικό μητρώο, ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

Απάντηση

[ ] Εάν $\lambda$ είναι ιδιοτιμή του $A$, το σύστημα $(\lambda I - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ έχει μοναδική λύση.
[ ] Εάν το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του $A$, τότε $\det A^n \neq 0$, για κάθε φυσικό αριθμό $n$.
[ ] Εάν το 0 είναι ιδιοτιμή του $A$, τότε οι στήλες του $A$ είναι γραμμικά ανεξάρτητες.
[ ] Εάν το $A$ είναι ορθογώνιο, τότε κάθε ιδιοδιάνυσμα του $A$ είναι και ιδιοδιάνυσμα του $A^T$.

Ερώτηση: 9 (μέγιστη βαθμολογία: 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Έστω

\[V = \operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}.\]

Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

Απάντηση

[ ] Το ορθογώνιο συμπλήρωμα $V^\perp$ του $V$ είναι επίπεδο το οποίο περιέχει το μηδενικό διάνυσμα.
[ ] Το ορθογώνιο συμπλήρωμα $V^\perp$ του $V$ είναι ευθεία της μορφής $$\operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}.$$
[ ] Το μητρώο προβολής επί του $V$ είναι το $$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
[ ] Αν $$\mathbf{v} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ και $\mathbf{v} \in V^\perp$, τότε $\lambda = \mu = 0$.

12.png¶

Θεωρήστε το σύστημα $$\begin{aligned} x + 2y - 3z &= 4 \\ 3x - y + 5z &= 2 \\ 4x + y + (\mu^2 - 2)z &= \mu + 4 \end{aligned}$$ όπου $\mu$ είναι πραγματική παράμετρος. Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

Απάντηση

[ ] Για $\mu > -2$ το σύστημα έχει λύση.
[ ] Για $\mu^2 \ne 2$ το σύστημα έχει μία ή περισσότερες λύσεις.
[ ] Για $\mu = 2$ το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.
[ ] Για $\mu \ge -2$ το σύστημα έχει λύση.
[ ] Το σύστημα έχει μοναδική λύση μόνο για $\mu > 2$.

Screenshot_2020-09-23-13-15-03-682_com.android.chrome.jpg¶

(Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Εάν $$\begin{vmatrix} 1 & a & b \\ 1 & c & d \\ 1 & d & d \end{vmatrix} = 1,$$

τότε

Απάντηση

[ ] $b \ne 1$ και $d \ne 1$.
[ ] $c \ne d$.
[ ] $d \ne a$ και $d \ne b$.
[ ] Τα διανύσματα $$\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ b \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ c \\ d \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ d \\ d \end{pmatrix}$$ αποτελούν μια βάση για τον $\mathbb{R}^3$.
[ ] $\begin{vmatrix} -1 & a & b \\ -1 & d & d \\ -1 & c & d \end{vmatrix} = -1,$

Screenshot_2020-09-23-13-26-42-313_com.android.chrome.jpg¶

[Λείπει από τη φωτογραφία: η εκφώνηση της ερώτησης (ορισμός του μητρώου $A$), εκτός κάδρου· η φωτογραφία ξεκινά από την ερώτηση «Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;»]

Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

Απάντηση

[ ] Αν το μητρώο $A$ είναι διαγωνοποιήσιμο, τότε είναι αντιστρέψιμο.
[ ] Το μητρώο $A$ δεν είναι διαγωνοποιήσιμο γιατί οι ιδιοτιμές του δεν είναι ξένες μεταξύ τους.
[ ] Το μητρώο $A$ είναι διαγωνοποιήσιμο γιατί τρία ιδιοδιανύσματά του είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
[ ] $\det A = -18$.
[ ] Το $A^{-1}$ υπάρχει.
[ ] $\det A = 18$.
[ ] Τα δεδομένα που διαθέτουμε δεν επαρκούν ώστε να μπορούμε να γνωρίζουμε την τιμή της ορίζουσας του $A$.

Screenshot_2020-09-23-14-56-58-727_com.android.chrome.jpg¶

Σημείωση: διπλότυπο της ίδιας ερώτησης με το στιγμιότυπο Screenshot_2020-09-23-13-15-03-682_com.android.chrome.jpg.

Εάν $$\begin{vmatrix} 1 & a & b \\ 1 & c & d \\ 1 & d & d \end{vmatrix} = 1,$$

τότε

Απάντηση

[ ] $b \ne 1$ και $d \ne 1$.
[ ] $c \ne d$.
[ ] $d \ne a$ και $d \ne b$.
[ ] Τα διανύσματα $$\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ b \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ c \\ d \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ d \\ d \end{pmatrix}$$ αποτελούν μια βάση για τον $\mathbb{R}^3$.
[ ] $\begin{vmatrix} -1 & a & b \\ -1 & d & d \\ -1 & c & d \end{vmatrix} = -1,$

Screenshot_2020-09-23-15-00-18-863_com.android.chrome.jpg¶

Ερώτηση: 6 (μέγιστη βαθμολογία: 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Εάν $$\begin{vmatrix} 1 & a & b \\ 1 & c & d \\ 1 & d & d \end{vmatrix} = 1,$$

τότε

Απάντηση

[ ] $b \ne 1$ και $d \ne 1$.
[ ] $c \ne d$.
[ ] $d \ne a$ και $d \ne b$.
[ ] Τα διανύσματα $$\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ b \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ c \\ d \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ d \\ d \end{pmatrix}$$ αποτελούν μια βάση για τον $\mathbb{R}^3$.
[ ] $\begin{vmatrix} -1 & a & b \\ -1 & d & d \\ -1 & c & d \end{vmatrix} = -1,$

[συμπληρώθηκε από Screenshot_2020-09-23-13-15-03-682_com.android.chrome.jpg· στο στιγμιότυπο η τελευταία γραμμή της ορίζουσας είναι κομμένη]

Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις → 2020-09.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας): 1.png, 2.png

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, gemini-3.7-flash, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2020-09¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα 1 (ορθογώνια $\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_n\in\mathbb R^n$)¶

Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Όπως διατυπώνεται (χωρίς «μη μηδενικά»), Λάθος: το μηδενικό διάνυσμα είναι ορθογώνιο σε όλα και ένα σύνολο που το περιέχει είναι εξαρτημένο. Αν η εκφώνηση εννοούσε μη μηδενικά διανύσματα, θα ήταν Σωστό.