2020)¶

Οδηγία εξέτασης: Η τύχη δεν βοηθά πάντα τους τολμηρούς. Αν δεν είστε σίγουροι για την απάντηση μην απαντάτε στην τύχη, "σκιαγραφείστε" την απόδειξη στο χαρτί και μετά απαντήστε. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Μεταγραφή από το d0dd31761acfaa34.pdf· οι φωτογραφίες του Themata2020/2020 καταχωρούνται ως επιπλέον πηγές.

d0dd31761acfaa34.pdf¶

Ερώτηση 1 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Η ίδια διατύπωση εμφανίζεται ως «Ερώτηση 4 / 9» σε άλλη προβολή (χωρίς ορατό αριθμό στη μία σελίδα).

Εάν \(A\) είναι ένα τετραγωνικό μητρώο, ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

[ ] Εάν \(\lambda\) είναι ιδιοτιμή του \(A\), το σύστημα \((\lambda I - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}\) έχει μοναδική λύση.
[ ] Εάν το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του \(A\), τότε το \(\det A^n \neq 0\), για κάθε φυσικό αριθμό \(n\).
[ ] Εάν το 0 είναι ιδιοτιμή του \(A\), τότε οι στήλες του \(A\) είναι γραμμικά ανεξάρτητες.
[ ] Εάν το \(A\) είναι ορθογώνιο, τότε κάθε ιδιοδιάνυσμα του \(A\) είναι και ιδιοδιάνυσμα του \(A^T\).

Ερώτηση 2 / 9 (Σωστό / Λάθος — 2 βαθμοί)¶

Εάν \(W\) είναι ένας υπόχωρος του \(\mathbb{R}^n\) και \(P\) είναι το μητρώο της ορθογώνιας προβολής επί του \(W\), τότε για κάθε \(\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n\) το πλησιέστερο στο \(\mathbf{u}\) διάνυσμα του \(W\) είναι η προβολή του \(\mathbf{u}\) στο \(W\), δηλαδή

\[\min_{\mathbf{w} \in W} \|\mathbf{u} - \mathbf{w}\| = \|\mathbf{u} - P\mathbf{u}\|.\]

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση 2 / 9 (Σωστό / Λάθος — 2 βαθμοί)¶

Η ίδια διατύπωση εμφανίζεται ως «Ερώτηση 9 / 9» σε άλλη προβολή.

Εάν \(S = \{\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_m\}\) είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα στο \(\mathbb{R}^n\), τότε η εφαρμογή της διαδικασίας Gram-Schmidt στο \(S\) παράγει μια βάση για το \(\operatorname{span} S\).

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση 2 / 9 (Σωστό / Λάθος — 2 βαθμοί)¶

Η ίδια διατύπωση εμφανίζεται ως «Ερώτηση 5 / 9» σε άλλη προβολή.

Εάν

\[\begin{vmatrix} 3a_1 & 3a_2 & 3a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = 3,\]

τότε

\[\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 + 2a_1 & b_2 + 2a_2 & b_3 + 2a_3 \\ 2c_1 & 2c_2 & 2c_3 \end{vmatrix} = 2.\]

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση 2 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Θεωρήστε το σύστημα

\[\begin{aligned} x + 2y + 2z &= a \\ 2x + 3y + 2z &= b \\ 3x + 2y + \mu z &= 1 \end{aligned}\]

όπου \(a, b, \mu\) είναι πραγματικές παράμετροι. Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

[ ] Για κάθε \(\mu \ge 0\) το σύστημα έχει μοναδική λύση.
[ ] Για \(\mu < -2\) και το \(a = b = 1\) σύστημα έχει άπειρες λύσεις.
[ ] Για \(\mu = -2\) και το \(a = b = 1\) σύστημα δεν έχει λύση.
[ ] Για \(\mu = -2\) το σύστημα δεν έχει λύση.

Ερώτηση 2 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Εάν \(A\) είναι ένα \(4 \times 4\) μητρώο, τότε

\[\det(\lambda I - A) = \det A + \lambda p(\lambda),\]

όπου \(p(\lambda)\) είναι ένα πολυώνυμο. Τί μπορεί να ειπωθεί για το \(p(\lambda)\);

[ ] \(p(\lambda) = 1 + a_1\lambda + a_2\lambda^2 + a_3\lambda^3\).
[ ] \(p(\lambda) = a_0 + a_1\lambda + a_2\lambda^2 + \lambda^3\).
[ ] \(p(\lambda) = \det(\lambda I - B)\), όπου \(B\) είναι ένα \(3 \times 3\) μητρώο.
[ ] \(p(\lambda) = \lambda^3 + 1\).

Ερώτηση 3 / 9 (Σωστό / Λάθος — 2 βαθμοί)¶

Εάν \(A\) είναι ένα \(4 \times 4\) μητρώο, τότε

\[\det(\lambda I - A) = (\lambda - s_1 \det A)(\lambda - s_2 \det A)(\lambda - s_3 \det A)(\lambda - s_4 \det A),\]

για κάποιους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς \(s_1, s_2, s_3, s_4\) με \(s_1 s_2 s_3 s_4 = 1\).

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση 3 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Εάν \(A\) είναι ένα \(4 \times 4\) μητρώο, τότε

\[\det(\lambda I - A) = \det A + \lambda p(\lambda),\]

όπου \(p(\lambda)\) είναι ένα πολυώνυμο. Τί μπορεί να ειπωθεί για το \(p(\lambda)\);

[ ] \(p(\lambda) = 1 + a_1\lambda + a_2\lambda^2 + a_3\lambda^3\).
[ ] \(p(\lambda) = a_0 + a_1\lambda + a_2\lambda^2 + \lambda^3\).
[ ] \(p(\lambda) = \det(\lambda I - B)\), όπου \(B\) είναι ένα \(3 \times 3\) μητρώο.
[ ] \(p(\lambda) = \lambda^3 - \operatorname{trace} A\).

Το ίδιο ερώτημα με διαφορετική τέταρτη επιλογή εμφανίζεται ως «Ερώτηση 2 / 9» (επιλογή: \(p(\lambda) = \lambda^3 + 1\)).

Ερώτηση 3 / 9 (Σωστό / Λάθος — 2 βαθμοί)¶

Εάν \(A\) είναι ένα \(4 \times 4\) μητρώο, τότε

\[\det(\lambda I - A) = (\lambda - r_1 \det A)(\lambda - r_2 \det A)(\lambda - r_3 \det A)(\lambda - r_4 \det A)\]

για κάποιους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς \(r_1, r_2, r_3, r_4\) με \(r_1 r_2 r_3 r_4 = 1\).

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Η ίδια διατύπωση με τα \(r_i\) εμφανίζεται ως «Ερώτηση 7 / 9» σε άλλη προβολή.

Ερώτηση 3 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 3 βαθμοί)¶

Θεωρήστε τους μετασχηματισμούς στο \(\mathbb{R}^3\)

\[T_1 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ 3x_2 - x_3 \\ x_1 + x_3 \end{pmatrix}, \qquad T_2 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_3 \\ 2x_2 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad T_3 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - 2x_3 \\ 0 \\ 1 + x_3 \end{pmatrix}.\]

Τι μπορεί να ειπωθεί όσον αφορά την γραμμικότητα ή μη των μετασχηματισμών;

[ ] Οι \(T_1\) και \(T_3\) είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί.
[ ] Οι \(T_1\) και \(T_2\) είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί.
[ ] Οι \(T_2\) και \(T_3\) είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί.
[ ] Μόνο ένας από τους τρεις μετασχηματισμούς είναι γραμμικός.

Η ίδια διατύπωση εμφανίζεται ως «Ερώτηση 4 / 9» σε άλλες προβολές.

Ερώτηση 5 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Η ίδια διατύπωση εμφανίζεται ως «Ερώτηση 6 / 9» σε άλλη προβολή.

Θεωρήστε το σύστημα

\[\begin{aligned} x + 2y + z &= a \\ 3x + 7y + 3z &= b \\ 2x + 3y + \mu z &= 1 \end{aligned}\]

όπου \(a, b, \mu\) είναι πραγματικές παράμετροι. Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

[ ] Για κάθε \(\mu > 2\) το σύστημα έχει μοναδική λύση.
[ ] Για \(\mu = 2\) και το \(b = 2a - 1\) σύστημα έχει άπειρες λύσεις.
[ ] Για \(\mu = 2\) και το \(b \neq a + 1\) σύστημα δεν έχει λύση.
[ ] Για \(\mu = a = b\) το σύστημα δεν έχει λύση.

Ερώτηση 9 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Η επικεφαλίδα και η λέξη «Εάν» δεν φαίνονται στη σελίδα του PDF· συμπληρώθηκαν από τη φωτογραφία received_756664495076358.jpeg [συμπληρώθηκε από received_756664495076358.jpeg].

Εάν

\[\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 2b_1 & 2b_2 & 2b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = 4,\]

τότε

[ ] \(\begin{vmatrix} 3a_1 & 3a_2 & 3a_3 \\ b_1 - 3a_1 & b_2 - 3a_2 & b_3 - 3a_3 \\ 2c_1 & 2c_2 & 2c_3 \end{vmatrix} = 6.\)
[ ] \(\begin{vmatrix} 3a_1 & 3a_2 & 3a_3 \\ b_1 + 3a_1 & b_2 + 3a_2 & b_3 + 3a_3 \\ 4c_1 + b_1 & 4c_2 + b_2 & 4c_3 + b_3 \end{vmatrix} = 12.\)
[ ] \(\lambda_1 \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} a_3 \\ b_3 \\ c_3 \end{pmatrix} = \mathbf{0} \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0.\)
[ ] \(\begin{vmatrix} a_1 & 3a_2 & a_3 \\ b_1 + 3a_1 & 3b_2 + 3a_2 & b_3 + 3a_3 \\ c_1 & 3c_2 & c_3 \end{vmatrix} = 6.\)

Ερώτηση 5 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Δίνεται το μητρώο

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & q \\ r & 2 & 3 \end{pmatrix}\]

όπου \(q\) και \(r\), είναι πραγματικές παράμετροι. Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

[ ] Η τάξη \(\operatorname{rank} A\) είναι πάντοτε μεγαλύτερη του 1.
[ ] Το σύστημα \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) είτε δεν έχει λύση, ή έχει άπειρες λύσεις.
[ ] Ο χώρος στηλών \(C(A)\) έχει διάσταση το πολύ 2.
[ ] Ο χώρος γραμμών \(R(A)\) του \(A\) έχει διάσταση 2.

Ερώτηση 9 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Η ίδια διατύπωση εμφανίζεται ως «Ερώτηση 5 / 9» σε άλλη προβολή.

Δίνεται το μητρώο

\[A = \begin{pmatrix} 4 & 5 & r \\ s & 2 & 1 \end{pmatrix}\]

όπου \(r\) και \(s\), είναι πραγματικές παράμετροι. Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

[ ] Το σύστημα \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) έχει άπειρες λύσεις.
[ ] Ο χώρος στηλών \(C(A)\) έχει διάσταση το πολύ 2.
[ ] Η τάξη \(\operatorname{rank} A\) είναι πάντοτε μεγαλύτερη του 1.
[ ] Ο χώρος γραμμών \(R(A)\) του \(A\) έχει διάσταση 2.

Ερώτηση 6 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Δίνεται το μητρώο

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.\]

Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

[ ] Η αναγμένων γραμμών κλιμακωτή μορφή του \(A\) είναι το ταυτοτικό μητρώο \(I\).
[ ] Η αναγμένων γραμμών κλιμακωτή μορφή του \(A\) περιέχει μια γραμμή με μηδέν παντού.
[ ] \(\operatorname{rank} A = 3\).
[ ] \(\det A = 0\).

Ερώτηση 7 / 9 (Σωστό / Λάθος — 2 βαθμοί)¶

Εάν \(\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n\) είναι ορθογώνια μεταξύ τους διανύσματα του \(\mathbb{R}^n\), τότε τα \(\mathbf{w}_k\) είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Η ίδια διατύπωση εμφανίζεται ως «Ερώτηση 1 / 9» σε άλλη προβολή.

Ερώτηση 7 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Εάν

\[\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ 2c_1 & 2c_2 & 2c_3 \end{vmatrix} = 2,\]

τότε

[ ] \(\begin{vmatrix} 3a_1 & 3a_2 & 3a_3 \\ b_1 + 2c_1 & b_2 + 2c_2 & b_3 + 2c_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} = 0.\)
[ ] \(\begin{vmatrix} 3a_1 & 3a_2 & 3a_3 \\ b_1 + 2a_1 & b_2 + 2a_2 & b_3 + 2a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = 6.\)
[ ] \(\begin{vmatrix} 3a_1 & b_1 & c_1 \\ 3a_1 & b_2 & c_2 \\ 3a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 2.\)
[ ] \(\begin{vmatrix} 3a_1 & 3a_2 & 3a_3 \\ b_1 + 2a_1 & b_2 + 2a_2 & b_3 + 2a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.\)

Ερώτηση 7 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Έστω

\[V = \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}.\]

Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

[ ] Το ορθογώνιο συμπλήρωμα \(V^\perp\) του \(V\) είναι επίπεδο κάθετο στο \(V\) το οποίο περιέχει το μηδενικό διάνυσμα.
[ ] Το ορθογώνιο συμπλήρωμα \(V^\perp\) του \(V\) είναι ευθεία της μορφής

\[\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}.\]

[ ] Αν

\[\mathbf{v} = \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

και \(\mathbf{v} \in V^\perp\), τότε \(\lambda = \mu = 0\).

[ ] Το μητρώο προβολής επί του \(V\) είναι το

\[P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\]

Ερώτηση 5 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Έστω

\[V = \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}.\]

Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

[ ] Το ορθογώνιο συμπλήρωμα \(V^\perp\) του \(V\) είναι επίπεδο το οποίο περιέχει το μηδενικό διάνυσμα.
[ ] Το ορθογώνιο συμπλήρωμα \(V^\perp\) του \(V\) είναι ευθεία της μορφής

\[\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}.\]

[ ] Αν

\[\mathbf{v} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]

και \(\mathbf{v} \in V^\perp\), τότε \(\lambda = \mu = 0\).

[ ] Το μητρώο προβολής επί του \(V\) είναι το

\[P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\]

Ερώτηση 5 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Δίνεται το μητρώο

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & p \\ s & 4 & 3 \end{pmatrix}\]

όπου \(p\) και \(s\), είναι πραγματικές παράμετροι. Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

[ ] Ο χώρος στηλών \(C(A)\) έχει διάσταση 2.
[ ] Ο χώρος γραμμών \(R(A)\) του \(A\) έχει διάσταση τουλάχιστον ίση με 1.
[ ] Αν \(\operatorname{range} A = \mathbb{R}^2\), τότε τάξη \(\operatorname{rank} A\) είναι [sic: «είναι είναι»] ίση με 2.
[ ] Το σύστημα \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) έχει για κάθε \(\mathbf{b}\) άπειρες λύσεις.

Ερώτηση 8 / 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 4 βαθμοί)¶

Θεωρήστε το σύστημα

\[\begin{aligned} x + 2y + z &= a \\ 2x + y + 3z &= 1 \\ 3x + 3y + \mu z &= b \end{aligned}\]

όπου \(a, b, \mu\) είναι πραγματικές παράμετροι. Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

[ ] Για κάθε \(\mu > 4\) το σύστημα έχει μοναδική λύση.
[ ] Για \(\mu = 4\) και το \(b = 2a\) σύστημα έχει άπειρες λύσεις.
[ ] Για \(\mu = 4\) και το \(b > a + 1\) σύστημα δεν έχει λύση.
[ ] Για \(\mu = 5\) το σύστημα δεν έχει λύση.

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή. Οι επιλεγμένες απαντήσεις και οι σημάνσεις σωστό/λάθος της εκτυπωμένης προβολής δεν μεταγράφονται.

Επιπλέον πηγές¶

Επιπλέον πηγές (φωτογραφίες βαθμολογημένων αντιγράφων eClass με απαντήσεις φοιτητή και σημάνσεις σωστό/λάθος, καθώς και διπλότυπα της ίδιας σελίδας· δεν μεταγράφονται εδώ, λύσεις → 2020-06.solutions.md): Themata2020/2020/received_1522986124550678.jpeg, Themata2020/2020/received_2585002891773923-1.jpeg, Themata2020/2020/received_2585002891773923.jpeg, Themata2020/2020/received_281631256374104.jpeg, Themata2020/2020/received_565539717417405.jpeg, Themata2020/2020/received_602443004013402.jpeg, Themata2020/2020/received_620647568542770.jpeg, Themata2020/2020/received_621301881808980.jpeg, Themata2020/2020/received_678298512750879.jpeg, Themata2020/2020/received_756664495076358.jpeg, Themata2020/2020/received_958308427966490.jpeg, Themata2020.rar

Λύσεις (🟡 community)

Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: φωτογραφίες του φακέλου Themata2020/2020 (σημειωμένα αντίγραφα της εξέτασης 24/6/2020)

Προσοχή

Η προέλευση των φωτογραφιών δεν είναι βέβαιη (φοιτητικά σημειωμένα αντίγραφα)· ο φάκελος δεν περιέχει επίσημο κλειδί διορθωμένης εξέτασης. Η μεταγραφή των φωτογραφιών δεν έχει ελεγχθεί ερώτηση προς ερώτηση με το αρχείο d0dd31761acfaa34.pdf. Το αρχείο αυτό περιέχει πολλές προβολές της ίδιας εξέτασης με διαφορετική σειρά ερωτήσεων.

Λύσεις — Γραμμική Άλγεβρα — Ιούνιος 2020¶

Οι φωτογραφίες του φακέλου Themata2020/2020 είναι σημειωμένα αντίγραφα της εξέτασης. Οι ενδείξεις «(σωστό)» ή «(λάθος)» δίπλα στις επιλογές και τα [x] είναι όπως εμφανίζονται στη φωτογραφία. Δεν έχουν ελεγχθεί από διδάσκοντα.

received_1522986124550678.jpeg¶

Ερώτηση: 2 (Βαθμός: 0.00 / 2.00) (Σωστό / Λάθος)

Εάν \(W\) είναι ένας υπόχωρος του \(\mathbb{R}^n\) και \(P\) είναι το μητρώο της ορθογώνιας προβολής επί του \(W\), τότε για κάθε \(\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n\) το πλησιέστερο στο \(\mathbf{u}\) διάνυσμα του \(W\) είναι η προβολή του \(\mathbf{u}\) στο \(W\), δηλαδή

\[\min_{\mathbf{w} \in W} \|\mathbf{u} - \mathbf{w}\| = \|\mathbf{u} - P\mathbf{u}\|.\]

Απάντηση

[ ] Σωστό (σωστό)
[ ] Λάθος (λάθος)

Ερώτηση: 3 (Βαθμός: 2.00 / 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Δίνεται το μητρώο

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\]

Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

Απάντηση

received_2585002891773923-1.jpeg¶

Ερώτηση: 1 (Βαθμός: 0.00 / 3.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση))

Θεωρήστε τους μετασχηματισμούς στο \(\mathbb{R}^3\)

\[T_1 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ 3x_2 - x_3 \\ x_1 + x_3 \end{pmatrix}, \qquad T_2 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_3 \\ 2x_2 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad T_3 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - 2x_3 \\ 0 \\ 1 + x_3 \end{pmatrix}.\]

Τι μπορεί να ειπωθεί όσον αφορά την γραμμικότητα ή μη των μετασχηματισμών;

Απάντηση

[ ] Οι \(T_1\) και \(T_3\) είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί. (λάθος)
[ ] Οι \(T_1\) και \(T_2\) είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί. (σωστό)
[ ] Οι \(T_2\) και \(T_3\) είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί. (λάθος)
[ ] Μόνο ένας από τους τρεις μετασχηματισμούς είναι γραμμικός. (λάθος)

Ερώτηση: 2 (Βαθμός: 0.00 / 2.00)

received_2585002891773923.jpeg¶

Ερώτηση: 1 (Βαθμός: 0.00 / 3.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση))

Θεωρήστε τους μετασχηματισμούς στο \(\mathbb{R}^3\)

\[T_1 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ 3x_2 - x_3 \\ x_1 + x_3 \end{pmatrix}, \qquad T_2 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_3 \\ 2x_2 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad T_3 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - 2x_3 \\ 0 \\ 1 + x_3 \end{pmatrix}.\]

Τι μπορεί να ειπωθεί όσον αφορά την γραμμικότητα ή μη των μετασχηματισμών;

Απάντηση

[ ] Οι \(T_1\) και \(T_3\) είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί. (λάθος)
[ ] Οι \(T_1\) και \(T_2\) είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί. (σωστό)
[ ] Οι \(T_2\) και \(T_3\) είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί. (λάθος)
[ ] Μόνο ένας από τους τρεις μετασχηματισμούς είναι γραμμικός. (λάθος)

Ερώτηση: 2 (Βαθμός: 0.00 / 2.00)

received_281631256374104.jpeg¶

Ερώτηση: 4 (Βαθμός: 2.00 / 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Δίνεται το μητρώο

\[A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & q \\ r & 2 & 3 \end{pmatrix}\]

όπου \(q\) και \(r\), είναι πραγματικές παράμετροι. Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

Απάντηση

[ ] Η τάξη \(\operatorname{rank} A\) είναι πάντοτε μεγαλύτερη του 1. (λάθος)
[ ] Το σύστημα \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) είτε δεν έχει λύση, ή έχει άπειρες λύσεις. (σωστό)
[x] Ο χώρος στηλών \(C(A)\) έχει διάσταση το πολύ 2. (σωστό)
[ ] Ο χώρος γραμμών \(R(A)\) του \(A\) έχει διάσταση 2. (λάθος)

Ερώτηση: 5 (Βαθμός: -2.00 / 2.00)

received_565539717417405.jpeg¶

(λάθος)

[ ] Το ορθογώνιο συμπλήρωμα \(V^\perp\) του \(V\) είναι ευθεία της μορφής

\[\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}.\]

(σωστό)

[ ] Αν

\[\mathbf{v} = \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

και \(\mathbf{v} \in V^\perp\), τότε \(\lambda = \mu = 0\).

(σωστό)

[ ] Το μητρώο προβολής επί του \(V\) είναι το

\[P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\]

(λάθος)

Ερώτηση: 9 (Βαθμός: 0.00 / 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Αν

received_602443004013402.jpeg¶

(σωστό)

[x] Ο χώρος στηλών \(C(A)\) έχει διάσταση το πολύ 2. (σωστό)
[ ] Ο χώρος γραμμών \(R(A)\) του \(A\) έχει διάσταση 2. (λάθος)

Ερώτηση: 5 (Βαθμός: -2.00 / 2.00) (Σωστό / Λάθος)

Εάν \(A\) είναι ένα \(4 \times 4\) μητρώο, τότε

\[\det(\lambda I - A) = (\lambda - r_1 \det A)(\lambda - r_2 \det A)(\lambda - r_3 \det A)(\lambda - r_4 \det A)\]

για κάποιους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς \(r_1, r_2, r_3, r_4\) με \(r_1 r_2 r_3 r_4 = 1\).

Απάντηση

[ ] Σωστό (σωστό)
[x] Λάθος (λάθος)

Ερώτηση: 6 (Βαθμός: 2.00 / 4.00)

received_620647568542770.jpeg¶

Ερώτηση: 6 (Βαθμός: 2.00 / 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Θεωρήστε το σύστημα

\[\begin{aligned} x + 2y + z &= a \\ 3x + 7y + 3z &= b \\ 2x + 3y + \mu z &= 1 \end{aligned}\]

όπου \(a, b, \mu\) είναι πραγματικές παράμετροι. Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

Απάντηση

[x] Για κάθε \(\mu > 2\) το σύστημα έχει μοναδική λύση. (σωστό)
[ ] Για \(\mu = 2\) και το \(b = 2a - 1\) σύστημα έχει άπειρες λύσεις. (σωστό)
[ ] Για \(\mu = 2\) και το \(b \neq a + 1\) σύστημα δεν έχει λύση. (λάθος)
[ ] Για \(\mu = a - b\) το σύστημα δεν έχει λύση. (λάθος)

Ερώτηση: 7 (Βαθμός: -2.00 / 4.00)

received_621301881808980.jpeg¶

Ερώτηση: 8 (Βαθμός: 0.00 / 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Έστω

\[V = \operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}.\]

Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

Απάντηση

[ ] Το ορθογώνιο συμπλήρωμα \(V^\perp\) του \(V\) είναι επίπεδο κάθετο στο \(V\) το οποίο περιέχει το μηδενικό διάνυσμα. (λάθος)
[ ] Το ορθογώνιο συμπλήρωμα \(V^\perp\) του \(V\) είναι ευθεία της μορφής

\[\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}.\]

(σωστό)

[ ] Αν

\[\mathbf{v} = \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

και \(\mathbf{v} \in V^\perp\), τότε \(\lambda = \mu = 0\). (σωστό)

[ ] Το μητρώο προβολής επί του \(V\) είναι το

received_678298512750879.jpeg¶

Ερώτηση: 3 (Βαθμός: 2.00 / 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Δίνεται το μητρώο

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\]

Ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

Απάντηση

[ ] Η αναγμένων γραμμών κλιμακωτή μορφή του \(A\) είναι το ταυτοτικό μητρώο \(I\). (λάθος)
[ ] Η αναγμένων γραμμών κλιμακωτή μορφή του \(A\) περιέχει μια γραμμή με μηδέν παντού. (σωστό)
[ ] \(\operatorname{rank} A = 3\). (λάθος)
[x] \(\det A = 0\). (σωστό)

Ερώτηση: 4 (Βαθμός: 2.00 / 4.00)

received_756664495076358.jpeg¶

Ερώτηση: 9 (Βαθμός: 0.00 / 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Αν

\[\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 2b_1 & 2b_2 & 2b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = 4,\]

τότε

Απάντηση

[ ] \(\begin{vmatrix} 3a_1 & 3a_2 & 3a_3 \\ b_1 - 3a_1 & b_2 - 3a_2 & b_3 - 3a_3 \\ 2c_1 & 2c_2 & 2c_3 \end{vmatrix} = 6.\) (λάθος)
[ ] \(\begin{vmatrix} 3a_1 & 3a_2 & 3a_3 \\ b_1 + 3a_1 & b_2 + 3a_2 & b_3 + 3a_3 \\ 4c_1 + b_1 & 4c_2 + b_2 & 4c_3 + b_3 \end{vmatrix} = 12.\) (λάθος)
[ ] \(\lambda_1 \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} a_3 \\ b_3 \\ c_3 \end{pmatrix} = \mathbf{0} \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0.\) (σωστό)
[ ] \(\begin{vmatrix} a_1 & 3a_2 & a_3 \\ b_1 + 3a_1 & 3b_2 + 3a_2 & b_3 + 3a_3 \\ c_1 & 3c_2 & c_3 \end{vmatrix} = 6.\) (σωστό)

received_958308427966490.jpeg¶

(λάθος)

Ερώτηση: 7 (Βαθμός: -2.00 / 4.00) (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις))

Εάν \(A\) είναι ένα τετραγωνικό μητρώο, ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί;

Απάντηση

[x] Εάν \(\lambda\) είναι ιδιοτιμή του \(A\), το σύστημα \((\lambda I - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}\) έχει μοναδική λύση. (λάθος)
[ ] Εάν το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του \(A\), τότε το \(\det A^n \neq 0\), για κάθε φυσικό αριθμό \(n\). (σωστό)
[ ] Εάν το 0 είναι ιδιοτιμή του \(A\), τότε οι στήλες του \(A\) είναι γραμμικά ανεξάρτητες. (λάθος)
[ ] Εάν το \(A\) είναι ορθογώνιο, τότε κάθε ιδιοδιάνυσμα του \(A\) είναι και ιδιοδιάνυσμα του \(A^T\). (σωστό)

Ερώτηση: 8 (Βαθμός: 0.00 / 4.00)

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή