Γραμμική Άλγεβρα — Σεπτέμβριος 2018 (χρονολόγηση από το όνομα αρχείου)¶
Μεταγραφή της φωτογραφίας 1537283729_1669.jpg (χωρίς εκτυπωμένη ημερομηνία).
1537283729_1669.jpg¶
[Λείπει από τη φωτογραφία: η αρχή του θέματος 1 και το υποερώτημα (α)]
(\(\beta\)) \(\operatorname{null}(A^2 - A) = \mathbb{R}^3\). (\(\gamma\)) \(\blacksquare \operatorname{null} A =\) (\(\delta\)) Το σύστημα \(Ax = 0\) έχει μη μηδενικές λύσεις. (\(\varepsilon\)) \(\blacksquare \operatorname{rank} A =\) (\(\varsigma\)) Αν το \(\mathbf{x} \ne \mathbf{0}\) είναι διάνυσμα στο \(W^\perp\), τότε είναι ιδιοδιάνυσμα του \(A\).
2. Αν $\(A = \begin{pmatrix} \rho - 4 & 1 & 5 - \rho \\ \rho & \rho - 3 & \rho - 1 \\ 0 & 0 & \rho + 6 \end{pmatrix},\)$ όπου \(\rho\) είναι μια πραγματική παράμετρος, να βρεθούν οι ιδιοτιμές του \(A\).
[Λείπει από τη φωτογραφία: η αρχή της πρότασης· στη φωτογραφία φαίνεται «ίνεται ο υπόχωρος του»]
ίνεται ο υπόχωρος του \(\mathbb{R}^3\) $\(V = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} : x = -y \text{ και } x - y + z = 0 \right\}.\)$
α) Να βρεθεί μια βάση για τον \(V\).
[Λείπει από τη φωτογραφία: το υπόλοιπο του θέματος μετά το ερώτημα (α)]
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, sonnet), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2018-09¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Υπόθεση: Όπως προκύπτει από τα διασωθέντα υποερωτήματα και το ταυτόσημο Θέμα 2 του Ιουνίου 2024, η εκφώνηση που λείπει από το πάνω άκρο ορίζει ότι «το \(A\) είναι το \(3 \times 3\) μητρώο ορθογώνιας προβολής επί ενός διδιάστατου υπόχωρου \(W\) του \(\mathbb{R}^3\)» (το υποερώτημα (α) ήταν \(\blacksquare \operatorname{range} A = W\)).
- (β) \(\operatorname{null}(A^2 - A) = \mathbb{R}^3\): Σωστό (\(\Sigma\)). Κάθε μητρώο προβολής είναι ταυτοδύναμο (\(A^2 = A\)), επομένως \(A^2 - A = O\) (το μηδενικό μητρώο), του οποίου ο μηδενοχώρος είναι όλος ο \(\mathbb{R}^3\).
- (γ) \(\blacksquare \operatorname{null} A = \mathbf{W^\perp}\). Ο μηδενοχώρος ενός μητρώου ορθογώνιας προβολής επί του \(W\) είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα \(W^\perp\).
- (δ) Το σύστημα \(Ax = 0\) έχει μη μηδενικές λύσεις: Σωστό (\(\Sigma\)). Επειδή \(\dim(\operatorname{null} A) = 3 - \dim W = 3 - 2 = 1 > 0\), υπάρχουν άπειρες μη μηδενικές λύσεις (όλα τα μη μηδενικά διανύσματα του \(W^\perp\)).
- (ε) \(\blacksquare \operatorname{rank} A = \mathbf{2}\). Η τάξη του μητρώου προβολής ισούται με τη διάσταση της εικόνας του, δηλαδή \(\dim W = 2\).
- (ς) Αν το \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\) είναι διάνυσμα στο \(W^\perp\), τότε είναι ιδιοδιάνυσμα του \(A\): Σωστό (\(\Sigma\)). Για κάθε \(\mathbf{x} \in W^\perp\) ισχύει εξ ορισμού της προβολής \(A\mathbf{x} = \mathbf{0} = 0 \cdot \mathbf{x}\), άρα το \(\mathbf{x}\) είναι ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή \(\lambda = 0\).
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Η τρίτη γραμμή είναι \((0,0,\rho+6)\). Αναπτύσσοντας την \(\det(\lambda I-A)\) ως προς την 3η γραμμή: $\(\det(\lambda I-A)=(\lambda-\rho-6)\cdot\det\begin{pmatrix}\lambda-\rho+4&-1\-\rho&\lambda-\rho+3\end{pmatrix}.\)$ Η \(2\times2\) ορίζουσα δίνει \(\lambda^2-(2\rho-7)\lambda+(\rho-4)(\rho-3)-\rho=\lambda^2-(2\rho-7)\lambda+(\rho-2)(\rho-6)\). Διακρίνουσα: \((2\rho-7)^2-4(\rho-2)(\rho-6)=4\rho+1\).
Ιδιοτιμές: \(\lambda_1=\rho+6\) και \(\lambda_{2,3}=\dfrac{2\rho-7\pm\sqrt{4\rho+1}}{2}\).
Σχόλιο: για \(\rho\ge-\tfrac14\) είναι πραγματικές, για \(\rho<-\tfrac14\) οι \(\lambda_{2,3}\) είναι μιγαδικές συζυγείς. (Έλεγχος αριθμητικά για \(\rho=0,1,3,5.5\).)
Θέμα (χωρίς αριθμό) — ερώτημα (α) του υπόχωρου \(V\)¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Από \(x=-y\) και \(x-y+z=0\): \(z=y-x=-2x\). Άρα \(V=\{(x,-x,-2x)\}=\operatorname{span}\{(1,-1,-2)^T\}\).
Βάση: \(\{(1,-1,-2)^T\}\), \(\dim V=1\) (έλεγχος: \(x=-y\): \(1=-(-1)\), \(1-(-1)+(-2)=0\)).