Μαθηματικά 2 — Σεπτέμβριος 2025

Μεταγραφή από τις τρεις φωτογραφίες του εντύπου που περιέχουν τα Θέματα 1 έως 5 της συνεδρίας. Η φωτογραφία IMG_1108.jpg δεν ανήκει σε αυτή τη συνεδρία (βλ. σημειώσεις).

IMG_20250908_110959292_AE.jpg

[Λείπει από τη φωτογραφία: το αρχικό μέρος της πρότασης για τη διάρκεια της εξέτασης και την παράδοση των γραπτών. Στο πάνω άκρο φαίνεται μόνο «…υρχίζει 1 ώρα μετά την» / «έναρξη της εξέτασης.»]

Να απαντήσετε σε τέσσερα (4) από τα πέντε (5) θέματα.

Καλή Επιτυχία!

ΘΕΜΑ 1

[1] Ερώτημα 1: ■ Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων:

\[f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{16-x^2-y^2}} \quad \text{και} \quad f(x,y) = \ln(x^2+y^2).\]

[1] Ερώτημα 2: □ Εξετάστε ως προς την συνέχεια τη συνάρτηση

\[f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2}\cos(xy), & x \neq 0 \quad x \neq 0 \\ 0, & x = y = 0. \end{cases}\]

[sic: η συνθήκη «x ≠ 0» επαναλαμβάνεται στην πρώτη περίπτωση, όπως τυπώνεται]

[0.5] Ερώτημα 3: ■ Δώστε παράδειγμα συνάρτησης δύο μεταβλητών που είναι συνεχής αλλά δεν έχει μερικές παραγώγους στο σημείο \((0,0)\).

IMG_20250908_111014176_AE.jpg

ΘΕΜΑ 2

[1] Ερώτημα 1: □ Έστω η συνάρτηση

\[f(x,y)=\frac{4x^2y}{x^2+y^2}.\]

Να αποδείξετε ότι η \(f(x,y)\) προσεγγίζει το μηδέν καθώς κινούμαστε προς το \((0,0)\) κατά μήκος είτε του άξονα \(x\) είτε του άξονα \(y\). Στη συνέχεια, να εξετάσετε αν υπάρχει το

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).\]

[1] Ερώτημα 2: ■ Αν γνωρίζουμε ότι

\[2|xy|-\frac{x^2y^2}{6}<4-4\cos\sqrt{|xy|}<2|xy|\]

τι μπορούμε να συμπεράνουμε για το όριο

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{4-4\cos\sqrt{|xy|}}{|xy|};\]

Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

[0.5] Ερώτημα 3: ○ Μια συνάρτηση δύο μεταβλητών που έχει συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης τάξης είναι διαφορίσιμη.

ΘΕΜΑ 3

[1.5] Ερώτημα 1: □ Θεωρήστε τη συνάρτηση ωφέλους \(U(x_1,x_2)=x_1x_2\), η οποία υπόκειται στον περιορισμό προϋπολογισμού \(p_1x_1+p_2x_2=c\).

a) Δείξτε ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης \(U(x_1,x_2)\) που υπόκειται στον περιορισμό του προϋπολογισμού είναι \(\frac{c^2}{4p_1p_2}\).

b) Υπολογίστε την τιμή του πολλαπλασιαστή Lagrange \(\lambda\).

[1] Ερώτημα 2: □ Έστω οι συναρτήσεις \(f(x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2}\) και \(g(x,y)=\frac{x^2}{x^2+y^2}\). Χρησιμοποιώντας πολικές συντεταγμένες, θα δείξουμε ότι

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0\]

ενώ το όριο

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)\]

(η συνέχεια της πρότασης βρίσκεται στην επόμενη φωτογραφία)

IMG_20250908_111021606_AE.jpg

δεν υπάρχει.

ΘΕΜΑ 4

[1] Ερώτημα 1: ☐ Να βρεθούν όλες οι τιμές των \(A\) και \(B\) για τις οποίες η συνάρτηση

\[f(x,t) = e^{Ax+Bt}\]

ικανοποιεί την Εξίσωση

\[\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.\]

[1.5] Ερώτημα 2: ☐ Υπολογίστε το ολοκλήρωμα

\[\iint_D x^2 y \, dA\]

στο γραμμοσκιασμένο χωρίο \(D\) (Σχήμα 0.1).

[Σχήμα 0.1: άξονες x και y· καμπύλες \(y = \sqrt{x}\) και \(y = 1/x\) με γραμμοσκιασμένο χωρίο ανάμεσά τους· σημειώνεται "Κατακόρυφο τμήμα \(1/x \leq y \leq \sqrt{x}\)" και στον άξονα x οι ενδείξεις 1, x και 3, στον άξονα y η ένδειξη 1· λεζάντα "Σχήμα 0.1"]

ΘΕΜΑ 5

[1] Ερώτημα 1: ☐ Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\[\int_{1}^{2} \int_{1}^{3} \frac{\ln(xy)}{y}\, dy\, dx.\]

[1.5] Ερώτημα 2: ☐ Να εξετάσετε αν η συνάρτηση

\[f(x,y) = \begin{cases} 2xy(x+y)x^2+y^2, & (x,y)\neq(0,0); \\ 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}\]

είναι διαφορίσιμη στο \((0,0)\).

Σημείωση: στο έντυπο δεν φαίνεται κλάσμα στον τύπο της πρώτης περίπτωσης· ο τύπος μεταγράφεται όπως τυπώνεται.

---

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή