Μαθηματικά 2 — Ιούλιος 2025¶
Μεταγραφή από τα τέσσερα στιγμιότυπα Viber της πλατφόρμας εξετάσεων.
Screenshot_20250723_204612_Viber.jpg¶
Οδηγίες / Επεξηγήσεις
Στο διαγώνισμα υπάρχουν τριών ειδών ερωτήματα.
a. Ερωτήματα με την ένδειξη ■. Σε αυτά πρέπει να δώσετε μόνο την απάντηση με σύντομη αιτιολόγηση. b. Ερωτήματα με την ένδειξη ○. Αυτά είναι ερωτήματα τύπου σωστό/λάθος. Γράψτε στον κύκλο "Σ" αν είναι σωστό ή "Λ" αν είναι λάθος. Να αιτιολογήσετε αν σας ζητηθεί. c. Ερωτήματα με την ένδειξη □. Σε αυτά καλείστε να δώσετε μια πλήρη αλλά περιεκτική απόδειξη-λύση για το ζητούμενο.
Η διάρκεια της εξέτασης είναι 2.5 ώρες. Η παράδοση των γραπτών αρχίζει 1 ώρα μετά την έναρξη της εξέτασης.
Να απαντήσετε σε τέσσερα (4) από τα πέντε (5) θέματα.
Καλή Επιτυχία!
ΘΕΜΑ 1
[1.5] Ερώτημα 1: □ Έστω η συνάρτηση
Να αποδείξετε ότι η \(f(x,y)\) προσεγγίζει το μηδέν καθώς κινούμαστε προς το \((0,0)\) κατά μήκος είτε του άξονα \(x\) είτε του άξονα \(y\). Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι το
δεν υπάρχει.
[1.5] Ερώτημα 2: □ Έστω η συνάρτηση
Screenshot_20250723_204617_Viber.jpg¶
Σημείωση: στιγμιότυπο οθόνης από την πλατφόρμα ηλεκτρονικών εξετάσεων, όχι έγχαρτο φύλλο εξέτασης.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο σημείο \(O(0,0)\).
[0.5] Ερώτημα 3: ○ Η συνθήκη των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον καθορισμό του τύπου ενός κρίσιμου σημείου.
ΘΕΜΑ 2
[2] Ερώτημα 1: □ Να αποδείξετε ότι το ορθογώνιο κουτί (στο οποίο συμπεριλαμβάνεται το «καπάκι» και η «βάση») με σταθερό όγκο \(V=27\,\mathrm{m}^3\) και τη μικρότερη δυνατή επιφάνεια είναι ένας κύβος (βλ. Σχήμα 0.1).
[Σχήμα 0.1: ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με ετικέτες z, y και x στις ακμές]
[1] Ερώτημα 2: ■ Ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει ολικό μέγιστο στο σημείο \((0,0)\); (Να αιτιολογήσετε.)
α) \(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)
β) \(f(x,y)=e^{-x^2-y^2}\)
[0.5] Ερώτημα 3: ○ Μια συνάρτηση δύο μεταβλητών που έχει συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης τάξης είναι διαφορίσιμη.
ΘΕΜΑ 3
[0.5] Ερώτημα 1: ○ Ένα κρίσιμο σημείο είναι πάντα τοπικό ελάχιστο ή μέγιστο.
[2] Ερώτημα 2: □ Θεωρήστε τη συνάρτηση ωφέλους \(U(x_1,x_2)=x_1x_2\), η οποία υπόκειται στον περιορισμό προϋπολογισμού \(p_1x_1+p_2x_2=c\).
a) Δείξτε ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης \(U(x_1,x_2)\) που υπόκειται στον περιορισμό του προϋπολογισμού είναι \(\frac{c^2}{4p_1p_2}\).
b) Υπολογίστε την τιμή του πολλαπλασιαστή Lagrange \(\lambda\).
[1] Ερώτημα 3: ■ Με ποια από τις απαντήσεις α) ή β) είναι ίσο το διπλό ολοκλήρωμα
α) \(\displaystyle\int_1^2\int_4^5 f(x,y)\,dx\,dy\)
β) \(\displaystyle\int_4^5\int_1^2 f(x,y)\,dx\,dy\)
Screenshot_20250723_204621_Viber.jpg¶
ΘΕΜΑ 4
[1.5] Ερώτημα 1: ☐ Έστω η συνάρτηση
Σημείωση: στο έντυπο δεν φαίνεται κλάσμα στον τύπο της πρώτης περίπτωσης· ο τύπος μεταγράφεται όπως τυπώνεται.
- Να δείξετε ότι οι \(g_x(0,0)\) και \(g_y(0,0)\) υπάρχουν.
- Να εξετάσετε την \(f(x,y)\) ως προς την διαφορισιμότητα.
[1] Ερώτημα 2: ■ Για ποιες από τις ακόλουθες συναρτήσεις το διπλό ολοκλήρωμα πάνω στο ορθογώνιο του Σχήματος 0.2 είναι μηδέν; Εξηγήστε.
α) \(f(x,y)=x^2y\)
β) \(f(x,y)=xy^2\)
γ) \(f(x,y)=\sin x\)
δ) \(f(x,y)=e^x\)
[Σχήμα 0.2: γραμμοσκιασμένο ορθογώνιο σε σύστημα αξόνων xy· στον άξονα x σημειώνονται οι ενδείξεις -1 και 1, στον άξονα y η ένδειξη 1· λεζάντα "Σχήμα 0.2"]
[0.5] Ερώτημα 3: ○ Το ολοκλήρωμα \(\int_0^1 \int_0^1 e^{x+y}\,dy\,dx\) ισούται με:
- [ ] A) \(e^2 - 1\)
- [ ] B) \((e-1)^2\)
- [ ] C) \(2e - 1\)
- [ ] D) \(e - 1\)
ΘΕΜΑ 5
[2] Ερώτημα 1: ☐ Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
$\(\int_{1}^{9} \int_{\sqrt{y}}^{3} x e^{y}\, dx\, dy\)$ (Σχήμα 0.3).
[Σχήμα 0.3: σύστημα αξόνων xy με καμπύλη "y = x² (or x = √y)"· στον άξονα y οι ενδείξεις 9 και 1, στον άξονα x οι ενδείξεις 1 και 3· ετικέτες περιοχών "\(\sqrt{y} \leq x \leq 3\)", "\(1 \leq y \leq x^2\)" και "\(D\)"; λεζάντα "Σχήμα 0.3"]
[1.5] Ερώτημα 2: ☐ Έστω \(a\) και \(b\) θετικές σταθερές. Βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης
Screenshot_20250723_204628_Viber.jpg¶
(συνέχεια του Θέματος 5, Ερωτήματος 2 από το προηγούμενο στιγμιότυπο)
οι μεταβλητές της οποίας υπόκεινται στον περιορισμό