Μαθηματικά 2 — Ιούνιος 2025¶
Μεταγραφή από το στιγμιότυπο των οδηγιών και τις φωτογραφίες των σελίδων 1 και 2 του εντύπου.
1389300201348403271remix-1751305414407.png¶
Στο διαγώνισμα υπάρχουν τριών ειδών ερωτήματα.
a. Ερωτήματα με την ένδειξη ■. Σε αυτά πρέπει να δώσετε μόνο την απάντηση με σύντομη αιτιολόγηση.
b. Ερωτήματα με την ένδειξη ○. Αυτά είναι ερωτήματα τύπου σωστό/λάθος. Γράψτε στον κύκλο "Σ" αν είναι σωστό ή "Λ" αν είναι λάθος. Να αιτιολογήσετε αν σας ζητηθεί.
c. Ερωτήματα με την ένδειξη □. Σε αυτά καλείστε να δώσετε μια πλήρη αλλά περιεκτική απόδειξη-λύση για το ζητούμενο.
Η διάρκεια της εξέτασης είναι 2.5 ώρες. Η παράδοση των γραπτών αρχίζει 1 ώρα μετά την έναρξη της εξέτασης.
Να απαντήσετε σε τέσσερα (4) από τα πέντε (5) θέματα.
Καλή Επιτυχία!
ΘΕΜΑ 1
[1.5] Ερώτημα 1: □ Έστω η συνάρτηση
Να αποδείξετε ότι η \(f(x,y)\) προσεγγίζει το μηδέν καθώς κινούμαστε προς το \((0,0)\) κατά μήκος είτε του άξονα \(x\) είτε του άξονα \(y\). Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι το
δεν υπάρχει. [φράση στο αριστερό περιθώριο της σελίδας]
20250630_094533.jpg¶
[κομμένο: το πάνω μέρος της σελίδας είναι εκτός φωτογραφίας· η αρχή του Θέματος 1 βρίσκεται στο στιγμιότυπο 1389300201348403271]
[1.5] Ερώτημα 2: □ Έστω η συνάρτηση
[Λείπει από τη φωτογραφία: το πάνω μέρος του αριθμητή του πρώτου κλάδου]
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο σημείο \(O(0,0)\).
[0.5] Ερώτημα 3: ○ Η συνθήκη των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον καθορισμό του τύπου ενός κρίσιμου σημείου.
ΘΕΜΑ 2
[2] Ερώτημα 1: □ Να αποδείξετε ότι το ορθογώνιο κουτί (στο οποίο συμπεριλαμβάνεται το «καπάκι» και η «βάση») με σταθερό όγκο \(V = 27\ \text{m}^3\) και τη μικρότερη δυνατή επιφάνεια είναι ένας κύβος (βλ. Σχήμα 0.1).
[Σχήμα 0.1: ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (κουτί) με ετικέτες διαστάσεων \(x\), \(y\), \(z\)]
[1] Ερώτημα 2: ■ Ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει ολικό μέγιστο στο σημείο \((0,0)\); (Να αιτιολογήσετε.)
- [ ] α) \(f(x,y) = e^{x^2+y^2}\)
- [ ] β) \(f(x,y) = e^{-x^2-y^2}\)
[0.5] Ερώτημα 3: ○ Μια συνάρτηση δύο μεταβλητών που έχει συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης τάξης είναι διαφορίσιμη.
ΘΕΜΑ 3
[0.5] Ερώτημα 1: ○ Ένα κρίσιμο σημείο είναι πάντα τοπικό ελάχιστο ή μέγιστο.
[2] Ερώτημα 2: □ Θεωρήστε τη συνάρτηση ωφέλους \(U(x_1,x_2) = x_1 x_2\), η οποία υπόκειται στον περιορισμό προϋπολογισμού \(p_1 x_1 + p_2 x_2 = c\).
a) Δείξτε ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης \(U(x_1,x_2)\) που υπόκειται στον περιορισμό του προϋπολογισμού είναι \(\dfrac{c^2}{4p_1 p_2}\).
b) Υπολογίστε την τιμή του πολλαπλασιαστή Lagrange \(\lambda\).
[1] Ερώτημα 3: ■ Με ποια από τις απαντήσεις α) ή β) είναι ίσο το διπλό ολοκλήρωμα
- [ ] α) \(\displaystyle\int_1^2 \int_4^5 f(x,y)\,dx\,dy\)
- [ ] β) \(\displaystyle\int_4^5 \int_1^2 f(x,y)\,dx\,dy\)
Σημείωση: η σελίδα 2 τελειώνει εδώ (αριθμός σελίδας «2» στο κάτω μέρος).