Μαθηματικά 2 — Σεπτέμβριος 2024

Μεταγραφή από τρεις φωτογραφίες του εντύπου (οδηγίες, Θ2 και Β. ερώτημα).

20240911_120238.jpg

Οδηγίες/Επεξηγήσεις

ΒΑΘΜΟΣ:

Στο διαγώνισμα υπάρχουν 5 Θέματα. Θα πρέπει να επιλέξετε τα τέσσερα (4) από τα πέντε (5) θέματα. Όλα τα θέματα είναι βαθμολογικά ισοδύναμα. Οι λύσεις θα πρέπει να απαντηθούν στο φύλλο που θα σας δοθεί.

Καλή Επιτυχία!

A. (1)

Είναι γνωστό ότι ο ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) σε ένα σημείο \((x_0, y_0)\) του πεδίου ορισμού της δίνεται από τον κάτωθι ορισμό:

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = l \Leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)\,(\exists \delta_1(\varepsilon) > 0)\,(\exists \delta_2(\varepsilon) > 0)\ \text{τ.ω.} \qquad (1)\]

\[(|x - x_0| < \delta_1) \ \text{και} \ (|y - y_0| < \delta_2) \longrightarrow (|f(x,y) - l| < \varepsilon).\]

Έστω η συνάρτηση

\[f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^3 y}{x^2 + y^2}, & \text{αν } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \text{αν } (x,y) = (0,0). \end{cases}\]

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό (1), για να είναι η συνάρτηση \(f\) συνεχής στο σημείο \(O(0,0)\) θα πρέπει:

(i) \(\delta_1 \leq \dfrac{\sqrt{\varepsilon}}{2}\), (ii) \(\delta_2 \leq \dfrac{\sqrt{\varepsilon}}{2}\), (iii) \(\delta_1 \leq \sqrt{\varepsilon}\) και \(\delta_2 \leq \sqrt{\varepsilon}\), (iv) \(\delta_1^2 + \delta_2^2 \leq \varepsilon\).

B. (1.5) Χρησιμοποιήστε τον ορισμό μέσω του ορίου για να επιβεβαιώσετε τις ακόλουθες σχέσεις για τις μερικές παραγώγους:

\[\frac{\partial}{\partial x} x^2 y^3 = 2xy^3 \quad \text{και} \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{-x^2}{y}\right) = \frac{x^2}{y^2}\]

20240911_120227.jpg

Θ2. Έστω η συνάρτηση

\[f(x,y)=\begin{cases} xy\,\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \text{αν } (x,y)\neq(0,0) \\ 0, & \text{αν } (x,y)=(0,0). \end{cases}\]

A. (1)

Επιβεβαιώστε ότι για \((x,y)\neq(0,0)\) και \(x\neq y\) ισχύει:

\[f_x(x,y)=\frac{y(x^4+4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}\qquad\text{και}\qquad f_y(x,y)=\frac{x(x^4-4x^2y^2-y^4)}{(x^2+y^2)^2}.\]

B. (1.5)

Δείξτε ότι για \((x,y)\neq(0,0)\) ισχύει:

\[f_{xy}=f_{yx}=\frac{y(x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6)}{(x^2+y^2)^3}\]

και στην συνέχεια δείξτε ότι η \(f_{xy}\) δεν είναι συνεχής στο \((0,0)\).

Θ3. Έστω ότι η συνάρτηση \(f(x,y)\) ορίζεται σε έναν δίσκο \(D\) που περιέχει το \((x_0,y_0)\) και ότι επιπλέον οι μερικές παράγωγοι \(f_x(x_0,y_0)\) και \(f_y(x_0,y_0)\) υπάρχουν. Η συνάρτηση \(f(x,y)\) είναι διαφορίσιμη στο \((x_0,y_0)\) αν

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0\]

A. (1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \(f(x,y)=3xy+x+ey\) είναι διαφορίσιμη στο \((0,0)\).

B. (1.5) Να βρεθούν τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης \(f(x,y)=4x-3x^3-2xy^2\) και να χαρακτηριστούν.

Θ4. A. (1)

Βρείτε ποια από τις τέσσερις περιοχές του παρακάτω σχήματος είναι το χωρίο στο οποίο λαμβάνει χώρα η διπλή ολοκλήρωση

\[\int_{x}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{0}^{\sqrt{2}/2} f(x,y)\,dx\,dy\]

[Σχήμα: ημικύκλιο ακτίνας 1 με κέντρο την αρχή των αξόνων, πάνω από τον άξονα \(x\), με σημεία \(-1\) και \(1\) στον άξονα \(x\). Από την αρχή των αξόνων ξεκινούν τρεις ευθείες: η κατακόρυφη προς τα πάνω και δύο ευθείες υπό γωνία \(45^\circ\) και \(135^\circ\) ως προς τον θετικό άξονα \(x\). Η γωνία \(\frac{\pi}{4}\) σημειώνεται μεταξύ του θετικού άξονα \(x\) και της ευθείας των \(45^\circ\). Οι τέσσερις περιοχές ονομάζονται \(A\) (αριστερά), \(B\) (πάνω αριστερά), \(C\) (πάνω δεξιά), \(D\) (δεξιά).]

[Λείπει από τη φωτογραφία: το κάτω τμήμα της σελίδας είναι κομμένο· το Β. ερώτημα του Θ4 βρίσκεται στη φωτογραφία 20240911_120333.]

20240911_120333.jpg

[Λείπει από τη φωτογραφία: η επικεφαλίδα του θέματος· το Β. ερώτημα συνεχίζει το Θ4 της 20240911_120227 (η εκφώνηση του Θ4 Α. ερωτήματος κόβεται στο κάτω μέρος της εκείνης της φωτογραφίας).]

B. (1.5)

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα \(\iint_D xy^2\,dA\) που περικλείεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(y = x\), \(y = \frac{x}{2}\) και \(y = 2\).

[Σχήμα: επίπεδο xy με τις ευθείες \(y = x\), μία ακόμη ευθεία (η ετικέτα της είναι [δυσανάγνωστο]) και \(y = 2\)· το χωρίο D είναι σκιασμένο και επισημαίνεται η ένδειξη «Τμήμα \(y \leq x \leq 2y\)»· στους άξονες σημειώνονται 2 (στον άξονα y) και 4 (στον άξονα x)]

A. (1.5) Να αποδείξετε ότι η ελάχιστη τιμή που παίρνει η συνάρτηση \(f(x,y) = (x^2+1)y\) πάνω στον κύκλο με κέντρο \((0,0)\) και ακτίνα \(\sqrt{5}\) είναι \(-4\sqrt{2}\).

[κομμένο: το αριστερό άκρο της φωτογραφίας κόβει την αρχή της επικεφαλίδας του ερωτήματος (φαίνεται «3. (1)»)]

Β. (1) Υπολογίστε τον όγκο \(V\) του στερεού που περικλείεται μεταξύ του γραφήματος της συνάρτησης \(f(x,y) = 16 - x^2 - 3y^2\) και του χωρίου \(R\).

[Σχήμα: τρισδιάστατο διάγραμμα με την μπλε επιφάνεια \(z = f(x,y)\) πάνω από το χωρίο \(R\) (μπεζ, στο επίπεδο xy)· ο άξονας z είναι σημειωμένος· στους οριζόντιους άξονες σημειώνονται τα 3 (στον άξονα x) και 1]

---

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή