Μαθηματικά 2 — Ιούλιος 2024

Μεταγραφή από τις φωτογραφίες του εντύπου (Θ1 έως Θ5)· λείπει το Θ6.

20240705_180728.jpg

Θ1. A. (1)

Είναι γνωστό ότι ο ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) σε ένα σημείο \((x_0, y_0)\) του πεδίου ορισμού της δίνεται από τον κάτωθι ορισμό:

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = l \Leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)\,(\exists \delta_1(\varepsilon) > 0)\,(\exists \delta_2(\varepsilon) > 0)\ \tau.\omega\]

\[(|x - x_0| < \delta_1) \ \text{και} \ (|y - y_0| < \delta_2) \longrightarrow (|f(x,y) - l| < \varepsilon). \qquad (1)\]

Έστω η συνάρτηση

\[f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{3xy^2}{x^2+y^2}, & \alpha\nu\ (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \alpha\nu\ (x,y) \neq (0,0). \end{cases}\]

[sic: και στους δύο κλάδους του ορισμού αναγράφεται «αν (x,y) ≠ (0,0)»]

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό (1), για να είναι η συνάρτηση \(f\) συνεχής στο σημείο \(O(0,0)\) θα πρέπει:

(i) \(\delta_1 \le \dfrac{\varepsilon}{3}\), (ii) \(\delta_2 \le \dfrac{\varepsilon}{3}\), (iii) \(\delta_1 \le \dfrac{\varepsilon}{6}\) και \(\delta_2 \le \dfrac{\varepsilon}{6}\), (iv) \(\delta_1 + \delta_2 \le \varepsilon\).

B. (1.5) Χρησιμοποιήστε τον ορισμό μέσω του ορίου για να επιβεβαιώσετε τις ακόλουθες σχέσεις για τις μερικές παραγώγους:

\[\frac{\partial}{\partial x}\, xy^2 = y^2 \quad \text{και} \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{-x}{y^2}\]

20240705_213738.jpg

[Σημείωση: στο πάνω μέρος της φωτογραφίας διαφαίνεται αχνό κείμενο της πίσω όψης, που δεν μεταγράφεται.]

Θ2. Έστω η συνάρτηση

\[f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, & \text{αν } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \text{αν } (x,y) = (0,0) \end{cases}\]

A. (1)

Επιβεβαιώστε ότι για \((x,y) \neq (0,0)\) ισχύει:

\[f_x(x,y) = \frac{y(x^4 + 4x^2y^2 - y^4)}{(x^2+y^2)^2} \quad \text{και} \quad f_y(x,y) = \frac{x(x^4 - 4x^2y^2 - y^4)}{(x^2+y^2)^2}.\]

B. (1.5) Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της μερικής παραγώγου με το όριο για να αποδείξετε ότι \(f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0\) και επιπλέον ότι οι μερικές παράγωγοι \(f_{xy}(0,0)\) και \(f_{yx}(0,0)\) υπάρχουν και οι δύο αλλά δεν είναι ίσες.

Θ3. Έστω ότι η συνάρτηση \(f(x,y)\) ορίζεται σε έναν δίσκο \(D\) που περιέχει το \((x_0,y_0)\) και ότι επιπλέον οι μερικές παράγωγοι \(f_x(x_0,y_0)\) και \(f_y(x_0,y_0)\) υπάρχουν. Η συνάρτηση \(f(x,y)\) είναι διαφορίσιμη στο \((x_0,y_0)\) αν

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} \frac{f(x,y) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)(x-x_0) - f_y(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} = 0.\]

A. (1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \(f(x,y) = xy + 2x + y\) είναι διαφορίσιμη στο \((0,0)\).

B. (1.5) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης \(f(x,y) = x^3 + y^3 - 12xy\) και να χαρακτηριστούν.

Θ4. A. (1)

Βρείτε ποια από τις τέσσερις περιοχές του παρακάτω σχήματος είναι το χωρίο στο οποίο λαμβάνει χώρα η διπλή ολοκλήρωση

\[\int_{-\sqrt{2}/2}^{0}\int_{-x}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y)\,dy\,dx\]

[Σχήμα: ημιδίσκος ακτίνας 1 πάνω από τον άξονα x, με τις περιοχές A (αριστερά), B (πάνω αριστερά), C (πάνω δεξιά) και D (δεξιά)· άξονες x (−1, 1) και y· γωνία π/4 σημειωμένη κοντά στην αρχή]

B. (1.5) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα \(\iint_D x^2y\,dA\) που περικλείεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(y = \sqrt{x}\), \(y = \dfrac{1}{x}\) και \(x = 3\).

[Σχήμα: γραφικές παραστάσεις \(y = \sqrt{x}\) (άνω) και \(y = 1/x\) (κάτω) με κατακόρυφη ευθεία \(x = 3\). Σκιασμένο κατακόρυφο τμήμα με σήμανση \(1/x \leq y \leq \sqrt{x}\). Στον άξονα \(x\) σημειώνονται τα 1, \(x\) και 3]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

20240705_180733.jpg

[Σημείωση: αχνό, ανάστροφο κείμενο στο πάνω μέρος της φωτογραφίας (πίσω όψη της σελίδας)· δεν μεταγράφεται.]

Θ3. Έστω ότι η συνάρτηση \(f(x,y)\) ορίζεται σε έναν δίσκο \(D\) που περιέχει το \((x_0,y_0)\) και ότι επιπλέον οι μερικές παράγωγοι \(f_x(x_0,y_0)\) και \(f_y(x_0,y_0)\) υπάρχουν. Η συνάρτηση \(f(x,y)\) είναι διαφορίσιμη στο \((x_0,y_0)\) αν

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} \frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} = 0\]

A. (1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση \(f(x,y) = xy + 2x + y\) είναι διαφορίσιμη στο \((0,0)\).

B. (1.5) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης \(f(x,y) = x^3 + y^3 - 12xy\) και να χαρακτηριστούν.

Θ4. A. (1)

Βρείτε ποια από τις τέσσερις περιοχές του παρακάτω σχήματος είναι το χωρίο στο οποίο λαμβάνει χώρα η διπλή ολοκλήρωση

\[\int_{-\sqrt{2}/2}^{0}\int_{-x}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y)\,dy\,dx\]

[Σχήμα: ημιδίσκος ακτίνας 1 πάνω από τον άξονα x, με τις περιοχές A (αριστερά), B (πάνω αριστερά), C (πάνω δεξιά) και D (δεξιά)· άξονες x (−1, 1) και y· γωνία π/4 σημειωμένη κοντά στην αρχή]

B. (1.5) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα \(\iint_D x^2y\,dA\) που περικλείεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(y = \sqrt{x}\), \(y = \frac{1}{x}\) και \(x = 3\).

[κομμένο: το αριστερό άκρο της φωτογραφίας κόβει τμήματα των γραμμών (η αρχή της φράσης «που περικλείεται» και του «παραστάσεων», καθώς και το «y» πριν από το «= 1/x»)]

[Σχήμα: γράφημα με άξονες x και y· καμπύλη \(y=\sqrt{x}\) (πάνω) και καμπύλη \(y=1/x\) (κάτω)· σκιασμένο κατακόρυφο τμήμα με σήμανση \(1/x \le y \le \sqrt{x}\)· σημεία 1, x, 3 στον άξονα x και 1 στον άξονα y]

received_365045533020567.jpg

Θ5.

A. (1.5) Να αποδείξετε ότι η μέγιστη τιμή που παίρνει η συνάρτηση \(f(x,y)=x^2y^3\) πάνω στον μοναδιαίο κύκλο είναι \(\frac{6}{25}\sqrt{\frac{3}{5}}\).

B. (1) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα \(\int_D f(x,y)\,dA\) με \(f(x,y)=x+y\), για το σκιασμένο χωρίο \(D\).

[Σχήμα: πολικό χωρίο στο πρώτο τεταρτημόριο ανάμεσα σε δύο τόξα κύκλων· ακτίνες 2 και 4 σημειωμένες στους άξονες· ετικέτες θ = π/2 (άξονας y) και θ = 0 (άξονας x)]

---

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή