2023)¶

Μεταγραφή από τις φωτογραφίες του εντύπου της 21ης Ιουνίου 2023· η πρώτη σελίδα φαίνεται και στο IMG_7007.png.

20230621_165546.jpg¶

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ – ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ Διδάσκοντες: [ονόματα παραλείπονται] 21 Ιουνίου 2023

[στοιχεία εξεταζόμενου/ης — παραλείπονται]

Οδηγίες/Επεξηγήσεις

Στο διαγώνισμα υπάρχουν τριών ειδών ερωτήματα.

Ερωτήματα με την ένδειξη ■. Σε αυτά πρέπει να δώσετε μόνο την απάντηση δίχως αιτιολόγηση.
Ερωτήματα με την ένδειξη ○. Αυτά είναι ερωτήματα του τύπου σωστό/λάθος και καλείσθε να γράψετε στον κύκλο "Σ" για σωστό ή "Λ" για λάθος. Να αιτιολογήσετε εάν σας ζητηθεί.
Ερωτήματα με την ένδειξη □. Σε αυτά τα ερωτήματα καλείσθε να δώσετε μια πλήρη αλλά "οικονομική απόδειξη-λύση" για το ζητούμενο.

Σε όλες τις περιπτώσεις συστήνεται να "δουλέψετε" κάθε ερώτημα ή υποερώτημα στο πρόχειρο ώστε η απάντησή σας να μην είναι τυχαία.

Η διάρκεια της εξέτασης είναι 2 ώρες. Η παράδοση των γραπτών αρχίζει 1 ώρα μετά από την έναρξη της εξέτασης.

Τα Θ1 έως Θ5 βαθμολογούνται με 1,5 μονάδες και το Θ6 με 2,5 μονάδες.

Καλή Επιτυχία!

Θ1. ■ Δώστε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει το μέσο ύψος της "οροφής" του σχήματος, που ορίζεται από την $z = y^2 \sin x$ για $0 \le x \le \pi$, $0 \le y \le 1$. (Δίνεται ότι $\overline{H} = \dfrac{1}{\operatorname{Area}(\mathcal{D})} \iint_{\mathcal{D}} H(x,y)\,dA$)

[Σχήμα: τρισδιάστατη γραφική παράσταση της επιφάνειας z = y² sin x με άξονες x, y, z· στον άξονα x σημειώνεται π· κοντά στο κάτω μέρος της επιφάνειας υπάρχει ετικέτα 1]

20230621_165555.jpg¶

Θ2. ■ Παραθέστε το διπλό ολοκλήρωμα της $f(x,y) = x + y$ στο πεδίο ορισμού $D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 4,\ y \geq 0\}$.

[Καλυμμένο τμήμα της φωτογραφίας (χώρος απάντησης)· δεν μεταγράφεται.]

Θ3. □ Εάν η $f$ είναι διαφορίσιμη συνάρτηση και $z = y - f(x^2 - y^2)$, δείξτε ότι

\[y\frac{\partial z}{\partial x} + x\frac{\partial z}{\partial y} = x.\]

[Καλυμμένο τμήμα της φωτογραφίας (χώρος απάντησης)· δεν μεταγράφεται.]

Θ4. □ Έστω η συνάρτηση

\[f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{3xy^2}{x^2+y^2}, & \text{αν } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \text{αν } (x,y) = (0,0). \end{cases}\]

Να αποδείξετε ότι είναι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο σημείο $O(0,0)$.

[Καλυμμένο τμήμα της φωτογραφίας (χώρος απάντησης)· δεν μεταγράφεται.]

Θ5. ○ Η διαφορική εξίσωση $(\cos 2y - 3x^2y + B)\,dx + (\cos 2y - 2x\sin 2y - 2x^3y + A)\,dy = 0$, είναι ακριβής. Όπου $A$ να βάλετε το τελευταίο ψηφίο του ΑΜ σας και όπου $B$ το προτελευταίο. Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

20230621_165552.jpg¶

[Στοιχεία φοιτητή (ονοματεπώνυμο, ΑΜ) παραλείφθηκαν.]

Θ6. Ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, ανοικτό στο επάνω μέρος θέλουμε να έχει όγκο 108 κυβικά εκατοστά μέτρα. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του ώστε ώστε το εμβαδόν επιφανείας του να είναι το ελάχιστο δυνατό;

[sic: «ώστε ώστε» διπλή λέξη στο πρωτότυπο]

[Τμήμα της σελίδας καλυμμένο.]

[δυσανάγνωστο: αχνό κείμενο στο κάτω μέρος της σελίδας]

Λύσεις (🟡 community)

Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: φωτογραφίες λύσεων από το Discord (φοιτητικές, μη επιβεβαιωμένες)

Προσοχή

Η 20240701_211419.jpg και η 20240701_211541.jpg φέρουν σημείωση «v.2» (άλλη εκδοχή του εντύπου)· το Θ1 τους (όγκος τετραέδρου με επίπεδα x+2y+3z=6) δεν είναι το Θ1 της εκφώνησης 2023-06 (μέσο ύψος της z=y² sin x), οπότε η αντιστοιχία με το 2023-06 δεν επιβεβαιώνεται. Η 20240701_211541 (v.2 Θ2) αντιστοιχεί στο Θ2 του 2023-06. Η IMG_7015.png έχει ένδειξη συνεδρίας 2022-06 και γράφει το Ο5 με «−2x²y + A» ενώ η εκφώνηση του Θ5 και η 377932474 έχουν «−2x³y + A»· η παράγωγος που δίνεται (−6x²y) αντιστοιχεί στο x³. Η αντιστοιχία της IMG_7015 με το 2023-06 χρειάζεται επιβεβαίωση. Στην 377932474.jpg (Θ5) η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή με [δυσανάγνωστο] και διαγραμμένα τμήματα· το συμπέρασμα «δεν είναι ακριβής» είναι συνεπές με τον υπολογισμό, αλλά η διατύπωση δεν έχει επαληθευτεί. Το Θ3 εμφανίζεται σε δύο ανεξάρτητες φωτογραφίες (20240701_211632 και 375754302_843…)· και οι δύο καταλήγουν στην ισότητα x = x. Το Θ6 εμφανίζεται σε τρεις φωτογραφίες (375754302_700…, 375756190_…, 378045958_…) που συμφωνούν μεταξύ τους (P0(6,6), x = y = 6, z = 3, V = 108).

Λύσεις — Μαθηματικά ΙΙ — Ιούνιος 2023¶

Φοιτητικές λύσεις των θεμάτων Θ1–Θ6 του Ιουνίου 2023, όπως δημοσιεύθηκαν στο Discord. Η μεταγραφή είναι αυτούσια από τα φωτογραφημένα χειρόγραφα ή ψηφιακά κείμενα· δεν έχουν ελεγχθεί από διδάσκοντα.

20240705_135803.jpg¶

Θ1 Το ολοκλήρωμα που υπολογίζει το μέσο ύψος της "οροφής" του σχήματος που ορίζεται από το σχέδιο $z = y^2 \sin x$ στο παραλληλόγραμμο που δίνεται από τα όρια $0 \le x \le \pi$ και $0 \le y \le 1$ είναι:

Μέσο ύψος $= \dfrac{1}{\text{Περιοχή}}\iint_R z\,dA$, όπου $R$: η περιοχή στο επίπεδο $xy$ με τα δοσμένα όρια, $z = y^2 \sin x$: η συνάρτηση "οροφής", $dA = dx\,dy$: η διαφορική επιφάνεια περιοχή.

Άρα: Μέσο ύψος $= \dfrac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 y^2 \sin x\,dy\,dx$

① Υπολογίζοντας αρχικά το εσωτερικό ολοκλήρωμα: $$\int_0^1 y^2\,dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$$

② Αντικαθιστώντας αυτό το αποτέλεσμα στο έξω ολοκλήρωμα: $$\text{Μέσο ύψος} = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \sin x \cdot \frac{1}{3}\,dx = \frac{1}{3\pi}\int_0^{\pi}\sin x\,dx \overset{(*)}{=} \frac{2}{3\pi}$$

$(*)$ $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \left[-\cos x\right]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 2$

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

20240701_211419.jpg¶

v.2

Θ1 Για να υπολογίσετε τον όγκο 4έδρου που ορίζεται από τα επίπεδα:

Έστω:

$x=0$

$y=0$

$z=0$

$x+2y+3z=6$

Πρέπει πρώτα να οριοθετήσουμε [δυσανάγνωστο]

(Η οριοθέτηση 1 επιλέγει ότι [δυσανάγνωστο] απλώς τον όγκο χωρίς να [δυσανάγνωστο] κάποια επιπλέον [δυσανάγνωστο].)

Τα όρια για κάθε μεταβλητή είναι:

$x$: από $0$ έως $6-3z-2y$
$y$: από $0$ έως $\frac{6-3z}{2}$ $(x=0)$
$z$: από $0$ έως $2$ $(x=0,\ y=0)$

Άρα

\[\int_0^2\int_0^{\frac{6-3z}{2}}\int_0^{6-3z-2y}\,dx\,dy\,dz\]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή. [Στο πάνω αριστερό άκρο φαίνεται κομμένο τμήμα εκτυπωμένης εκφώνησης: «1) (4,5 μονάδες)» και «z=0 και». Δεν μεταγράφεται.]

20240701_211541.jpg¶

v.2

Θ2. Για να υπολογίσουμε το διπλό ολοκλήρωμα ως συναρτήσεως $f(x,y) = x + y$ στο πεδίο ορισμού $D$, που ορίζεται από τις ανισώσεις $x^2 + y^2 \leq 4$ και $y \geq 0$

Πεδίο ορισμού $D$:

Το π.ο $D$ είναι το άνω ημικύκλιο με ακτίνα $2$, αφού $x^2 + y^2 \leq 4$ και $y \geq 0$

Μετατροπή σε πολικές συντεταγμένες: $x = r\cos\theta$ & $y = r\sin\theta$

Η περιοχή $D$ σε πολικές συντεταγμένες περιγράφεται ως:

$[\,0 \leq r \leq 2\,]$ και $[\,0 \leq \theta \leq \pi\,]$

Αντικατάσταση σε πολικές συντεταγμένες

Η $f(x,y)$ γίνεται $f(r,\theta) = r\cos\theta + r\sin\theta = r(\cos\theta + \sin\theta)$

Διπλό ολοκλήρωμα σε πολικές συντεταγμένες:

Το στοιχείο εμβαδού σε πολικές συντεταγμένες είναι $[\,r\,dr\,d\theta\,]$

Άρα το διπλό ολοκλήρωμα

\[\iint_D f(x,y)\,dA = \int_0^\pi \int_0^2 r(\cos\theta + \sin\theta)\, r\, dr\, d\theta\]

[κομμένο κάτω άκρο, εν μέρει ορατό: $\int r^2(\cos\theta + \sin\theta)\, dr\, d\theta$ — τα όρια και το υπόλοιπο δυσανάγνωστα]

[στο δεξί άκρο: κομμένη αρχή άλλης άσκησης, "Θ3"]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

20240701_211632.jpg¶

03 Για να αποδείξουμε ότι $y\frac{\partial z}{\partial x} + x\frac{\partial z}{\partial y} = x$, όπου $z = y - f(x^2 - y^2)$ [το σύμβολο της συνάρτησης μοιάζει με «I» στη φωτογραφία, πιθανώς «z»], ξεκινάμε υπολογίζοντας τις μερικές παραγώγους του z ως προς x και y.

(1) Ως προς x: $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(y - f(x^2-y^2)\big)$

Η y είναι ανεξάρτητη του x, άρα η παράγωγος της 0
Χρησιμοποιούμε τον κανόνα της αλυσίδας για τον παραγωγο τους $f(x^2-y^2)$

\[\frac{\partial z}{\partial x} = 0 - f'(x^2-y^2)\cdot \underbrace{\frac{\partial}{\partial x}(x^2-y^2)}_{2x} = -2x\, f'(x^2-y^2)\]

(2) Ως προς y: $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(y - f(x^2-y^2)\big)$

Εδώ η παράγωγος του y είναι 1
Και πάλι χρησιμοποιούμε τον κανόνα της αλυσίδας

\[\frac{\partial z}{\partial y} = 1 - f'(x^2-y^2)\cdot \underbrace{\frac{\partial}{\partial y}(x^2-y^2)}_{-2y} = 1 - f'(x^2-y^2)(-2y)\]

(3) Αντικαθιστώ στην έκφραση και αποδεικνύω:

\[y\frac{\partial z}{\partial x} + x\frac{\partial z}{\partial y} = y\big(-2x f'(x^2-y^2)\big) + x\big(1 + 2y f'(x^2-y^2)\big)\]

\[= -2xy f'(x^2-y^2) + x + 2xy f'(x^2-y^2)\]

\[= x\]

375754302_843143677524188_51948616852142301_n.jpg¶

$\Theta_3)$

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial (y - f(x^2 - y^2))}{\partial x} = -2x f'(x^2 - y^2) \quad (1)\]

\[\frac{\partial z}{\partial y} = 1 - (-2y f'(x^2 - y^2)) = 1 + 2y f'(x^2 - y^2) \quad (2)\]

\[y \frac{\partial z}{\partial x} + x \frac{\partial z}{\partial y} = x \xLeftrightarrow[\substack{(2)}]{\substack{(1)}} y \left(-2x f'(x^2 - y^2)\right) + x \left(1 + 2y f'(x^2 - y^2)\right) = x\]

\[-2xy f'(x^2 - y^2) + x + 2xy f'(x^2 - y^2) = x\]

\[x = x \quad \text{που ισχύει}\]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

375754355_1243390559683721_6900575253777984558_n.jpg¶

$\Theta_4)$

\[\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3xy^2}{x^2 + y^2} \xrightarrow{\text{Μετασχηματισμός Pollar}}\]

\[= \lim_{r \to 0} \frac{3(r \cos\theta)(r \sin\theta)^2}{(r \cos\theta)^2 + (r \sin\theta)^2} = \lim_{r \to 0} \frac{3r^3 \cos\theta \sin^2\theta}{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}\]

\[= \lim_{r \to 0} \frac{3r^3 \cos\theta \sin^2\theta}{r^2 \cdot (1)} = \lim_{r \to 0} (3r \cos\theta \sin^2\theta) = 0\]

\[\text{συνεπώς : } \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0) \quad \text{, άρα } f \text{ συνεχής στο } O\]

$\Theta_1)$

\[\text{είναι : } \int_0^1 \int_0^\pi (y^2 \sin x) \, dx \, dy\]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

377932474_3494088000866882_1354369088608100056_n.jpg¶

Θ5)

~~[δυσανάγνωστο]~~ για να είναι ακριβής, θα πρέπει:

\[\frac{\partial(\cos 2y - 3x^2y + B)}{\partial y} = \frac{\partial(\cos 2y - 2x\sin 2y - 2x^3y + A)}{\partial x} \quad [\text{διαγραμμένο: } \partial y \text{ στον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος}]\]

\[-2\sin 2y - 3x^2 = -2\sin 2y - 6x^2y, \text{ που δεν ισχύει}\]

συνεπώς δεν είναι ακριβής.

Θ2)

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

IMG_7015.png¶

Ο5)

[δυσανάγνωστο] για να είναι ακριβής, θα πρέπει:

\[\frac{\partial(\cos 2y - 3x^2y + B)}{\partial y} = \frac{\partial(\cos 2y - 2x\sin 2y - 2x^2y + A)}{\partial x}\]

\[-2\sin 2y - 3x^2 = -2\sin 2y - 6x^2y,\]

που δεν ισχύει, συνεπώς δεν είναι ακριβής.

Ο3) [κομμένο στο κάτω άκρο της φωτογραφίας]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

375754302_700935708743750_7656615548504121375_n.jpg¶

\[y - \frac{216}{x^2} = 0$$ $$x^2 y - 216 = 0$$ $$y = \frac{216}{x^2} \quad (2)\]

\[x - \frac{216}{y^2} = 0$$ $$x y^2 = 216 \quad (3)\]

\[(3) \xrightarrow{(2)} x \cdot \left(\frac{216}{x^2}\right)^2 = 216 \Leftrightarrow x \cdot \frac{216^2}{x^4} = 216 \Leftrightarrow 216 = x^3 \Leftrightarrow x = 6\]

\[y = 6\]

\[P_0(6,6) : \text{κρίσιμο σημείο}\]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

375756190_3556792191228133_242499818075072242_n.jpg¶

Συνθήκες 2ης Τάξης ($\Theta_6$ συνέχεια)

\[A = \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} = \frac{\partial \left(y - \frac{216}{x^2}\right)}{\partial x} = -\left(-2 \cdot \frac{216}{x^3}\right) = \left.\frac{432}{x^3}\right|_{x=6} = \frac{432}{216} = 2\]

\[B = \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = \frac{\partial \left(y - \frac{216}{x^2}\right)}{\partial y} = 1\]

\[\Gamma = \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} = \frac{\partial \left(x - \frac{216}{y^2}\right)}{\partial y} = \left.\frac{432}{y^3}\right|_{y=6} = \frac{432}{216} = 2\]

\[\left. \begin{aligned} \text{Είναι : } & B^2 - A\Gamma = 1 - 2 \cdot 2 = -3 < 0 \\ & A = 2 > 0 \end{aligned} \right\} \implies P_0(6,6) \text{ είναι τοπικό ελάχιστο}\]

\[(1) \xrightarrow[\substack{y=6}]{\substack{x=6}} z = \frac{108}{36} \Leftrightarrow z = 3\]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

378045958_850158266499856_679692275776241021_n.jpg¶

$\Theta_6) \quad V = 108 \text{ cm}^3 \quad \text{έστω διαστάσεις : } x, y, z \quad \text{οπότε:}$

\[x \cdot y \cdot z = 108 \Leftrightarrow z = \frac{108}{xy} \quad (1)\]

\[E = xy + 2xz + 2yz\]

\[\xLeftrightarrow{(1)} E = xy + 2x \cdot \frac{108}{xy} + 2y \cdot \frac{108}{xy}\]

\[E = xy + \frac{216}{y} + \frac{216}{x}\]

[Σχήμα: Σκίτσο ανοικτού ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις βάσης $x, y$ και ύψος $z$]

Θεωρώ συνάρτ. $E(x,y) = xy + \frac{216}{y} + \frac{216}{x}, \quad D = \{(x,y) \dots \}$

$\frac{\partial E}{\partial x} = \frac{\partial \left(xy + \frac{216}{y} + \frac{216}{x}\right)}{\partial x} = y + \left(-\frac{216}{x^2}\right)$
$\frac{\partial E}{\partial y} = x + \left(-\frac{216}{y^2}\right)$

Συνθήκες 1ης τάξης:

$E_x = E_y = 0 \quad \text{συνεπώς :}$

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή