Μαθηματικά 2 — 2021 — χωρίς ακριβή ημερομηνία (2_2021)¶

Μεταγραφή από το αρχείο 2_2021.pdf (5 σελίδες, όραση).

2_2021.pdf¶

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

Ερώτηση 1 (Σωστό / Λάθος – 1 βαθμός)

Αν $(a,b)$ είναι ένα τοπικό ελάχιστο της $f$, τότε ισχύει $D_u f(a,b) = 0$ για κάθε μοναδιαίο διάνυσμα $u$ - [ ] Σωστό - [ ] Λάθος

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) – 1 βαθμός)

Για το διανυσματικό πεδίο $\vec{F} = (\sin y^2 + z^3, 2xy \cos y^2 - 2, 3xz^2 + 4)$ ισχύει ότι: - [ ] Το $\vec{F}$ είναι διανυσματικό πεδίο και έχει δυναμική ενέργεια $f(x,y,z) = x \sin y^2 + xz^3 - 2y + 4z$ - [ ] Το $\vec{F}$ δεν είναι διανυσματικό πεδίο και έχει δυναμική ενέργεια $f(x,y,z) = x \sin y^2 + xz^3 - 2y + 4z$ - [ ] Το $\vec{F}$ είναι διανυσματικό πεδίο και έχει δυναμική ενέργεια $f(x,y,z) = y \sin x^2 + xz^3 - 2z + 4y$ - [ ] Το $\vec{F}$ δεν είναι διανυσματικό πεδίο και έχει δυναμική ενέργεια $f(x,y,z) = y \sin x^2 + xz^3 - 2z + 4y$

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) – 1 βαθμός)

Είναι γνωστό ότι ο ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ σε ένα σημείο $(x_0, y_0)$ του πεδίου ορισμού της δίνεται από τον κάτωθι ορισμό: $$\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = l \Leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta_1(\varepsilon) > 0) (\exists \delta_2(\varepsilon) > 0) \text{ τέτοιο ώστε} :$$ $$(|x - x_0| < \delta_1) \text{ και } (|y - y_0| < \delta_2) \longrightarrow (|f(x,y) - l| < \varepsilon).$$

Έστω η συνάρτηση $$f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{x} \sin(xy), & \text{αν } x \neq 0 \\ 0, & \text{αν } x = 0 \end{cases}$$

Χρησιμοποιώντας τον άνω ορισμό, για να είναι η συνάρτηση $f$ συνεχής στο σημείο $O(0,0)$ θα πρέπει: - [ ] $\delta_1 \le \varepsilon$ - [ ] $\delta_2 \le \varepsilon$ - [ ] $\delta_1 \le \frac{\varepsilon}{2} \text{ και } \delta_2 \le \frac{\varepsilon}{2}$ - [ ] $\delta_1 - \delta_2 \le \varepsilon$

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) – 1 βαθμός)

Τα ακρότατα της συνάρτησης $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$, $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ υπό τη συνθήκη $\phi(x,y,z) = x + y + z + 1 = 0$ είναι: - [ ] $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ - [ ] $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ - [ ] $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$ - [ ] $(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ - [ ] $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$ - [ ] $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$ - [ ] $(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$

Ερώτηση 5 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) – 1 βαθμός)

Έστω συνάρτηση $f(x,y,z) = x^2 y z^3$ και σημείο $M(1, -2, 3)$. Η κατεύθυνση του διανύσματος ώστε η $\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(M)$ να γίνεται μέγιστη είναι: - [ ] $\vec{u} = \frac{1}{21}(4, -1, 2)$ - [ ] $\vec{u} = \frac{1}{\sqrt{21}}(-4, 1, -2)$ - [ ] $\vec{u} = \frac{1}{\sqrt{21}}(1, -2, 3)$ - [ ] $\vec{u} = 91(1, -2, 4)$

[sic: η 1η επιλογή γράφει 1/21 και η 4η γράφει 91 χωρίς ρίζα, όπως τυπώνονται]

Ερώτηση 6 (Σωστό / Λάθος – 1 βαθμός)

Η σχέση $\frac{\partial^2 Q}{\partial x} \partial y = \frac{\partial^2 Q}{\partial y} \partial x$ είναι πάντοτε αληθής. - [ ] Σωστό - [ ] Λάθος

Ερώτηση 7 (Σωστό / Λάθος – 1 βαθμός)

Το σύνολο των σημείων $\{(x,y,z) \mid x^2 + y^2 = 4\}$ είναι κύκλος ακτίνας 2. - [ ] Σωστό - [ ] Λάθος

Ερώτηση 8 (Σωστό / Λάθος – 1 βαθμός)

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\sqrt{1 - x^2 - y^2} \ln(x^2 + y^2 - 1)$ είναι κενό. - [ ] Σωστό - [ ] Λάθος

Ερώτηση 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) – 1 βαθμός)

Εάν $W(s,t) = F(u(s,t), v(s,t))$, τότε: - [ ] $\frac{\partial W}{\partial s} = W_u u_s + W_v v_s$ - [ ] $\frac{\partial W}{\partial s} = W_u u_u + W_s v_s$ - [ ] $\frac{\partial W}{\partial s} = W_s u_s + W_u v_s$ - [ ] $\frac{\partial W}{\partial s} = W_u u_s + W_s v_v$

[sic: οι δείκτες στις επιλογές 2–4 είναι όπως τυπώνονται]

Ερώτηση 10 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) – 1 βαθμός)

Η γενική λύση της ΔΕ $xy \sin(xy) - \cos(xy) + x^2 \sin(xy) y' = 0$ είναι: - [ ] $x \cos(xy) = c$ όπου $c$ αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών. - [ ] $x \sin(xy) = c$ όπου $c$ αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών. - [ ] $\cos(xy) = c$ όπου $c$ αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών. - [ ] $x \cos(y) = c$ όπου $c$ αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών.

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή