Μετάβαση στο περιεχόμενο

Μαθηματικά 2 — Ιούνιος 2021 — Σετ Θεμάτων 062021

Μεταγραφή από τις φωτογραφίες του σετ «themata_062021».

1,2.png

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Έστω \(\vec{f} : R^3 \rightarrow R^3\) με \(\vec{f} = (P, Q, R)\) μια φορά συνεχώς παραγωγίσιμη. Αν το \(\vec{f}\) είναι σωληνοειδές (\(div\vec{f} = 0\)), και \(\vec{F}(x,y,z) = (\int_{z_0}^z Q(x,y,t)\,dt, \int_{x_0}^x R(t,y,z_0)\,dt - \int_{z_0}^z P(x,y,t)\,dt, 0)\) τότε ισχύει:

  • [ ] \(\vec{f} = div\vec{F}\)
  • [ ] \(\vec{F} = rot\vec{f}\)
  • [ ] \(\vec{F} = div\vec{f}\)
  • [ ] \(\vec{f} = rot\vec{F}\)

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Τα σημεία της καμπύλης \(x^2 + 2y^2 + z^2 - 2yz - 2xy = 2\), με \(x + y + z = 3\) που έχουν ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι:

  • [ ] \((\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{2}{3})\)
  • [ ] \((\frac{2}{3}, \frac{5}{3}, \frac{2}{3})\)
  • [ ] \((-\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{2}{3})\)
  • [ ] \((-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3})\)
  • [ ] \((0, 1, 2)\) και \((1, 2, 2)\)

3,4,5.png

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Για την συνάρτηση \(f(x, y, z) = e^x + e^{-2y} + e^{-3z}\), η παράγωγος της \(f\) στο σημείο \((0, 0, 0)\) στην οποία η κατεύθυνση στο σημείο \((1, 1, 1)\) παίρνει τη μέγιστη τιμή είναι:

  • [ ] \(\vec{n} = \frac{1}{\sqrt{21}}(1, -2, -3)\)
  • [ ] \(\vec{n} = \frac{1}{\sqrt{14}}(1, -2, -3)\)
  • [ ] \(\vec{n} = \frac{1}{\sqrt{21}}(1, -2, 3)\)
  • [ ] \(\vec{n} = \frac{1}{\sqrt{14}}(-1, -2, -3)\)

Ερώτηση 4 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός)

Η παράγωγος κατά κατεύθυνση της \(f(x, y) = lnx + y^2\) στο \((1, 2)\) στην κατεύθυνση \(\vec{v} = <2, 1>\) είναι \(6\).

  • [ ] Σωστό
  • [ ] Λάθος

Ερώτηση 5 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός)

Αν \(\nabla f(0, 0) = \langle 3, 4 \rangle\), τότε υπάρχει ακριβώς ένα μοναδιαίο διάνυσμα \(u\) για το οποίο \(D_u f(0, 0) = 1\)

  • [ ] Σωστό
  • [ ] Λάθος

6,7.png

Ερώτηση 6 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Είναι γνωστό ότι ο ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) σε ένα σημείο \((x_0, y_0)\) του πεδίου ορισμού της δίνεται από τον κάτωθι ορισμό:

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x, y) = l \Leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta_1(\varepsilon) > 0) (\exists \delta_2(\varepsilon) > 0) \text{ τέτοιο ώστε : } (|x - x_0| < \delta_1) \text{ και } (|y - y_0| < \delta_2) \longrightarrow (|f(x, y) - l| < \varepsilon).\]

Έστω η συνάρτηση

\[f(x, y) = \begin{cases} \frac{y^3}{x^2+y^2}, & \alpha\nu\ (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \alpha\nu\ (x, y) = (0, 0). \end{cases}\]

Χρησιμοποιώντας τον άνω ορισμό, για να είναι η συνάρτηση \(f\) συνεχής στο σημείο \(\mathrm{O}(0, 0)\) θα πρέπει:

  • [ ] \(\delta_1 \le \varepsilon\)
  • [ ] \(\delta_1 - \delta_2 \le \varepsilon\)
  • [ ] \(\delta_1 \le \frac{\varepsilon}{2} \text{ και } \delta_2 \le \frac{\varepsilon}{2}\)
  • [ ] \(\delta_2 \le \varepsilon\)

Ερώτηση 7 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Το \(\int_C \vec{F} d\vec{r}\) είναι:

  • [ ] μοναδιαίο διάνυσμα
  • [ ] διάνυσμα
  • [ ] αριθμός
  • [ ] διαφορική εξίσωση

8,9,10.png

Ερώτηση 8 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός)

Εάν \((a, b)\) είναι στάσιμο σημείο της συνάρτησης \(z = f(x, y)\), τότε \(f_x(a, b) = 0\) και \(f_x(b, a) = 0\).

  • [ ] Σωστό
  • [ ] Λάθος

Ερώτηση 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Το διπλό ολοκλήρωμα \(\int \int_D 1 dA\) δίνει:

  • [ ] το εμβαδόν της περιοχής \(D\) στο \(xy\)-επίπεδο
  • [ ] τη μάζα της περιοχής \(D\) στο \(zy\)-επίπεδο
  • [ ] την πυκνότητα της περιοχής \(D\) στο \(xz\)-επίπεδο
  • [ ] τον όγκο της περιοχής \(D\) στο \(xy\)-επίπεδο

Ερώτηση 10 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Η γενική λύση της ΔΕ \(y' - \frac{y}{x} = y^3\) είναι:

  • [ ] \(y = (cx^{-2} - \frac{2}{5}x)^{-5/2}\) όπου \(c\) αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών.
  • [ ] \(y = (cx^{-3} - \frac{2}{3}x)^{-3/2}\) όπου \(c\) αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών.
  • [ ] \(y = (cx^{-2} - \frac{2}{3}x)^{1/2}\) όπου \(c\) αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών.
  • [ ] \(y = (cx^{-2} - \frac{2}{3}x)^{-1/2}\) όπου \(c\) αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών.

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή