Μαθηματικά 2 — Ιούνιος 2021 — Σετ 6¶

Μεταγραφή από τις φωτογραφίες του σετ 6 (Math2_ioun21_set6). Σημείωση: οι φωτογραφίες είναι στιγμιότυπα οθόνης από πλατφόρμα εξέτασης· έχουν αφαιρεθεί οι επιλογές που σημείωσε ο φοιτητής, τα τικ και οι ενδείξεις ορθότητας (ό,τι δεν είναι τυπωμένο στο θέμα). Οι επιλογές απάντησης (τα τετραγωνίδια και τα κουμπιά Σωστό/Λάθος) μεταγράφονται όλες.

6_1,2,3.png¶

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Ποιό ή ποια από τα παρακάτω πολυώνυμα δευτέρου βαθμού προσεγγίζει τη συνάρτηση \(f(x, y) = \frac{x-y}{1 + \ln(1+y)}\) στην περιοχή του σημείου \(P_0(0, 0)\)

[ ] \(\Pi(x, y) = (xy)(1 - y)\)
[ ] \(\Pi(x, y) = (x - y)(1 + y)\)
[ ] \(\Pi(x, y) = (x - y)(1 - y)\)
[ ] \(\Pi(x, y) = (x - y)(1 - y^2)\)
[ ] \(\Pi(x, y) = (x + y)(1 - y^2)\)
[ ] \(\Pi(x, y) = (x + y)(1 - y)\)
[ ] \(\Pi(x, y) = (x - y)(1 - y^3)\)

Ερώτηση 2 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός)

Αν \(f\) είναι συνεχής στο \([a, b] \times [c, d]\), τότε \(\int_a^b \int_c^d f(x, y) dydx = \int_c^d \int_a^b f(x, y) dxdy\)

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση 3 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός)

Εάν έχουμε την περιοχή \(S\) στο \((u, v)\)-επίπεδο και δημιουργούμε μία περιοχή \(x = 2u + v, y = u - 2v\), τότε η περιοχή \(R\) ισούται με το \(\frac{1}{5}\) της περιοχής \(S\).

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

6_4,5.png¶

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Έστω η τιμή φυσικού μεγέθους \(K\) να προσδιορίζεται από τη μέτρηση των τριών παραμέτρων του \(\mu, \nu, \xi\) σύμφωνα με τη σχέση \(K = \frac{\sqrt{1+\mu^3}}{1+\sin\xi} (1+\nu^2)\). Τότε το ποσοστιαίο σφάλμα στον προσδιορισμό της τιμής του μεγέθους \(K\), αν υπάρχουν λάθη \(\Delta\mu, \Delta\nu, \Delta\xi\) στη μέτρηση των παραμέτρων \(\mu, \nu, \xi\) αντίστοιχα ισούται με: (Εφαρμογή \(\mu=1, \nu=2, \xi=0, \Delta\mu=0.05, \Delta\nu=0.02, \Delta\xi=0.04\)).

[ ] 0.1350
[ ] 0.1035
[ ] 0.01035
[ ] 0.1305
[ ] Όλες οι παραπάνω καθώς πρόκειται για διαφορικό και προσεγγίζει όλα τα σφάλματα
[ ] Καμία από τις παραπάνω

Ερώτηση 5 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Έστω \(\tau\) η περιοχή που περικλείεται από την περιφέρεια \(x^2 + y^2 = 2ax\). Τότε για το ολοκλήρωμα \(I = \iint_\tau (x^2 + y^2) \,dx\,dy\) θα ισχύει ότι:

[ ] \(I = \frac{3}{2} \pi a^4\)
[ ] \(I = \frac{3}{2} (\pi a^4 + 1)\)
[ ] \(I = \frac{3}{2} (\pi a^2 + 1)\)
[ ] \(I = \frac{3}{2} (\pi a^4 + \frac{3}{4})\)

6_6,7,8.jpg¶

Ερώτηση 6 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός)

Εάν \(f_{xx} > 0\) και \(f_{yy} < 0\) στο σημείο \((x, y)\) τότε το \((x, y)\) είναι σημείο καμπής της \(f\).

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση 7 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός)

Εάν \(f_{xx} > 0\) και \(f_{yy} > 0\) στο σημείο \((x, y)\) τότε το \((x, y)\) είναι τοπικό ελάχιστο της \(f\).

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση 8 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Η γενική λύση της ΔΕ \(yy' = x + y^2\) είναι:

[ ] \(y = (c e^{2x} - \frac{1}{2} + x)^{1/2}\) όπου \(c\) αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών.
[ ] \(y = (c e^{2x} - \frac{3}{2} + x)^{1/2}\) όπου \(c\) αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών.
[ ] \(y = (c e^{2x} - \frac{1}{2} - x)^{1/2}\) όπου \(c\) αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών.
[ ] \(y = (c e^{2x} - \frac{1}{2} + x)^{1/3}\) όπου \(c\) αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών.

6_9και10.png¶

Ερώτηση 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Είναι γνωστό ότι ο ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) σε ένα σημείο \((x_0, y_0)\) του πεδίου ορισμού της δίνεται από τον κάτωθι ορισμό:

\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x, y) = l \Leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta(\varepsilon) > 0) \text{ τέτοιο ώστε : } (\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \longrightarrow (|f(x, y) - l| < \varepsilon).\]

Έστω η συνάρτηση

\[f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^2+y^2}, & \alpha\nu\ (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \alpha\nu\ (x, y) = (0, 0). \end{cases}\]

Χρησιμοποιώντας τον άνω ορισμό, για να είναι η συνάρτηση \(f\) συνεχής στο σημείο \(\mathrm{O}(0, 0)\) θα πρέπει:

[ ] \(\delta < \frac{7\varepsilon}{2}\)
[ ] \(\delta < 2\varepsilon\)
[ ] \(\delta = \varepsilon\)
[ ] \(\delta = \frac{5\varepsilon}{3}\)

Ερώτηση 10 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Εάν έχουμε την περιοχή \(S\) στο \((u, v)\)-επίπεδο και δημιουργούμε μία περιοχή \(x = 2u + v, y = 4u + 2v\), τότε η περιοχή \(R\) ισούται με:

[ ] το \(2u\)
[ ] το \(-1\)
[ ] το \(1\)
[ ] το \(0\)

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή