Μαθηματικά 2 — Ιούνιος 2021 — Σετ 3¶

Μεταγραφή από τις φωτογραφίες του σετ 3 (Math2_ioun21_set3).

3_1kai2.png¶

Ερώτηση 1 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός)

Η συνάρτηση $f(x, y)$ πρέπει να έχει ένα ολικό μέγιστο στην περιοχή $x^2 + y^2 < 1$.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Τα σημεία της καμπύλης $\phi_1(x, y, z) = xz + yz + 2$ και $\phi_2(x, y, z) = xy - 1 = 0$ τα οποία απέχουν τη μέγιστη ή την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι:

[ ] $(1, 1, 2)$ και $(1, -1, 2)$
[ ] $(1, 2, 1)$ και $(2, -1, 2)$
[ ] $(1, 2, 1)$ και $(2, -1, 1)$
[ ] $(1, -1, -1)$ και $(-1, -1, 1)$
[ ] $(1, 1, -1)$ και $(-1, -1, 1)$
[ ] $(2, 2, 1)$ και $(2, -1, 2)$
[ ] $(-1, 1, -1)$ και $(-1, -1, 1)$

3_3kai4.png¶

Ερώτηση 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Για την συνάρτηση $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$, η κατεύθυνση για την οποία επιτυγχάνεται μέγιστη τιμή της παραγώγου στο σημείο $(3, 4)$ είναι:

[ ] $\vec{n} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$
[ ] $\vec{n} = (\frac{1}{3}, \frac{3}{5})$
[ ] $\vec{n} = (\frac{3}{5}, \frac{1}{5})$
[ ] $\vec{n} = (\frac{1}{5}, \frac{1}{5})$

Ερώτηση 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Αν το χωρίο D φράσσεται από τις ευθείες $3x + 2y = 2$, $x = 0$, $y = 0$, τότε το ολοκλήρωμα $I = \iint_D \cos \left( \frac{2x - 3y}{3x + 2y} \right) dx\,dy$ θα ισούται με:

[ ] $I = \frac{2}{13} (\cos(\frac{2}{3}) + \sin(\frac{3}{2}))$
[ ] $I = \frac{2}{13} (\sin(\frac{2}{3}) + \sin(\frac{3}{2}))$
[ ] $I = \frac{2}{13} (\sin(\frac{2}{3}) + \cos(\frac{3}{2}))$
[ ] $I = \frac{2}{13} (\cos(\frac{2}{3}) + \cos(\frac{3}{2}))$

3_5kai6.png¶

Ερώτηση 5 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Είναι γνωστό ότι ο ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ σε ένα σημείο $(x_0, y_0)$ του πεδίου ορισμού της δίνεται από τον κάτωθι ορισμό: $$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x, y) = l \Leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0) \; (\exists \delta_1(\varepsilon) > 0) \; (\exists \delta_2(\varepsilon) > 0) \text{ τέτοιο ώστε} : $$ $$ (|x - x_0| < \delta_1) \text{ και } (|y - y_0| < \delta_2) \longrightarrow (|f(x, y) - l| < \varepsilon). $$

Έστω η συνάρτηση $$ f(x, y) = \begin{cases} \frac{3xy^2}{x^2+y^2}, & \text{αν } (x, y) \neq (0, 0) \ 0 & \text{αν } (x, y) = (0, 0). \end{cases} $$

Χρησιμοποιώντας τον άνω ορισμό, για να είναι η συνάρτηση $f$ συνεχής στο σημείο $\text{O}(0, 0)$ θα πρέπει:

[ ] $\delta_1 \le \frac{\varepsilon}{3}$
[ ] $\delta_2 \le \frac{\varepsilon}{3}$
[ ] $\delta_1 \le \frac{\varepsilon}{6} \text{ και } \delta_2 \le \frac{\varepsilon}{6}$
[ ] $\delta_1 + \delta_2 \le \varepsilon$

Ερώτηση 6 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

$\int_C \vec{F} d\vec{r} = 0$ ισχύει για:

[ ] κάθε κλειστή καμπύλη
[ ] κάθε καμπύλη
[ ] κάθε περιοχή
[ ] κάθε χωρίο $C$

3_7,8,9.png¶

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

Ερώτηση 7 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός)

Εάν το $F$ είναι ένα διανυσματικό πεδίο τότε $\nabla \cdot F$ είναι ένα διανυσματικό πεδίο.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση 8 (Σωστό / Λάθος — 1 βαθμός)

Εάν το $F$ είναι ένα διανυσματικό πεδίο τότε $\nabla \times F$ είναι ένα διανυσματικό πεδίο.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

Ερώτηση 9 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Εάν η $f$ έχει συνεχείς μερικές παραγώγους στο $\mathbb{R}^3$ τότε:

[ ] $(\nabla \times F) = 0$
[ ] $\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0$
[ ] $\nabla \cdot (\nabla \times f) = 0$
[ ] $(\nabla \times f) = 0$

3_10.png¶

Ερώτηση 10 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 1 βαθμός)

Η γενική λύση της ΔΕ $y' + \frac{1}{x} y = -y^2 + \frac{1}{x^2}$ με μία μερική της λύση την $y_1 = \frac{1}{x}$ είναι:

[ ] $y = \frac{1}{x} + \frac{1}{cx^2 - \frac{1}{2}x}$ όπου $c$ αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών.
[ ] $y = \frac{1}{x} + \frac{1}{cx^3 - \frac{1}{2}x}$ όπου $c$ αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών.
[ ] $y = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{cx^3 - \frac{1}{2}x}$ όπου $c$ αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών.
[ ] $y = \frac{1}{x} + \frac{1}{cx^3 - \frac{1}{3}x}$ όπου $c$ αυθαίρετη σταθερά ή σχέση αυθαίρετων σταθερών.

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή