Μαθηματικά 2 — Σεπτέμβριος 2020¶

Μεταγραφή από τα στιγμιότυπα της ηλεκτρονικής εξέτασης (ερωτήσεις 1–10 και 1–2 του δεύτερου μέρους).

8.png¶

[Στιγμιότυπο οθόνης της πλατφόρμας εξετάσεων· παραλείπονται τα στοιχεία του περιηγητή, η γραμμή πλοήγησης και τα κουμπιά.]

Ερώτηση 1 / 10 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 3 βαθμοί)

Έστω ακολουθία $(a_n)_{(n\in\mathbb{N})} \in \mathbb{R}$. Τότε η συνάρτηση ακολουθίας είναι:

[ ] Συνεχής στους ακεραίους
[ ] Διακριτή
[ ] Ασυνεχής
[ ] Συνεχής στους πραγματικούς

9.png¶

Ερώτηση 2 / 10 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 3 βαθμοί)

Ο όγκος του πρίσματος του οποίου η βάση είναι το τρίγωνο στο επίπεδο $xy$ που φράσσεται από τον άξονα $x$ και τις ευθείες $y = x$ και $x = 1$ και του οποίου η άνω πλευρά βρίσκεται στο επίπεδο $z = f(x,y)$ υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα

[ ] $V = \int_0^2 \int_0^x f(x,y)\,dy\,dx$
[ ] $V = \int_0^1 \int_0^x f(x,y)\,dy\,dx$
[ ] $V = \int_0^1 \int_1^x f(x,y)\,dy\,dx$
[ ] $V = \int_0^1 \int_2^x f(x,y)\,dy\,dx$

10.png¶

[στιγμιότυπο οθόνης eClass: μενού πλοήγησης, κουμπιά και γραμμή εργασιών παραλείπονται]

Ερώτηση 3 / 10 (Σωστό / Λάθος — 3 βαθμοί)

Η ύπαρξη του διαφορικού της $f$ στο $a \in U$ έχει ως συνέπεια την ύπαρξη όλων των μερικών παραγώγων, $\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)$ της $f$ στο $a$.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

11.png¶

Ερώτηση 4 / 10 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 3 βαθμοί)

Συνηθίζεται να λέγεται ότι η λύση μίας ακριβούς διαφορικής εξίσωσης δίνεται από την σχέση $u(t,y)=$σταθερά. Αυτό που πραγματικά εννοούμε είναι ότι η εξίσωση $u(t,y)=c$:

Tip: Επιλέξτε τη σωστή ή τις σωστές απαντήσεις και στο χαρτί περιγράψτε πολύ συνοπτικά (έως 3 γραμμές) τη θεωρία που την/τις δικαιολογεί.

[ ] Πρέπει να λυθεί ως προς $y$ σαν συνάρτηση των $t, c$
[ ] Η οικογένεια λύσεων συγκλίνει στο σημείο $c$
[ ] $du = c$
[ ] $du = 0$ για κάθε $(x, y) \in \mathbb{R}$

[Στιγμιότυπο: το πλαίσιο πλοήγησης ερωτήσεων 1–10 και τα κουμπιά «Προσωρινή αποθήκευση», «Ακύρωση», «Υποβολή», «Προηγούμενο», «Επόμενο» παραλείπονται.]

12.png¶

Σημείωση: το στιγμιότυπο είναι από πλατφόρμα ηλεκτρονικών εξετάσεων (πλοήγηση 1–10, εδώ η ερώτηση 5). Τα κουμπιά «Προσωρινή αποθήκευση», «Ακύρωση» και «Υποβολή» δεν μεταφέρονται.

Ερώτηση 5 / 10 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 3 βαθμοί)

Δίνεται η συνάρτηση $$\phi(x,y) = \frac{\sin(x+y)}{x+y}$$ για $(x,y) \neq (0,0)$ και $\phi(0,0) = 1$. Η $\phi(x,y)$ είναι συνεχής στο:

[ ] $(0,0)$
[ ] $\mathbb{R}^2$
[ ] Δεν είναι συνεχής
[ ] Είναι παντού συνεχής εκτός του $(0,0)$

13.png¶

Ερώτηση 6 / 10 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 3 βαθμοί)

Έστω $I = \iint_R f(x,y)\,dx\,dy$ όπου $R$ είναι το χωρίο που δίνεται από τις ανισότητες $x^2 \leq y \leq 2x$ και $0 \leq x \leq 2$. Τότε το $I$ ισούται με

[ ] $I = \int_0^3 \int_y^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\,dy$
[ ] $I = \int_0^4 \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\,dy$
[ ] $I = \int_0^4 \int_y^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\,dy$
[ ] $I = \int_0^1 \int_y^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\,dy$

14.png¶

Σημείωση: στιγμιότυπο της πλατφόρμας εξετάσεων· φαίνεται μόνο η ερώτηση 7 από 10.

Ερώτηση 7 / 10 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 3 βαθμοί)

Έστω συνάρτηση $f(x,y)$ για την οποία γνωρίζετε ότι υπάρχουν όλες οι μερικές της παράγωγοι πρώτης τάξης. Για την συνάρτηση $f(x,y)$ γνωρίζετε ότι είναι:

[ ] Πάντα συνεχής
[ ] Πάντα ασυνεχής
[ ] Πάντα συνεχής αν υπάρχουν και όλες οι μερικές της παράγωγοι δευτέρας τάξης
[ ] Τίποτα από τα παραπάνω

15.png¶

Ερώτηση 8 / 10 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 3 βαθμοί)

Δίνεται η συνάρτηση $\phi(x,y) = \dfrac{x-(c+1)y}{x+(c+1)y}$ με πεδίο ορισμού $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \text{ με } (x,y)\neq(0,0)\}$. Η $\phi(x,y)$ είναι συνεχής στο $(0,0)$:

[ ] Για $c=0$
[ ] Για $c=1$
[ ] Για $c=2$
[ ] Τίποτα από τα παραπάνω

16.png¶

Ερώτηση 9 / 10 (Σωστό / Λάθος — 3 βαθμοί)

Ισχύει η παρακάτω παράσταση;

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^4)\ln(x^2+y^4) = 0\]

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

17.png¶

Ερώτηση 10 / 10 (Σωστό / Λάθος — 3 βαθμοί)

Έστω

\[ g(x) = \begin{cases} \dfrac{xy^2}{x^2+y^4}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}, \]

τότε οι κατευθυνόμενες παράγωγοι στο $(0,0)$ υπάρχουν προς όλες τις κατευθύνσεις και η $g$ είναι διαφορίσιμη στο ίδιο σημείο.

[ ] Σωστό
[ ] Λάθος

20.png¶

Ερώτηση 1 / 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 15 βαθμοί)

Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι πιο κοντά στην τιμή $e^{\frac{0.003}{1.001}}\cos(0.002)$ ?

[ ] 1
[ ] 1.001
[ ] 1.002
[ ] 1.003

21.png¶

Ερώτηση 2 / 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 25 βαθμοί)

Για την παρακάτω Δ.Ε. επιλέξτε τη σωστή απάντηση και επιλύστε τη στο χαρτί που θα υποβάλετε.

\[xy'' - 2(x+1)y' + (x+2)y = x^3 e^{2x}, \qquad x > 0,\]

γνωρίζοντας ότι η $y_1 = e^x$ είναι μία μερική λύση της αντιστοίχου ομογενούς Δ.Ε.

[ ] Δ.Ε. 1ης τάξης
[ ] Δ.Ε. 2ης τάξης
[ ] Ομογενής Δ.Ε.
[ ] Μη ομογενής Δ.Ε.

Σημείωση: στιγμιότυπο οθόνης της πλατφόρμας εξετάσεων eClass· δεν μεταγράφονται τα κουμπιά πλοήγησης και υποβολής.

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή