Μαθηματικά 1 — Ιούνιος 2023¶

Η μοναδική πηγή είναι το Math_I_June_23_A12solutions.pdf, αντίγραφο της εξέτασης με λύσεις. Μεταφέρθηκαν μόνο τα ερωτήματα και οι οδηγίες όπως είναι τυπωμένα.

Math_I_June_23_A12solutions.pdf (σελ. 1)¶

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ — ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι — ΑΑΕΣ — 27 Ιουνίου 2023

16/22-23

[Στοιχεία εξεταζομένου: παραλείπονται]

Οδηγίες/Επεξηγήσεις¶

Στο διαγώνισμα υπάρχουν τριών ειδών ερωτήσεις που απαρτίζουν έξι θέματα.

Ερωτήσεις με την ένδειξη ■. Σε αυτά πρέπει να δώσετε τη λύση με ένα σύντομο υπολογισμό, ή δίχως αιτιολόγηση αν κρίνετε ότι δεν χρειάζεται.
Ερωτήσεις με την ένδειξη (κύκλος). Αυτά είναι ερωτήματα του τύπου σωστό/λάθος και καλείσθε να γράψετε στον κύκλο "Σ" για σωστό ή "Λ" για λάθος.
Ερωτήσεις στις οποίες καλείσθε να δώσετε μια πλήρη αλλά "οικονομική απόδειξη-λύση" για το ζητούμενο στο χώρο που παρέχεται.

Σε όλες τις περιπτώσεις συστήνεται και σε κάποιες επιβάλλεται να "δουλέψετε" κάθε ερώτηση ή υποερώτηση στο πρόχειρο ώστε η απάντησή σας να μην είναι τυχαία. Ερωτήσεις του τύπου 1 και 2 είναι ισοδύναμες.

Η διάρκεια της εξέτασης είναι 2 ώρες. Η παράδοση των γραπτών αρχίζει 1 ώρα μετά από την έναρξη της εξέτασης.

Καλή Επιτυχία!

Σε οποιοδήποτε πρόβλημα με τριγωνομετρικές συναρτήσεις ο τριγωνομετρικός κύκλος δίνει πολλές πληροφορίες και αναμφισβήτητα βοηθάει.

x	0	π/6	π/4	π/3	π/2
cos x	1	√3/2	√2/2	1/2	0
sin x	0	1/2	√2/2	√3/2	1

Τριγωνομετρικοί αριθμοί κάποιων γωνιών.

Θέμα 1¶

■ $\displaystyle\lim_{N\to\infty}\int_{-N}^{N}\frac{1}{1+kx^2}\,dx = \ldots\ldots$, όπου $k = 2, 3$.
■ $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\tan x)}{x} = \ldots\ldots$
■ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{k}{n+m}\right)^{n} = \ldots\ldots$, όπου $k, m$ σταθεροί φυσικοί αριθμοί.
■ Αν $z$ είναι μιγαδικός αριθμός και $|z-i| = |z-1|$, τότε $z = x + ix$ με $x \in \mathbb{R}$.
■ Εάν $a \in \mathbb{R}$, η σειρά $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(4a^2)^{-n/2}$ συγκλίνει αν και μόνο αν $|a| > 1/2$.
■ $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1+\sqrt[3]{x}}{x^p}\,dx < \infty$ αν και μόνο αν $p > 4/3$.

Θέμα 2¶

Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = 1 \pm a\cos x$, όπου $a \neq 0$.

(α') Να βρεθεί το πολυώνυμο Taylor 2ου βαθμού $P_2$ που προσεγγίζει την $f$ σε ένα διάστημα $(-\epsilon, \epsilon)$.
(β') Να εκτιμηθεί το μέγιστο σφάλμα της προσέγγισης της $f$ από το $P_2$ στο διάστημα $(-\pi/4, \pi/4)$. Αν $R_2(x)$ είναι το υπόλοιπο Taylor, τότε $f(x) - P_2(x) = R_2(x)$ για κάθε $x \in (-\pi/4, \pi/4)$, ισοδύναμα

Θέμα 3¶

Γράψτε Σ για σωστό ή Λ για λάθος στο λευκό κυκλάκι.

( ) Αν $0 < a < b$, τότε $\displaystyle\int_0^L \ln(a+x)\,dx \le \int_0^L \ln(b+x)\,dx$, για κάθε $L > 0$.
( ) Αν η σειρά $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|$ συγκλίνει, τότε και η σειρά $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{1+\sqrt{|a_n|}}$ συγκλίνει.
( ) Αν η $f$ είναι συνεχής, $f \ge 0$ και $f(x) \to 0$, καθώς $x \to \infty$, τότε $\displaystyle\int_1^\infty \frac{f(x)}{x^{2/3}}\,dx < \infty$.
( ) Η σειρά $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\pi)}{n^p}$ συγκλίνει αν και μόνο αν $p > 1$.
( ) $\displaystyle\left|\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(a+x)\,dx\right| \le \pi$, για κάθε $a \in \mathbb{R}$.
( ) Αν ο $z$ είναι μιγαδικός αριθμός, τότε $|e^z| \le e^{|z|}$.

Θέμα 4¶

Δίνεται η εξίσωση $$\frac{dy}{dx} = y(\alpha - y),$$ όπου $\alpha$ είναι το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του αριθμού μητρώου σας.

(α') Σε ένα γράφημα δώστε τη συμπεριφορά των λύσεων, καθώς $x \to +\infty$, ανάλογα με την αρχική συνθήκη $y(0) = y_0$.
(β') Να βρεθούν όλες οι λύσεις της εξίσωσης.

Θέμα 5¶

Ένα σχήμα είναι χρήσιμο. Εάν $x > 0$, ορίζουμε $z = x + i$.

[Σχήμα: μιγαδικό επίπεδο με τα σημεία $z_1 = x_1 + i$ και $z_2 = x_2 + i$ στο ύψος $y = 1$ και τους άξονες $x$, $iy$.]

(α') ■ $|z| = \ldots\ldots$, από το σχήμα.
(β') ■ Αν $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, τότε
i. $r = \ldots\ldots$
ii. $\cos\theta = \ldots\ldots$, από το ορθογώνιο τρίγωνο.
iii. $\sin\theta = \ldots\ldots$, από το ορθογώνιο τρίγωνο.
(γ') ■ $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\operatorname{Arg}(z) = \ldots\ldots$, από το σχήμα.
(δ') ■ Η εκθετική μορφή ($z = re^{i\theta}$) του $z$ είναι $z = \ldots\ldots$, από το προηγούμενο βήμα.

Θέμα 6¶

Να βρεθεί ανοικτό διάστημα μέγιστου μήκους ώστε $$|\cos x - \cos y| > \frac{1}{2}|x - y|$$ για όλα τα σημεία $x, y$ του διαστήματος.

Λύσεις (🟢 official)

Κατάσταση: 🟢 official Πηγή: eClass του μαθήματος: αρχείο «Math_I_June_23_A12solutions.pdf», σελίδες 2-7 (Λύσεις)

Λύσεις — Μαθηματικά 1 — Ιούνιος 2023¶

Αντιγραφή του επίσημου αρχείου λύσεων του eClass. Οι εκφωνήσεις των θεμάτων εμφανίζονται μέσα στο ίδιο αρχείο, όπως είναι τυπωμένες.

Math_I_June_23_A12solutions.pdf (σελ. 2-7)¶

Θ1. ∆ώστε την απάντηση.

1
■ lim , όπου k = 2 , 3.
N →∞ � −NN 1 + kx 2 d x = √ π k
1
Γνωρίζουµε ότι (arctan x ) ′ = 1 + x 2 > 0 και
y
1 f ( x ) = 1+1 x 2
a 0 b x
εποµένως
1
� ab 1 + x 2 d x = arctan b − arctan a,
κατά συνέπεια
√k
1 1 1 1 1 1
� −NN 1 + kx 2 d x = � −NN 1 + ( √ kx ) 2 d x = √ k � −NN √k 1 + y 2 d y → √ k � −∞∞ 1 + y 2 d y
= √ π k .
αφού arctan( ±∞ ) = ±π/ 2.
sin(tan x ) sin(tan x ) tan x sin(tan x ) sin x 1
■ lim = lim = lim
x→ 0 x x→ 0 tan x x x→ 0 tan x x cos x = 1.
k
■ lim 1 + = e k , όπου k, m είναι σταθεροί ϕυσικοί αριθµοί.
n→∞ � n + m � n
Γνωρίζουµε ότι lim 1 + k = e k , εποµένως
n→∞ � n � n
k k 1
�1 + n + m � n = �1 + n + m � n + m k 1 = ek
1 +
� n + m � m → e k 1
■ Αν z είναι µιγαδικός αριθµός και |z − i| = |z − 1 | , τότε z = x + ix µε x ∈ R.
iy
z = x + ix
i
0 1 x
ΕΣ@ΤΜΗΥΠ

Οι Ϲητούµενοι µιγαδικοί αριθµοί ϐρίσκονται πάνω στη µεσοκάθετο του τµήµατος µε άκρα τους αριθµούς 1 και i , που είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία 0, 1 και i , άρα η µεσοκάθετος είναι η διχοτόµος y = x .

που είναι γεωµετρική σειρά άρα συγκλίνει αν και µόνο αν 1 / (2 |a| ) < 1 ισοδύναµα αν και µόνο αν |a| > 1 / 2.

Θ2. ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 1 ± a a cos x , όπου a̸̸ = 0..
(αʹ) Να ϐρεθεί το πολυώνυµο Taylor 2ου ϐαθµού P 2 που προσεγγίζει την f σε ένα διάστηµα ( −ϵ, ϵϵ, ϵ )..
(ϐʹ) Να εκτιµηθεί το µέγιστο σφάλµα της προσέγγισης της f από το P 2 στο διάστηµα ( στο διάστηµα ( ( −π/π/ 4 , π/ 4). Αν R 2(( x ) είναι το υπόλοιπο Taylor, τότε f ( x ) − P 2(( x ) = R 2(( x ) για κάθε x ∈ ( −π/π/ 4 , π/ 4), ισοδύναµα

Σηµείωση:

Βλέπε ∆ιάλεξη 07 σελίδες 30,31.

1 x^p 1 +^√ 3 x 1 x¹^/3 1 1 d x = �1 ∞ x^p �1 ∞ x^p_d^x+ �1 ∞ x^p_d^x= �1 ∞ x^p_d^x+ �1 ∞ x^p−1/3d^x οπότε ϑέλουµε p > 1 και p − 1 / 3 > 1. ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 1 ± a a cos x , όπου a̸̸ = 0.. (αʹ) Να ϐρεθεί το πολυώνυµο Taylor 2ου ϐαθµού P 2 που προσεγγίζει την f σε ένα ( −ϵ, ϵϵ, ϵ ).. Θεωρούµε την περίπτωση f ( x ) = 1 − a cos x , και υπολογίζουµε f′_ ( x ) = a sin x, f′′_ ( x ) = a cos x, f′′′_ ( x ) = −a sin x εποµένως f (0) = 1 − a , f′ (0) = 0 και f′′ (0) = a , κατά συνέπεια P 2( x ) = f (0) +f′ 1!⁽⁰⁾^x+f′′ 2!⁽⁰⁾ x² = 1 − a +^a 2^x_2 (ϐʹ) Να εκτιµηθεί το µέγιστο σφάλµα της προσέγγισης της f από το P 2 στο διάστηµα ( στο διάστηµα ( ( −π/π/ 4 Αν R 2(( x ) είναι το υπόλοιπο Taylor, τότε f ( x ) − P 2(( x ) = R 2(( x ) για κάθε x ∈ ( −π/π/ 4 ισοδύναµα −a sin ξ x³ για κάποιο ξ µεταξύ 0 και x �� f ( x ) − P 2( x )�� = �� 3! �� , ≤|a| |x³ | 6^sin � π 4 � ≤^|a| 6 ~~√~~ 2 � π 4 �3 < 0 . 0571 |a|.

Θ3. Γράψτε Σ για σωστό ή Λ για λάθος στο λευκό κυκλάκι.

Σ Αν ο z είναι µιγαδικός αριθµός, τότε |e^z | ≤ e^|z| . Αν z = x + iy , τότε e^z = e^x+^iy = e^x e^iy = e^x (cos y + i sin y ), εποµένως

Θ4. ∆ίνεται η εξίσωση (∆ιάλεξη 12 σελίδες 16-18, και Επαναληπτικές Ασκήσεις ΙΙ σελίδες 9-11.)

d y d x⁼^y(^{α −y)}^,

όπου α είναι το τελευταίο µη µηδενικό ψηφίο του αριθµού µητρώου σας.

(αʹ) Σε ένα γράφηµα δώστε τη συµπεριφορά των λύσεων, καθώς x → + ∞ , ανάλογα µε την αρχική συνθήκη y (0) = y 0.

Παρατηρούµε ότι οι y = 0 και y = α ικανοποιούν την εξίσωση, είναι δηλαδή λύσεις. Για y̸ = 0 και y̸ = α παρατηρούµε ότι: αν y > α , τότε y^′ = y ( α − y ) < 0, άρα η y είναι ϕθίνουσα, αν 0 < y < α , τότε y^′ > 0, άρα η y είναι αύξουσα και τέλος αν y < 0, τότε y^′ < 0, άρα η y είναι ϕθίνουσα. Η συµπεριφορά αποτυπώνεται στο σχήµα

Αναφέραµε ότι οι y = 0 και y = α είναι λύσεις της εξίσωσης. Αν y̸̸ = 0 και y̸̸ = α η εξίσωση γίνεται

Από την τελευταία σχέση προκύπτουν, για y 0 = 0 και y 0 = α , αντίστοιχα, οι σταθερές λύσεις y = 0 και y = α αλλά και η συµπεριφορά των λύσεων στο σχήµα του πρώτου µέρους.

y α x (ϐʹ) Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις της εξίσωσης. Αναφέραµε ότι οι y = 0 και y = α είναι λύσεις της εξίσωσης. Αν y̸̸ = 0 και y̸̸ = α η γίνεται y^′ y^′ d x y ( α − y )^{= 1}^⇒ � y ( α − y )^d^x= � Επειδή (γιατί ;) 1 1 y ( α − y )⁼ α¹ � y 1⁺ α − y � παίρνουµε 1 y^′ = d x ⇒¹ log |y| − log |α − y| = x + c α �� yy′^d^x+ � α − y^d^x � � α � � y y log �� α − y �� = αx + αc ⇒ α − y⁼^±eαxeαc=^keαx

Θ5. ΄Ενα σχήµα είναι χρήσιµο. Εάν x > 0, ορίζουµε z = x + i .

iy
z 1 = x 1 + i z 2 = x 2 + i
i
0 x 1 x 2 x

(ϐʹ) ■ Αν z = r (cos θ + i sin θ ), τότε i. r = ~~�~~ x² + 1. x ii. cos θ = , από το ορθογώνιο τρίγωνο. ~~√~~ x² + 1 1 iii. sin θ = , από το ορθογώνιο τρίγωνο. ~~√~~ x² + 1 (γʹ) ■ x→ lim+ ∞^Arg(^{z) = 0,απότοσχήµα.Ηγωνίαµικραίνεικαθώς}^{x →∞.} ∆ιαφορετικά από τα ii. και iii. έπεται ότι tan θ = cos^sin^θ θ⁼ x¹^{⇒θ= arctan} x¹ οπότε x→ lim+ ∞^Arg(^{z) =} x^lim →∞^θ= x^lim →∞^arctan x^{1= arctan 0 = 0}^. (δʹ) ■ Η εκθετική µορφή ( z = re^iθ ) του z είναι z = ( ~~�~~ x² + 1) e^i_arctan(1/x_) , από το προηγούµενο ϐήµα. Η εκδοχή, z = x − i λύνεται µε ανάλογο τρόπο.

Θ6. Να ϐρεθεί ανοικτό διάστηµα µέγιστου µήκους ώστε

για όλα τα σηµεία x, y του διαστήµατος.

Από το ϑεώρηµα της µέσης τιµής έχουµε

για κάποιο ξ µεταξύ x και y , οπότε για να ισχύει η Ϲητούµενη σχέση ϑέλουµε

αν περιοριστούµε στο [0 [0 , 2 π ],, αφού ενδιαφερόµαστε για ένα µόνο διάστηµα.

Αν x, y ∈ ( π/ 6 , 5 π/ 6), ή, ή x, y ∈ (7 π/ 6 , 11 π/ 6), τότε και το, τότε και το ξ αφού είναι µεταξύ τους ϑα περιέχεται στο αντίστοιχο διάστηµα, οπότε ϑα ικανοποιείται η Ϲητούµενη ανισότητα. Το καθένα από τα δύο αυτά διαστήµατα είναι το µέγιστο δυνατό, µήκους 4 π/ 3,, έτσι µπορούµε να πάρουµε το ( π/ 6 , 5 π/ 6),, για παράδειγµα.

Το σύνολο όλων των x, y για τα οποία ισχύει η ανισότητα είναι η ένωση διαστηµάτων

| − sin ξ| = | sin ξ| >¹ ∪ , 2^⇔ξ∈ � π 6^,5 6^π � � 76 π,11 6^π � αν περιοριστούµε στο [0 [0 , 2 π ],, αφού ενδιαφερόµαστε για ένα µόνο διάστηµα. sin θ 5 π/ 6 π/ 6 sin( π/ 6) = sin(5 π/ 6) = 1 / 2 cos θ 7 π/ 6 11 π/ 6 sin(7 π/ 6) = sin(11 π/ 6) = − 1 / 2 Αν x, y ∈ ( π/ 6 , 5 π/ 6), ή, ή x, y ∈ (7 π/ 6 , 11 π/ 6), τότε και το, τότε και το ξ αφού είναι µεταξύ τους ϑα περιέχεται στο αντίστοιχο διάστηµα, οπότε ϑα ικανοποιείται η Ϲητούµενη ανισότητα. Το καθένα δύο αυτά διαστήµατα είναι το µέγιστο δυνατό, µήκους 4 π/ 3,, έτσι µπορούµε να πάρουµε ( π/ 6 , 5 π/ 6),, για παράδειγµα. Το σύνολο όλων των x, y για τα οποία ισχύει η ανισότητα είναι η ένωση διαστηµάτων E = � � kπ +^π 6, kπ+5 6^π � . k∈ Z Η εκδοχή, | sin x − sin y| >¹ 2^{_|x −y|_λύνεταιµεανάλογοτρόπο.}

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή