Μαθηματικά 1 — Ιανουάριος 2022 (εκτίμηση)¶
Μεταγραφή από τα στιγμιότυπα 2.png και 1.png (σύνθεση τμημάτων οθόνης από πλατφόρμα ηλεκτρονικών εξετάσεων). Τα κομμένα σημεία σημειώνονται ως [κομμένο].
2.png¶
Σημείωση: το στιγμιότυπο είναι σύνθεση τριών τμημάτων οθόνης από πλατφόρμα ηλεκτρονικών εξετάσεων. Κομμένα τμήματα σημειώνονται με [κομμένο].
Ερώτηση: 1
Για κάθε φυσικό αριθμό \(k\) υπάρχει \(r_k\) στο διάστημα \((0,1)\) ώστε $\(\ln(k+1) = \ln k + \frac{1}{k + r_k}.\)$
- [ ] Σωστό (Βαθμολογία: 2.00)
- [ ] Λάθος (Βαθμολογία: -1.00)
[αριθμός ερώτησης δεν φαίνεται]
Δίνεται το ολοκλήρωμα $\(I = \int_a^b \tan x \, \mathrm{d}x,\)$ με \(a < b\).
- [ ] Αν \(a = -\pi/2\) και \(b = \pi/2\), τότε \(I = 0\) αφού η \(\tan\) είναι περιττή συνάρτηση σ′ αυτό το διάστημα. (Βαθμολογία: -1.00)
- [ ] Αν το ολοκλήρωμα υπάρχει, τότε αναγκαστικά \(b - a < \pi\). (Βαθμολογία: 2.00)
- [ ] Αν \(a = \pi/2 - \pi/3\) και \(b = \pi/2 + \pi/3\), τότε το ολοκλήρωμα υπάρχει. (Βαθμολογία: -1.00)
- [ ] Αν το ολοκλήρωμα υπάρχει, τότε \(I = (b - a)\tan \xi\) για κάποιο \(\xi \in (a,b)\). (Βαθμολογία: 2.00)
Ερώτηση: 4
[κομμένο]ια ποιες τιμές των παραμέτρων \(a\) και \(b\) το πολυώνυμο $\(p(x) = 1 + a(x-1) + b(x-1)^2\)$ [κομμένο]είναι πολυώνυμο Taylor για την $\(f(x) = \sqrt[3]{x}\)$ [κομμένο]ύρω από το \(x = 1\);
- [ ] \(a = 1/5\) και \(b = -4/25\). (Βαθμολογία: -0.50)
- [ ] \(a = -1/5\) και \(b = 4/25\). (Βαθμολογία: -0.50)
- [ ] \(a = -1/5\) και \(b = 2/25\) (Βαθμολογία: -0.50)
- [ ] \(a = 1/5\) και \(b = -2/25\) (Βαθμολογία: [δεν φαίνεται])
1.png¶
Ερώτηση: 7
Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός \(z = (1+\sqrt{3}i)^m\), όπου \(m\) είναι φυσικός αριθμός.
Απάντηση
- [ ] Ισχύει \(\operatorname{Re} z \neq 0\) για κάθε φυσικό αριθμό \(m\). (Βαθμολογία: 2.00)
- [ ] Ισχύει \(\operatorname{Im} z \neq 0\) για κάθε φυσικό αριθμό \(m\). (Βαθμολογία: -0.50)
- [ ] \(|z| = 2^m\). (Βαθμολογία: 2.00)
- [ ] Για κάθε φυσικό αριθμό \(m\) ισχύει \(z \neq \bar{z}\). (Βαθμολογία: -0.50)
- [ ] Αν \(m = 6k - 1\) για κάποιο φυσικό αριθμό \(k\), τότε το πρωτεύον όρισμα του \(z\) είναι \(\operatorname{Arg} z = \dfrac{5\pi}{3}\). (Βαθμολογία: 2.00)
[Δεύτερο τμήμα του στιγμιοτύπου: η επικεφαλίδα/αριθμός της ερώτησης δεν φαίνεται, ορατά μόνο το «Αν» και το ολοκλήρωμα.]
Αν
\(I = \displaystyle\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\,\mathrm{d}x,\)
Απάντηση
- [ ] Το ολοκλήρωμα δεν ορίζεται γιατί στο \(x = 1\) η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση δεν ορίζεται. (Βαθμολογία: -1.00)
- [ ] \(I = \sqrt{3}.\) (Βαθμολογία: 2.00)
- [ ] \(I = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.\) (Βαθμολογία: -1.00)
- [ ] Το ολοκλήρωμα προκύπτει ως όριο ολοκληρωμάτων Riemann [κείμενο κομμένο στο στιγμιότυπο]