Λογική Σχεδίαση Ι — Φεβρουάριος 2026¶
Μεταγραφή από το κείμενο των θεμάτων του αρχείου IS_FEB2026.pdf (3 σελίδες)· οι λυμένες απαντήσεις του αρχείου δεν μεταγράφονται.
IS_FEB2026.pdf¶
Θέμα 1
- α) Χρησιμοποιώντας μόνο τα αξιώματα και βασικά θεωρήματα της άλγεβρας Boole να απλοποιήσετε την λογική συνάρτηση F(A, B, C), έτσι ώστε αυτή να μπορεί να υλοποιηθεί μόνο με 2 λογικές πύλες 2 εισόδων:
F(A, B, C) = AB'C + A'BC + A'B'C.
Σε κάθε βήμα της απλοποίησης, να αναφέρετε το αξίωμα ή το θεώρημα που χρησιμοποιήσατε και μετά την απλοποίηση να σχεδιάσετε το λογικό κύκλωμα που υλοποιεί την απλοποιημένη συνάρτηση. Λύσεις που βασίζονται σε πίνακες αληθείας και χάρτες Karnaugh δε θα βαθμολογηθούν.
- β) Χρησιμοποιώντας μόνο τα αξιώματα και βασικά θεωρήματα της άλγεβρας Boole να απλοποιήσετε την λογική συνάρτηση G(A, B, C), έτσι ώστε αυτή να μην χρειάζεται λογικές πύλες για την υλοποίησή της:
G(A, B, C) = (A + AB)(A + A'B)(A + C).
Σε κάθε βήμα της απλοποίησης, να αναφέρετε το αξίωμα ή το θεώρημα που χρησιμοποιήσατε. Λύσεις που βασίζονται σε πίνακες αληθείας και χάρτες Karnaugh δε θα βαθμολογηθούν.
Θέμα 2¶
- (α) Να εκφράσετε τις συναρτήσεις F (a, b, c) και G (a, b, c) των παρακάτω λογικών διαγραμμάτων σε κάποια κανονική μορφή χρησιμοποιώντας μόνο αξιώματα και θεωρήματα της άλγεβρας Boole και να αποφανθείτε αν είναι ισοδύναμες ή όχι. Λύσεις που βασίζονται σε πίνακες αληθείας και χάρτες Karnaugh δε θα βαθμολογηθούν.
[Σχήμα: F: είσοδοι a, b σε πύλη XNOR (2 εισόδων)· η έξοδός της και η είσοδος c σε πύλη NOR με έξοδο F(a,b,c). G: [δυσανάγνωστο: τύπος και συνδέσεις των πυλών του κυκλώματος G· διακρίνονται είσοδοι a, b, c και έξοδος G(a,b,c)].]
- β) Να υλοποιήσετε τη G μόνο με όσο το δυνατόν λιγότερες πύλες NOR 2 εισόδων. Δεν επιτρέπεται η χρήση αντιστροφέων ή λογικών πυλών άλλου τύπου ή η χρήση πυλών NOR με περισσότερες από 2 εισόδους.
Θέμα 3¶
Δίδεται η συνάρτηση F (Α, Β, C, D) = Σ (1, 4, 9, 11, 15) η οποία παρουσιάζει αδιαφορία στους ελαχιστόρους 2, 3, 6 και 13. Να την απλοποιήσετε χρησιμοποιώντας χάρτη Karnaugh και να δώσετε λογικό διάγραμμα για την υλοποίησή της με το μικρότερο δυνατό πλήθος λογικών πυλών με έως δύο εισόδους.
Θέμα 4¶
Έχετε στην διάθεσή σας μόνο πλήρεις αθροιστές (Full Adders - FAs). Να σχεδιάσετε κύκλωμα το οποίο να υπολογίζει το γινόμενο Β = 5 × Α, όπου Α = a2a1a0 είναι ένας φυσικός δυαδικός 3 δυαδικών ψηφίων. Αγνοήστε τυχόν υπερχειλίσεις.
Θέμα 5¶
[ 2,1 μονάδες ]
Να δώσετε λογικό διάγραμμα για την υλοποίηση της F(A,B,C,E) του παρακάτω λογικού διαγράμματος με έναν αποκωδικοποιητή και μία πύλη:
[Σχήμα: διάγραμμα με αποκωδικοποιητή 2 σε 4 (είσοδοι E στο 2¹ και B στο 2⁰), πύλη AND και πύλη XNOR με είσοδους B, E, και πολυπλέκτη 4 σε 1 με επιλογές C (2¹) και A (2⁰) και εισόδους I0–I3 από τις εξόδους του αποκωδικοποιητή και των πυλών· έξοδος F(A, B, C, E).]
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: migrated from previous_exams.md (Antigravity, 2026-10)
Προσοχή
Θέμα 1α: η γραμμή «= (AB) C» έχει χαμένη άρνηση στη μεταφορά· το (AB)'C συμφωνεί με το F = AB'C + A'BC + A'B'C, αφού AB'C + A'BC + A'B'C = C(A' + B') = (AB)'C. Θέμα 1β: τα ενδιάμεσα βήματα «= Α + [(ΑΒ)(Α'Β)C]» και «= A+( ΑΑ'ΒΒC)» δεν είναι ακριβή· το τελικό G = A συμφωνεί, αφού A + AB = A και A + A'B = A + B, άρα G = A(A + B)(A + C) = A. Θέμα 2α: το βήμα «(a⊕b)' c' = (a⊕b) c'» δεν είναι σωστό ως γενική ισότητα· το τελικό Σ(2,4) αντιστοιχεί στο (a⊕b)c', δηλαδή σε πύλη XNOR που τροφοδοτεί πύλη NOR με το c. Το σχήμα του Θέματος 2 δεν είναι αναγνώσιμο στη μεταγραφή, άρα η αντιστοίχιση με το κύκλωμα δεν επαληθεύτηκε. Το συμπέρασμα F ≠ G ισχύει ανεξάρτητα, αφού G = Σ(0). Θέμα 3: το τελικό «(Α'Β) D» πρέπει να διαβαστεί ως (A'B) ⊕ D (XOR)· ο έλεγχος με τους ελαχιστόρους 1, 4, 9, 11, 15 και τις αδιαφορίες 2, 3, 6, 13 επιβεβαιώνει την έκφραση. Θέμα 5: το σχήμα της εκφώνησης δεν είναι αναγνώσιμο στη μεταγραφή· η αντιστοιχία των εισόδων του πολυπλέκτη (I0 = D2, I1 = D0, I2 = BE, I3 = B'E) δεν επαληθεύτηκε. Οι ελαχιστόροι 1, 7, 8, 10, 15 συμφωνούν με τους όρους που γράφονται.
Λύσεις — Λογική Σχεδίαση Ι — Φεβρουάριος 2026¶
Λύσεις που μεταφέρθηκαν αυτούσιες από το παλιό previous_exams.md (ai-unverified). Οι εκφωνήσεις του παλιού αρχείου παραλείφθηκαν· η εκφώνηση είναι αποκλειστικά αυτή του 2026-02.md. Οι αριθμοί των θεμάτων και των περιπτώσεων ακολουθούν την εκφώνηση.
F(A, B, C) = AB C + ABC + ABC αξίωμα αντιμεταθετικότητας = AB C + ACB + ACB αξίωμα επιμεριστικότητας = AB C + AC(B + B) αξίωμα συμπληρώματος x + x = 1 = AB C + AC1 αξίωμα ουδέτερου στοιχείου [x1 = 1] = AB C + AC αξίωμα επιμεριστικότητας = (AB + A)C αξίωμα αντιμεταθετικότητας = (A + AB)C θεώρημα απορρόφησης [x + xy = x + y] = (A + B)C θεώρημα De Morgan = (AB) C Επομένως, η συνάρτηση F(A, B, C) μπορεί να υλοποιηθεί μόνο με 2 λογικές πύλες 2 εισόδων, όπως παρουσιά-
G(A, B, C) = (A + AB)(A + A B)(A + C) αξίωμα επιμεριστικότητας = Α + [(ΑΒ)(Α'Β)C] αξιώματα προσεταιριστικότητας & αντιμεταθετικότητας = A+( ΑΑ'ΒΒC) αξίωμα συμπληρώματος = A + 0 αξίωμα ουδέτερου στοιχείου = A
F (a, b, c) = [(a b) + c]' θεώρημα De Morgan = (a b)' c' συμπληρωματικότητα των XOR και ΧΝΟR = (a b) c' συνάρτηση XOR 2 μεταβλητών = (ab' + a'b) c' αξίωμα επιμεριστικότητας = ab'c' + a'bc' = m 4 + m2 = Σ(2,4) G (a, b, c) = (a + b)' (a'c)' = θεώρημα De Morgan = a'b'[(a')'+c'] = θεώρημα διπλής άρνησης = a'b'(a + c') = αξίωμα επιμεριστικότητας = a'b'a + a'b'c' = αξίωμα συμπληρώματος xx' = 0 = a'b'c' = m 0 = Σ(0) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι F (a, b, c) G (a, b, c).
Από τη G (a, b, c) = a'b'c' παίρνουμε ότι: G (a, b, c) = a'b'c' = θεώρημα De Morgan = (a + b)' c' = θεώρημα De Morgan = [(a + b) + c]' = θεώρημα διπλής άρνησης = {[(a + b)']' + c}'= θεώρημα διπλής άρνησης = {[(a + b)'+(a + b)']' + c}' θεώρημα x + x = x που μας οδηγεί στο ακόλουθο λογικό διάγραμμα : a b G (a, b, c) c
Από την αποτύπωση της συνάρτησης στο χάρτη, παίρνουμε ότι: 1 X X 1 X X 1 1 1 00 01 11 10 00 01 11 10 A B C D
F (Α, Β, C, D) = AD + B'D + A'BD' = (A+B') D + (A'B) D' = (A'B)' D + (A'B) D' = (Α'Β) D. Συνεπώς το λογικό διάγραμμα έχει ως εξής :
Το γινόμενο Β = 5 Α μπορεί να γραφτεί ως εξής: Β = 4 Α + Α = 2 2 Α + Α. O πολλαπλασιασμός ενός δυαδικού
αριθμού με μια δύναμη του 2, ισοδυναμεί με ολίσθηση του αριθμού προς τα αριστερά με το πλήθος των θέσεων
μετατόπισης να ισούται με τον εκθέτη. Π.χ., εάν πολλαπλασιάσουμε έναν δυαδικό αριθμό με το 21 = 2, η πράξη είναι
ισοδύναμη με μετατόπιση του αριθμού προς τα αριστερά κατά μία θέση, εάν πολλαπλασιάσουμε έναν δυαδικό
αριθμό με το 22 = 4, η πράξη είναι ισοδύναμη με μετατόπιση του αριθμού προς τα αριστερά κατά δύο θέσεις κ.ο.κ.
Επομένως, ο αριθμός Β = 4 Α + Α υπολογίζεται με πρόσθεση του αριθμού Α μετατοπισμένου προς τα αριστερά κατά
δύο θέσεις με τον αριθμό Α:
2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0
a 2 a 1 a 0 0 0 = 4 Α
+ 0 0 a 2 a 1 a 0 = Α
b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 = B
= a 1 = a 0
Παρατηρούμε ότι για τον υπολογισμό των ψηφίων του αριθμού Β στις δύο λιγότερο σημαντικές θέσεις (b0, b1) δεν
απαιτείται πρόσθεση. Επομένως θα χρησιμοποιήσουμε έναν παράλληλο αθροιστή των 3 δυαδικών ψηφίων
φτιαγμένων από FAs, ώστε να αθροίσουμε τα ψηφία των δύο προσθετέων στις θέσεις 2 2, 2 3 και 2 4 και να
υπολογίσουμε τα ψηφία του αριθμού Β των θέσεων αυτών (b 2, b 3, b 4). Το κρατούμενο εξόδου του παράλληλου
αθροιστή αποτελεί το ψηφίο του αριθμού Β στην θέση 25 (b5). Το ζητούμενο κύκλωμα δίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Η συνάρτηση εξόδου ενός πολυπλέκτη 4 σε 1 είναι
S 1'S0'Ι0 + S1'S0Ι1 + S1S0'Ι2 + S1S0Ι3 (1)
Όπως βλέπουμε από το παραπάνω διάγραμμα
S 1 = C, S0 = A, I0 = D2, I1 = D0, I2 = B E και Ι3 = Β Ε (2)
Ως έξοδοι αποκωδικοποιητή με εισόδους S1 = Ε και S0 = Β, επίσης έχουμε ότι:
D 2 = E B' και D0 = E' B' (3)
Αντικαθιστώντας τις (2) και (3) στην (1) παίρνουμε ότι:
F (A, B, C, E) = C'A' E B' + C'A E' B' + CA' Β Ε + CA (Β Ε) =
= Α'Β'C'E + AB'C'E' + A'BCE + AC (B' E' + E B) =
= m 1 + m8 + m7 + ACB'E' + ACEB =
= m 1 + m8 + m7 + AB'CE' + ABCE =
= m 1 + m7 + m8 + m10 + m15
η οποία υλοποιείται με έναν αποκωδικοποιητή 4 σε 16 και μία πύλη OR ως εξής: