Σημασιολογία στην Επιστήμη των Υπολογιστών — Χωρίς εκτυπωμένη ημερομηνία (2025)¶
Μεταγραφή από τη φωτογραφία IMG_20250828_120311_314.jpg· το IMG_20250828_120311_986.jpg είναι δεύτερο αντίγραφο της ίδιας σελίδας και δεν μεταγράφεται ξεχωριστά.
IMG_20250828_120311_314.jpg¶
[Λείπει από τη φωτογραφία: επικεφαλίδα «Θέμα 1» και η αρχή της σελίδας]
[Σχήμα: μοντέλο Kripke με καταστάσεις s1–s7. Διάταξη: s1 στο πάνω μέρος· s2, s3, s4 στη δεύτερη σειρά· s5, s6, s7 στην τρίτη σειρά. Ετικέτες ανά κατάσταση: s1: A:w - B:w - C:w· s2: A:b - B:w - C:w· s3: A:w - B:b - C:w· s4: A:w - B:w - C:b· s5: A:b - B:b - C:w· s6: A:w - B:b - C:b· s7: A:b - B:w - C:b. Ακμές με ετικέτες A, B, C μεταξύ των καταστάσεων· η ακριβής διαδρομή των βελών δεν είναι πλήρως ευανάγνωστη.]
α Αποδείξτε, με τον ορισμό της τιμής αλήθειας για τροπικούς τύπους, ότι: ο τύπος \((K_B\ \mathrm{BisW})\) αληθεύει μόνο στην κατάσταση s7, και ο τύπος \((K_C\ \mathrm{CisWh})\) αληθεύει μόνο στην κατάσταση s5 [Λείπει από τη φωτογραφία: το τέλος της πρότασης και η βαθμολογία στο δεξί άκρο]. 1 μονάδα
β Αποδείξτε (με τον ορισμό της τιμής αλήθειας για τροπικούς τύπους) ότι ο τύπος \((K_A\ \neg\mathrm{AisWh})\) δεν αληθεύει σε κάποια κατάσταση. 1 μονάδα
Θέμα 2
α Αποδείξτε ότι αληθεύει η συνεπαγωγή \((\varphi \lor \psi) \land ((\neg\varphi) \lor (\neg\psi)) \models (\varphi \land (\neg\psi)) \lor ((\neg\varphi) \land \psi)\). 0,5 μονάδα
β Επιβεβαιώστε με ένα αντιπαράδειγμα ότι δεν αληθεύει η συνεπαγωγή \(K_Y(p \to q) \models (K_Y p) \lor (K_Y q)\), όπου \(p, q\) είναι ατομικές προτάσεις. 1 μονάδα
Συμπληρώστε τα στοιχεία σας και επιστρέψτε τα θέματα
Ον/επώνυμο: ______________________ ΑΜ: ______________ Έτος: __________
Επιπλέον πηγές χωρίς μεταγραφή εδώ (λύσεις →
2025-a.solutions.md, ή διπλότυπες φωτογραφίες της ίδιας σελίδας):IMG_20250828_120311_986.jpg
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (deepseek-flash), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2025-a¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Θεωρώ ότι \(A_w,B_w,C_w\) σημαίνουν αντίστοιχα ότι το χρώμα του \(A,B,C\) είναι \(w\). Από τις ετικέτες των επτά καταστάσεων και το ότι λείπει μόνο η κατάσταση \(A=b,B=b,C=b\), χρησιμοποιώ το κλασικό μοντέλο όπου ο παράγοντας \(X\) δεν διακρίνει το δικό του χρώμα: \(sR_Xt\) ανν τα \(s,t\) συμφωνούν στις τιμές των άλλων δύο μεταβλητών. Η σημασιολογία είναι [ \mathcal M,s\models K_X\varphi \iff \forall t\in W\;(sR_Xt\Rightarrow \mathcal M,t\models\varphi). ]
Οι σχετικές κλάσεις για τον \(B\) είναι [ {s_1,s_3},\quad {s_2,s_5},\quad {s_4,s_6},\quad {s_7}, ] και για τον \(C\) είναι [ {s_1,s_4},\quad {s_2,s_7},\quad {s_3,s_6},\quad {s_5}. ]
Για το \(K_B(B_w)\): Στη \(s_7\) έχουμε \(R_B(s_7)=\{s_7\}\) και \(B=w\), άρα σε κάθε \(B\)-προσβάσιμη κατάσταση από τη \(s_7\) ισχύει \(B_w\). Άρα \(s_7\models K_B(B_w)\). Σε κάθε άλλη κατάσταση υπάρχει \(B\)-προσβάσιμη κατάσταση όπου \(B=b\), άρα το \(B_w\) είναι ψευδές εκεί: π.χ. \(s_1R_Bs_3\), \(s_2R_Bs_5\), \(s_4R_Bs_6\), και στις \(s_3,s_5,s_6\) το ίδιο το \(B_w\) είναι ψευδές. Επομένως \(K_B(B_w)\) αληθεύει μόνο στη \(s_7\).
Για το \(K_C(C_w)\): Στη \(s_5\) έχουμε \(R_C(s_5)=\{s_5\}\) και \(C=w\), άρα \(s_5\models K_C(C_w)\). Στις υπόλοιπες καταστάσεις υπάρχει \(C\)-προσβάσιμη κατάσταση με \(C=b\): \(s_1R_Cs_4\), \(s_2R_Cs_7\), \(s_3R_Cs_6\), ενώ στις \(s_4,s_6,s_7\) το ίδιο το \(C_w\) είναι ψευδές. Άρα \(K_C(C_w)\) αληθεύει μόνο στη \(s_5\).
Για το \(K_A\neg A_w\): Πάρτε την \(s_2\), όπου \(A=b\). Τότε [ R_A(s_2)={s_1,s_2}. ] Στην \(s_1\) ισχύει \(A=w\), άρα το \(\neg A_w\) είναι ψευδές στη \(s_1\). Επειδή \(s_2R_As_1\), δεν αληθεύει το \(\neg A_w\) σε όλες τις \(A\)-προσβάσιμες καταστάσεις. Άρα [ \mathcal M,s_2\not\models K_A\neg A_w. ] Δηλαδή ο τύπος δεν αληθεύει στη \(s_2\): ο \(A\) είναι πράγματι \(b\), αλλά δεν το γνωρίζει, αφού η \(s_1\) παραμένει επιστημικά δυνατή.
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
α. Έστω αποτίμηση \(v\) που ικανοποιεί το [ (\varphi \lor \psi)\land(\neg\varphi\lor\neg\psi). ] Τότε \(v(\varphi\lor\psi)=1\) και \(v(\neg\varphi\lor\neg\psi)=1\). Αν \(v(\varphi)=1\), από το \(\neg\varphi\lor\neg\psi\) προκύπτει \(v(\neg\psi)=1\), δηλαδή \(v(\psi)=0\). Άρα \(v(\varphi\land\neg\psi)=1\). Αν \(v(\varphi)=0\), τότε από το \(\varphi\lor\psi\) προκύπτει \(v(\psi)=1\), και επειδή \(v(\neg\varphi)=1\), έχουμε \(v(\neg\varphi\land\psi)=1\). Σε κάθε περίπτωση, [ v((\varphi\land\neg\psi)\lor(\neg\varphi\land\psi))=1. ] Επομένως η συνεπαγωγή ισχύει. Ισοδύναμα, η υπόθεση εκφράζει το αποκλειστικό ή: [ (\varphi\lor\psi)\land(\neg\varphi\lor\neg\psi) \equiv (\varphi\land\neg\psi)\lor(\neg\varphi\land\psi). ]
β. Ορίζω μοντέλο Kripke με κόσμους \(W=\{u,v\}\), σχέση \(R_Y=W\times W\) και αποτίμηση \(V(p)=V(q)=\{v\}\). Δηλαδή στη \(u\) ισχύουν \(p=0,q=0\), ενώ στη \(v\) ισχύουν \(p=1,q=1\). Θεωρώ ως πραγματικό κόσμο τη \(u\).
Στη \(u\), ελέγχουμε το \(K_Y(p\to q)\). Στη \(u\): \(p\to q\) είναι \(0\to0=1\). Στη \(v\): \(p\to q\) είναι \(1\to1=1\). Επειδή όλοι οι \(Y\)-προσβάσιμοι κόσμοι από τη \(u\) ικανοποιούν \(p\to q\), ισχύει [ u\models K_Y(p\to q). ] Όμως \(u\not\models K_Yp\), αφού \(uR_Yu\) και στη \(u\) ισχύει \(p=0\). Επίσης \(u\not\models K_Yq\), αφού στη \(u\) ισχύει \(q=0\). Άρα [ u\not\models (K_Yp)\lor(K_Yq). ] Έτσι, στο ίδιο μοντέλο και στην ίδια κατάσταση, η υπόθεση \(K_Y(p\to q)\) αληθεύει ενώ το συμπέρασμα \((K_Yp)\lor(K_Yq)\) είναι ψευδές. Επομένως η ζητούμενη συνεπαγωγή δεν είναι έγκυρη.