Επιστημονικός Υπολογισμός — Αύγουστος 2024¶

Μεταγραφή από τα αρχεία: Screenshot_2024-08-29_152505.png, Screenshot_2024-08-29_at_11.29.09_AM.png.

Screenshot_2024-08-29_152505.png¶

[Λείπει από τη φωτογραφία: αρχή της επικεφαλίδας της άσκησης]

η 4 (20[δυσανάγνωστο])

[Λείπει από τη φωτογραφία: αρχή της πρότασης]

ται το διάνυσμα και τα μητρώα: $\ell = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$, $U = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $V = $ [δυσανάγνωστο· ορατές τιμές 2, −5, −6]

[Λείπει από τη φωτογραφία: δεξιό τμήμα του πίνακα $V$]

[Λείπει από τη φωτογραφία: αρχή της γραμμής· στην αρχή φαίνεται $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ χωρίς το όνομα του διανύσματος ή της μήτρας]

$\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$, Αυτά τα χρησιμοποιούμε για να ορίσουμε την αναπαράσταση Kruskal

\[T = [\ell; U, V, W] = \sum_{i} \lambda_i\, u_i \circ v_i \circ w_i\]

συνήθως, $\lambda_i, u_i, v_i, w_i$ είναι στοιχεία και στήλες των $\ell, U, V, W$.

υπολογίσετε το $T_{2,:,:}$ και να γράψετε το αποτέλεσμα.

\[T_{2,:,:} = \left(\quad\right)\]

[Σχήμα: κενό πλαίσιο απάντησης μετά τη σχέση $T_{2,:,:} =$]

Σημείωση: το στιγμιότυπο είναι κομμένο στο πάνω, αριστερό και δεξί άκρο· η μεταγραφή περιλαμβάνει μόνο το ορατό κείμενο.

Screenshot_2024-08-29_at_11.29.09_AM.png¶

Αν το παρακάτω γράφημα αντιστοιχεί σε ένα ΣΘΟ μητρώο (έχουν εξαιρεθεί οι αυτοβρόχοι που αντιστοιχούν στα διαγώνια στοιχεία) να γράψετε 1 σε όλες τις θέσεις που θα περιέχουν μη μηδενικά στον κάτω τριγωνικό παράγοντα Cholesky $L$ του $A$. Στο διάγραμμα έχει γίνει ήδη αρχικοποίηση με 1 στις θέσεις της διαγωνίου που γνωρίζουμε ότι θα είναι μη μηδενικές.

[Σχήμα: διάγραμμα μορφής αραιότητας (spy, MATLAB) με άξονες 0 έως 7 και ένδειξη nz = 1[δυσανάγνωστο] (το τελευταίο ψηφίο καλύπτεται από υδατογράφημα· μετρώνται 16 σημεία). Τα μη μηδενικά στοιχεία βρίσκονται στις θέσεις (γραμμή, στήλη): (1,1), (2,2), (5,2), (3,3), (4,3), (5,3), (3,4), (4,4), (6,4), (2,5), (3,5), (5,5), (6,5), (4,6), (5,6), (6,6).]

[Σχήμα: γράφος με κόμβους 1 έως 6 και ακμές 4–6, 4–3, 6–5, 3–5, 5–2. Ο κόμβος 1 είναι απομονωμένος.]

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, deepseek-flash), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2024-08¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα Screenshot_2024-08-29_152505.png (η 4)¶

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Στην εικόνα Screenshot_2024-08-29_152505.png το θέμα είναι κομμένο στις άκρες, αλλά ταυτίζεται πλήρως με το ίδιο θέμα εξέτασης που εμφανίζεται ολόκληρο στο αρχείο 2024___4_.jpg (Ερώτηση 4). Από το πλήρες φύλλο, τα δεδομένα είναι:

\[\ell = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad V = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \\ -5 & -6 \end{pmatrix}, \quad W = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\]

Η αναπαράσταση Kruskal του τανυστή $T$ είναι: $$T = [\![\ell; U, V, W]\!] = \sum_{i=1}^{2} \lambda_i u_i \circ v_i \circ w_i$$ όπου: - $\lambda_1 = -2$, $u_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}$, $w_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ - $\lambda_2 = 2$, $u_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}$, $w_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Υπολογισμός της τομής (slice) $T_{2,:,:}$: Το οριζόντιο slice $T_{2,:,:}$ αντιστοιχεί στη δεύτερη γραμμή ($j=2$) των διανυσμάτων $u_i$: $$T_{2,:,:} = \sum_{i=1}^{2} \lambda_i U_{2, i} \, (v_i \circ w_i)$$

Για $i=1$: Επειδή $w_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, το εξωτερικό γινόμενο $v_1 \circ w_1$ είναι ο μηδενικός πίνακας: $$\lambda_1 U_{2, 1} (v_1 \circ w_1) = (-2)(1) \mathbf{0} = \mathbf{0}$$
Για $i=2$: $$\lambda_2 U_{2, 2} = 2 \cdot 2 = 4$$ Το εξωτερικό γινόμενο $v_2 \circ w_2 = v_2 w_2^T$ είναι: $$v_2 \circ w_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 2 & 2 \\ -12 & -12 \end{pmatrix}$$

Πολλαπλασιάζοντας με το συντελεστή 4: $$T_{2,:,:} = 4 \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 2 & 2 \\ -12 & -12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 & 24 \\ 8 & 8 \\ -48 & -48 \end{pmatrix}$$

Αποτέλεσμα: $$T_{2,:,:} = \begin{pmatrix} 24 & 24 \\ 8 & 8 \\ -48 & -48 \end{pmatrix}$$

(Σημείωση: Στο πλήρες θέμα υπάρχει και ερώτημα 2 για το τροπικό γινόμενο $P = T \bar{\times}_2 B$ με $B = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, το οποίο δίνει $P = \begin{pmatrix} -12 & -12 \\ 24 & 24 \end{pmatrix}$.)

Θέμα Screenshot_2024-08-29_at_11.29.09_AM.png¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Με φυσική σειρά απαλοιφής $1,2,\dots,6$, η απαλοιφή του κόμβου $3$ συνδέει τους γείτονες $4$ και $5$, άρα προκύπτει fill-in στη θέση $(5,4)$ του $L$. Οι μη μηδενικές θέσεις του κάτω τριγωνικού $L$ είναι: [ (1,1),(2,2),(3,3),(4,3),(4,4),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,4),(6,5),(6,6). ] Δηλαδή το μοτίβο του $L$ είναι [ \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0&0\ 0&1&0&0&0&0\ 0&0&1&0&0&0\ 0&0&1&1&0&0\ 0&1&1&1&1&0\ 0&0&0&1&1&1 \end{pmatrix}. ]

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή