Επιστημονικός Υπολογισμός — Σεπτέμβριος 2021¶

Μεταγραφή από τα αρχεία: Screenshot_302.png, 18.png, 1232313.png, Screenshot_20210915-213943__01.jpg, e76c2324319b87eb.jpg, 21.jpg, Screenshot_304.png, 20.png.

Screenshot_302.png¶

Ερώτηση 1 / 6 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 5 βαθμοί)

Δίνεται η διαφορική εξίσωση $\frac{du}{dt} = Au(t), u(0) = g$, για γνωστό πυκνό μητρώο $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$, $u, g \in \mathbb{R}^n$. Αν το μητρώο $A$ είναι αρκετά μεγάλο και εφαρμοστεί εμπρός Euler για την αριθμητική επίλυση της διαφορικής με σταθερό βήμα $h$ από το $0$ ως το $T$, ποιό από τα παρακάτω ισχύει;

Υποθέτουμε ότι έχουμε πρόσβαση στη MATLAB, στα BLAS και στην LAPACK.

[ ] Αν χρησιμοποιήσουμε LAPACK και BLAS, ο περισσότερος χρόνος αναλώνεται σε κλήσεις σε κλήσεις στη DGEMV.
[ ] Αν χρησιμοποιήσουμε LAPACK και BLAS, ο περισσότερος χρόνος αναλώνεται σε κλήσεις σε κλήσεις στη DGEMM.
[ ] Αν χρησιμοποιήσουμε MATLAB, ο περισσότερος χρόνος αναλώνεται σε κλήσεις της ανάποδης καθέτου.
[ ] Αν χρησιμοποιήσουμε MATLAB, ο περισσότερος χρόνος αναλώνεται σε κλήσεις στη συνάρτηση u.

Σημείωση: η λέξη «u» στην τελευταία επιλογή είναι επισημασμένη στην εικόνα.

18.png¶

27)

Ερώτηση 1 / 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 5 βαθμοί)

Δίνεται ο τανυστής $T \in \mathbb{R}^{2 \times 4 \times 2}$:

\[T(:,:,1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]

\[T(:,:,2) = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\]

Έστω επίσης ότι το $A$ χαρακτηρίζει το ξεδίπλωμα (μητρωοποίηση) του $T$ ως προς το 2-mode. Ποίο είναι το $A$;

[ ] $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$
[ ] $\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
[ ] $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

Σημείωση: στο κάτω μέρος της φωτογραφίας φαίνεται η αρχή πράσινου κειμένου («Το 1ο…») που ανήκει σε απάντηση και δεν μεταγράφεται. Οι επιλογές εμφανίζονται στην πηγή με σφάλμα απόδοσης μαθηματικών («\left(», «\right)»)· μεταγράφονται ως μητρώα.

1232313.png¶

[Λείπει από τη φωτογραφία: η επικεφαλίδα της ερώτησης (αριθμός και βαθμοί), κομμένη στο πάνω άκρο]

Δίνεται ο τανυστής $T \in \mathbb{R}^{2 \times 2 \times 3}$:

\[T(:,:,1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$T(:,:,2) = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$T(:,:,3) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}\]

Ποια είναι η ίνα $T(:, 1, 3)$;

[ ] $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
[ ] $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
[ ] $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει απαντήσεις φοιτητή (επιλεγμένη η δεύτερη επιλογή), που δεν μεταγράφονται. Οι επιλογές εμφανίζονται στην πηγή με σφάλμα απόδοσης μαθηματικών («\left(», «\right)»)· μεταγράφονται ως μητρώα.

Screenshot_20210915-213943__01.jpg¶

2) Έστω ότι σας δίνονται δύο διαφορετικές υλοποιήσεις, C1 και C2, ενός προγράμματος. Και οι δύο έχουν το ίδιο $\Omega=3.00e+08$.

Ερώτηση 3 / 3 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 6 βαθμοί)

Έστω ότι σας δίνονται δύο διαφορετικές υλοποιήσεις, C1 και C2, ενός προγράμματος. Και οι δύο έχουν το ίδιο $\Omega = 3.00e + 08$. Από τις μετρήσεις που κάνετε στο (κάπως παλαιό) laptop σας συμπεραίνετε ότι για το C1, ο χρόνος εκτέλεσης είναι 2 sec με απόδοση $1.500e+02$ MFlops/sec ενώ για τη C2 14 sec με απόδοση $2.174e+01$ Mflops/sec. Να επιλέξετε ποια από τις παρακάτω τιμές των flops/sec είναι η καλύτερη να χρησιμοποιηθεί ως μέση τιμή επίδοσης για τις δύο μεθόδους στο σύστημά σας:

[ ] 3.80e+07
[ ] 3.00e+02
[ ] 8.59e+07
[ ] 3.80e+04

Απάντηση:

e76c2324319b87eb.jpg¶

5) Έστω συμμετρικό θετικά ορισμένο μητρώο $A$

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Έστω συμμετρικό θετικά ορισμένο μητρώο $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$, με $n \geq 10$. Έστω επίσης ότι έχουμε στη διάθεση μας τη σύνθετη αναδρομική συνάρτηση Cholesky, με το όνομα chol_block(A,r). Το δεύτερο όρισμα εισόδου r, καθορίζει το μέγεθος της διάσπασης και γνωρίζουμε ότι $r < n$. Θεωρούμε επίσης ότι εκτελούνται οι ακόλουθες εντολές Matlab:

[G]=chol_block(A,r); k = ceil(n/r);
if nnz(G) == (n^2+n)/2
  G1 = G(1:r,1:r); G2 = G(r+1:n,r+1:n);
  f = nnz(G1)+nnz(G2);
end

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

[ ] Η (απλή) συνάρτηση Cholesky αναμένεται να εκτελεστεί k+1 φορές. Επιπλέον, Αν η μεταβλητή f λάβει τιμή, τότε αυτή αναμένεται να είναι $\frac{r^2+r}{2}$.
[ ] Η (απλή) συνάρτηση Cholesky αναμένεται να εκτελεστεί k φορές. Επιπλέον, Αν η μεταβλητή f λάβει τιμή, τότε αυτή αναμένεται να είναι $\frac{r^2+r}{2}$.
[ ] Η (απλή) συνάρτηση Cholesky αναμένεται να εκτελεστεί k φορές. Επιπλέον, Αν η μεταβλητή f λάβει τιμή, τότε αυτή αναμένεται να είναι $\frac{(n-r)^2+(n-r)}{2}+\frac{r^2+r}{2}$.
[ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

21.jpg¶

Χρειάζεται τεκμηρίωση

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 15 βαθμοί)

Δίνεται η έκφραση:

\[g = Z(A + hh^T)^6 y.\]

όπου $Z$ πυκνό, $A$ κάτω τριγωνικό, $n \times n$, τα $h, y$ είναι διανύσματα στήλες $n$ στοιχείων. Να επιλέξετε από τα παρακάτω την καλύτερη απάντηση αν $n = 20$ και χρησιμοποιηθεί ο βέλτιστος τρόπος υπολογισμού της έκφρασης. Υποθέτουμε ότι η φόρτωση του τριγωνικού μητρώου χρειάζεται $n(n+1)/2$ μεταφορές.

[ ] Το $\Omega \approx 98474$ και $\mu_{\min} \approx 7.3$
[ ] Το $\Omega \approx 3654$ και $\mu_{\min} \approx 5.5$
[ ] Το $\Omega \approx 962474$ και $\mu_{\min} \approx 80$
[ ] Το $\Omega \approx 6528$ και $\mu_{\min} \approx 0.18$

Σημείωση: το στιγμιότυπο δεν δείχνει όνομα μαθήματος ή ημερομηνία εξέτασης· τα κουμπιά διεπαφής δεν μεταγράφονται.

Screenshot_304.png¶

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 15 βαθμοί)

Δίνεται η έκφραση:

\[g = F(H + ss^T)^5 h.\]

όπου $F$ πυκνό, $H$ κάτω τριγωνικό, $n \times n$, τα $s$, $h$ είναι διανύσματα στήλες $n$ στοιχείων. Να επιλέξετε από τα παρακάτω την καλύτερη απάντηση αν $n = 15$ και χρησιμοποιηθεί ο βέλτιστος τρόπος υπολογισμού της έκφρασης. Υποθέτουμε ότι η φόρτωση του τριγωνικού μητρώου χρειάζεται $n(n+1)/2$ μεταφορές.

[ ] Το $\Omega \approx 34945$ και $\mu_{\min} \approx 6$
[ ] Το $\Omega \approx 1855$ και $\mu_{\min} \approx 4.8$
[ ] Το $\Omega \approx 3275$ και $\mu_{\min} \approx 0.21$
[ ] Το $\Omega \approx 2100$ και $\mu_{\min} \approx 5.2$

20.png¶

[Λείπει από τη φωτογραφία: η αρχή της εκφώνησης της ερώτησης· η ορατή συνέχεια είναι:]

και φανταστικά μέρη των στοιχείων του $C = AB$;

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 10 βαθμοί)

Δίνονται

\[A = \begin{pmatrix} -7 & 6 \\ 1 - 1i & 6 - 1i \end{pmatrix}\]

και

\[B = \begin{pmatrix} -10 - 2i & 7 - 2i \\ -10 + 1i & -6 + 1i \end{pmatrix}\]

Ποιό από τα παρακάτω επιστρέφει τους πραγματικούς αριθμούς που είναι τα πραγματικά και φανταστικά μέρη των στοιχείων του $C = AB$;

[ ] Το $\hat{C} = \hat{A}\hat{B}$ όπου, $\hat{A} = \begin{pmatrix} -7 & 6 & 0 & 0 \\ 1 & -6 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -7 & 6 \\ -1 & -1 & 1 & -6 \end{pmatrix}$, $\hat{B} = \begin{pmatrix} -10 & 7 \\ -10 & -6 \\ -2 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
[ ] Το $\hat{C} = \hat{A}\hat{B}$ όπου, $\hat{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -7 & 6 \\ -1 & -1 & 1 & -6 \\ -7 & 6 & -7 & 6 \\ 1 & 6 & 1 & 6 \end{pmatrix}$, $\hat{B} = \begin{pmatrix} -10 & 7 & -2 & -2 \\ -10 & -6 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
[ ] Το $\hat{C} = \hat{A}\hat{B}$ όπου, $\hat{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ -7 & 6 & -7 & 6 \\ 1 & 6 & 1 & 6 \end{pmatrix}$, $\hat{B} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 1 & 1 \\ -10 & 7 \\ -10 & -6 \end{pmatrix}$
[ ] Το $\hat{C} = \hat{A}\hat{B}$ όπου, $\hat{A} = \begin{pmatrix} 7 & 6 & 0 & 0 \\ 1 & 6 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -7 & 6 \\ -1 & -1 & 1 & -6 \end{pmatrix}$, $\hat{B} = \begin{pmatrix} -10 & 7 \\ -10 & -6 \\ -2 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

[δυσανάγνωστο: τα πρόσημα στη 2η γραμμή του $A$ και σε ορισμένα στοιχεία των $\hat{A}$, $\hat{B}$ των επιλογών 2 και 3· το πρόσημο του πρώτου στοιχείου της $\hat{A}$ της 4ης επιλογής δεν είναι βέβαιο λόγω χαμηλής ανάλυσης]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει και απάντηση (λύση) που δεν μεταγράφεται εδώ.

Λύσεις (🟡 community)

Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: φωτογραφία λύσης της ερώτησης πολλαπλής επιλογής (20.png) από τα αρχεία της συνεδρίας Σεπτεμβρίου 2021· προέλευση δεν επιβεβαιώνεται

Προσοχή

Η απάντηση «Το 4ο» είναι μία από τις επιλογές της ερώτησης και επαληθεύθηκε: η Â της 4ης επιλογής είναι η πραγματική μορφή μπλοκ [[Re A, −Im A],[Im A, Re A]] και η B̂ είναι η [Re B; Im B]. Στη μεταγραφή της συνεδρίας (2021-09.md) η 4η επιλογή γράφεται με «7 & 6» στην πρώτη γραμμή της Â· η φωτογραφία 20.png γράφει «−7 & 6», που είναι η σωστή τιμή για την επαλήθευση της απάντησης. Η μεταγραφή της λύσης σταματά στο «Ενώ για τον Β»· η λύση του B δεν υπάρχει στη φωτογραφία.

Λύσεις — Επιστημονικός Υπολογισμός — Σεπτέμβριος 2021¶

Η λύση προέρχεται από φωτογραφία με απάντηση φοιτητή και δεν είναι επίσημο κλειδί. Η μεταγραφή είναι αυτούσια από τη φωτογραφία· η ερώτηση που περιέχει είναι η πρώτη ερώτηση πολλαπλής επιλογής της συνεδρίας.

20.png¶

και φανταστικά μέρη των στοιχείων του C = AB;

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 10 βαθμοί)

Δίνονται

\[A = \begin{pmatrix} -7 & 6 \\ 1 - 1i & 6 - 1i \end{pmatrix}\]

και

\[B = \begin{pmatrix} -10 - 2i & 7 - 2i \\ -10 + 1i & -6 + 1i \end{pmatrix}\]

Ποιό από τα παρακάτω επιστρέφει τους πραγματικούς αριθμούς που είναι τα πραγματικά και φανταστικά μέρη των στοιχείων του $C = AB$;

[ ] το $\hat{C} = \hat{A}\hat{B}$ όπου, $$\hat{A} = \begin{pmatrix} -7 & 6 & 0 & 0 \\ 1 & -6 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -7 & 6 \\ -1 & -1 & 1 & -6 \end{pmatrix}, \hat{B} = \begin{pmatrix} -10 & 7 \\ -10 & -6 \\ -2 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
[ ] το $\hat{C} = \hat{A}\hat{B}$ όπου, $$\hat{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -7 & 6 \\ -1 & -1 & 1 & -6 \\ -7 & 6 & -7 & 6 \\ 1 & 6 & 1 & 6 \end{pmatrix}, \hat{B} = \begin{pmatrix} -10 & 7 & -2 & -2 \\ -10 & -6 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
[ ] το $\hat{C} = \hat{A}\hat{B}$ όπου, $$\hat{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \\ -7 & 6 & -7 & 6 \\ 1 & 6 & 1 & 6 \end{pmatrix}, \hat{B} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 1 & 1 \\ -10 & 7 \\ -10 & -6 \end{pmatrix}$$
[ ] το $\hat{C} = \hat{A}\hat{B}$ όπου, $$\hat{A} = \begin{pmatrix} -7 & 6 & 0 & 0 \\ 1 & 6 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -7 & 6 \\ -1 & -1 & 1 & -6 \end{pmatrix}, \hat{B} = \begin{pmatrix} -10 & 7 \\ -10 & -6 \\ -2 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Απάντηση Το 4ο . Σπαμε ουσιαστικα το πραγματικο και το φανταστικο μερος καθε πινακα και τοποθετούμε με τον εξής τρόπο Re=πραγματικο μέρος Im= φανταστικό Για τον πίνακα Α θέλουμε Γραμμη 1η Re(A(1,1)) Re(A(1,2)) -Im(A(1,1)) -Im(A(1,2)) Γραμμη 2η Re(A(2,1)) Re(A(2,2)) -Im(A(2,1)) -Im(A(2,2)) Γραμμη 3η Im(A(1,1)) Im(A(1,2)) Re(A(1,1)) Re(A(1,2)) Γραμμη 4η Im(A(2,1)) Im(A(2,2)) Re(A(2,1)) Re(A(2,2))

Ενώ για τον Β

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή