Μετάβαση στο περιεχόμενο

Επιστημονικός Υπολογισμός — Ιούνιος 2021

Μεταγραφή από τα αρχεία: EY__3.png, EY_Hadamard_Kroneker_1.jpg, EY_Cholesky_2.png.

EY__3.png

Ερώτηση 1 / 2 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 10 βαθμοί)

Δίνεται τανυστής βαθμού 4 και μεγέθους 3 σε κάθε διάσταση, δηλ. \(T \in \mathbb{R}^{3\times3\times3\times3}\). Γνωρίζετε επιπλέον ότι ο τανυστής είναι διαγώνιος με όλα τα διαγώνια στοιχεία ίσα με 2. Ποιά θα είναι η πρώτη ίνα;

  • [ ] \(\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\)
  • [ ] \(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\)
  • [ ] \(\begin{pmatrix}4\\4\\4\\4\end{pmatrix}\)
  • [ ] \(\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}\)

EY_Hadamard_Kroneker_1.jpg

Ερώτηση 1 / 2 (Ταίριασμα — 10 βαθμοί)

Δίνονται τετραγωνικά μητρώα \(A\), \(B\) και \(\otimes\) το σύμβολο πολλαπλασιασμού Kronecker. Τότε επιλέξτε:

Στήλη Α Κάντε την αντιστοιχία Στήλη Β
1. Αν \(k\) φυσικός αριθμός, τότε ισχύει πάντα ότι \((A \otimes B)^k = A^k \otimes B^k\). [ ▼ ] A. Σωστό
2. Αν tr η συνάρτηση ίχνους του μητρώου, τότε \(tr(A \otimes B) = tr(A)tr(B)\). [ ▼ ] B. Λάθος
3. \(A \otimes (B \otimes C) = (B \otimes C) \otimes A\) [ ▼ ]
4. Αν το \(A\) είναι \(2 \times 2\) τότε το γινόμενο \(A \otimes A \otimes A \otimes A \otimes A\) έχει διάσταση \(16 \times 16\). [ ▼ ]
5. Αν το \(A\) είναι \(3 \times 3\) και το \(e\) είναι \(3 \times 1\) τότε το \((A \otimes e)(e \otimes A)^T\) είναι \(9 \times 9\). [ ▼ ]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει απαντήσεις φοιτητή (επιλεγμένη τιμή στο αναπτυσσόμενο μενού της πρώτης γραμμής), που δεν μεταγράφονται. Η εικόνα είναι στιγμιότυπο οθόνης από πλατφόρμα ερωτήσεων.

EY_Cholesky_2.png

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 0 βαθμοί)

Έστω η συνάρτηση σε Matlab cholesky_block η οποία υλοποιεί τη σύνθετη αναδρομική Cholesky, με δεδομένα είσοδου συμμετρικό και θετικά ορισμένο μητρώο \(A\), καθώς επίσης και έναν φυσικό \(r>1\) που καθορίζει το μέγεθος των επιμέρους σύνθετων υπό μητρώων του \(A\). Αν εκτελέσουμε την εντολή G=cholesky_block(A,2) για \(A \in \mathbb{R}^{9\times 9}\), πόσες κλήσεις της συνάρτησης cholesky_block απαιτούνται μέχρι να προσδιοριστεί πλήρως το \(G\);

  • [ ] 1
  • [ ] 3
  • [ ] 4
  • [ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.

Σημείωση: παραλείπονται τα κουμπιά της διεπαφής (Προσωρινή αποθήκευση, Ακύρωση, Υποβολή).

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, deepseek-flash), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2021-06

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα EY__3.png — Ερώτηση 1/2

Αξιοπιστία: 2 από 3 ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν (η άλλη διαφωνούσε) · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Ο διαγώνιος τανυστής έχει \(T_{i_1i_2i_3i_4}=2\) όταν \(i_1=i_2=i_3=i_4\), αλλιώς \(0\). Η πρώτη ίνα ως mode-1 fiber με \(i_2=i_3=i_4=1\) είναι [ (T_{1111},T_{2111},T_{3111})^T=(2,0,0)^T. ] Άρα σωστή είναι η 2η επιλογή: \(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\).

Θέμα EY_Hadamard_Kroneker_1.jpg — Ερώτηση 1/2

Αξιοπιστία: 2 από 3 ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν (η άλλη διαφωνούσε) · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Οι αντιστοιχίσεις είναι:

  1. A — Σωστό: Από την ιδιότητα \((A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes(BD)\) προκύπτει επαγωγικά \((A\otimes B)^k=A^k\otimes B^k\).

  2. A — Σωστό: Τα διαγώνια στοιχεία του \(A\otimes B\) είναι \(a_{ii}b_{jj}\), άρα [ \operatorname{tr}(A\otimes B)=\sum_i\sum_j a_{ii}b_{jj} =\left(\sum_i a_{ii}\right)\left(\sum_j b_{jj}\right) =\operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B). ]

  3. B — Λάθος: Η προσεταιριστικότητα δίνει \(A\otimes(B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C\), όχι \((B\otimes C)\otimes A\)· το γινόμενο Kronecker δεν είναι γενικά αντιμεταθετικό.

  4. B — Λάθος: Πέντε παράγοντες \(2\times2\) δίνουν διάσταση [ (2^5)\times(2^5)=32\times32, ] όχι \(16\times16\).

  5. A — Σωστό: \(A\otimes e\) είναι \(9\times3\), ενώ \((e\otimes A)^T\) είναι \(3\times9\). Άρα το γινόμενο είναι \(9\times9\).

Συνοπτικά: 1-A, 2-A, 3-B, 4-B, 5-A.

Θέμα EY_Cholesky_2.png — Ερώτηση 1

Αξιοπιστία: 2 από 3 ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν (η άλλη διαφωνούσε) · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια

Με τον συνήθη αναδρομικό block Cholesky, για μέγεθος \(n>r\) η κλήση χωρίζεται σε δύο αναδρομικές κλήσεις για τα δύο διαγώνια τμήματα (μεγέθη περίπου \(n/2\)), ενώ για \(n\le r\) γίνεται άμεσος υπολογισμός. Έστω \(T(n)\) το πλήθος κλήσεων με \(T(1)=T(2)=1\). Τότε [ T(3)=1+T(1)+T(2)=3, ] [ T(4)=1+T(2)+T(2)=3, ] [ T(5)=1+T(2)+T(3)=1+1+3=5, ] και [ T(9)=1+T(4)+T(5)=1+3+5=9. ] Απαιτούνται συνολικά \(9\) κλήσεις, άρα σωστή είναι η 4η επιλογή: Κανένα από τα υπόλοιπα.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή