Μετάβαση στο περιεχόμενο

Επιστημονικός Υπολογισμός — Φεβρουάριος 2021 — Πρόοδος

Μεταγραφή από τα αρχεία: received_156595776134718.webp, received_353889679322554.webp, received_3898296003562657.webp, received_760690388153880.webp, sos.PNG, b391bfea058d91c6.png, 147774768_470260507453210_4655245571562876692_n.png, 149160144_3745687585510398_8557246332622565729_n.jpg.

received_156595776134718.webp

Ερώτηση 4 / 4 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 5 βαθμοί)

Οι μέθοδοι Krylov για την επίλυση γραμμικού συστήματος στοχεύουν:

  • [ ] στον υπολογισμό του διανυσματικού υποχώρου \(\{r, Ar, A^2, \ldots, A^k r\}\) για κάποιο διάνυσμα \(r\) και κάποιο φυσικό αριθμό \(k\).
  • [ ] στην προσέγγιση της λύσης μέσω γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων διανυσματικού χώρου \(\{r, Ar, A^2, \ldots, A^k r\}\) για κάποιο διάνυσμα \(r\) και κάποιο μικρό φυσικό αριθμό \(k\).
  • [ ] στην προσέγγιση της λύσης μέσω του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του \(A\)
  • [ ] στην προσέγγιση της λύσης μέσω της εφαρμογής των επαναλήψεων \(x^{(k+1)} = Tx^{(k)} + c\), \(k = 0, 1, \ldots\) για κάποιο επιλεγμένο μητρώο \(T\) και διανύσματα \(c\), \(x^{(0)}\).

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

received_353889679322554.webp

Ερώτηση 1 / 1 (Συμπλήρωση Κενών (Χαλαρή Ταυτοποίηση) — 10 βαθμοί)

Έστω ένας τανυστής \(T^{3\times 2\times 4}\). Συμπληρώστε τους σωστούς φυσικούς αριθμούς στα κενά.

Ο τανυστής περιέχει συνολικά [κενό] ίνες (fibers) και [κενό] φέτες (slices).

received_3898296003562657.webp

Ερώτηση 1 / 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Πολλαπλές Απαντήσεις) — 10 βαθμοί)

Δίνεται η έκφραση:

\[\eta = d^{T}(x v^{T})^{4} v.\]

Να επιλέξετε από τα παρακάτω τις καλύτερες 2 απαντήσεις στα εξής 2 ερωτήματα:

I) την καλύτερη προσέγγιση στο \(\Omega\) για τον υπολογισμό όπως δίνεται. II) την καλύτερη προσέγγιση στο \(\Phi_{\min}\) για τον υπολογισμό όπως δίνεται.

Τα διανύσματα συμβολίζονται με πεζά και είναι 150x1, τα μητρώα με κεφαλαία και είναι 150x150.

  • [ ] \(\Omega \approx 1.212303e+07\)
  • [ ] \(\Omega \approx 60615149\)
  • [ ] \(\Omega \approx 1212303\)
  • [ ] \(\Omega \approx 242460596\)
  • [ ] \(\Phi_{\min} \approx 452\)
  • [ ] \(\Phi_{\min} \approx 2260\)
  • [ ] \(\Phi_{\min} \approx 5424\)
  • [ ] \(\Phi_{\min} \approx 67800\)

received_760690388153880.webp

[Λείπει από τη φωτογραφία: αρχή της επικεφαλίδας της ερώτησης· ορατό τμήμα: «Απαντήσεις) — 10 βαθμοί)»]

Δίνεται η έκφραση:

\[\eta = d^T (x v^T)^4 v\]

Να επιλέξετε από τα παρακάτω τις καλύτερες 2 απαντήσεις στα εξής 2 ερωτήματα: I) την καλύτερη προσέγγιση στο \(\Omega\) για τον υπολογισμό όπως δίνεται. II) την καλύτερη προσέγγιση στο \(\Phi_{\min}\) για τον υπολογισμό όπως δίνεται. Τα διανύσματα συμβολίζονται με πεζά και είναι \(150 \times 1\), τα μητρώα με κεφαλαία και είναι \(150 \times 150\).

  • [ ] \(\Omega \approx 1.212303e+07\)
  • [ ] \(\Omega \approx 60615149\)
  • [ ] \(\Omega \approx 1212303\)
  • [ ] \(\Omega \approx 242460596\)
  • [ ] \(\Phi_{\min} \approx 452\)
  • [ ] \(\Phi_{\min} \approx 2260\)
  • [ ] \(\Phi_{\min} \approx 5424\)

[Λείπει από τη φωτογραφία: τελευταία επιλογή «Φmin» (η φωτογραφία κόβεται πριν από αυτήν)]

sos.PNG

Ερώτηση 4 / 4 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί)

Ο τανυστής \(T \in \mathbb{R}^{2\times 3\times 2}\) με στοιχεία \(T(:,:,1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}\) και \(T(:,:,2) = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) είναι τάξης 1.

  • [ ] Σωστό
  • [ ] Λάθος

b391bfea058d91c6.png

Ερώτηση 2 / 4 (Σωστό / Λάθος — 5 βαθμοί)

Ο τανυστής \(T \in \mathbb{R}^{2 \times 3 \times 2}\) με στοιχεία \(T(:,:,1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}\) και \(T(:,:,2) = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) είναι τάξης 1.

  • [ ] Σωστό
  • [ ] Λάθος

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

147774768_470260507453210_4655245571562876692_n.png

[Λείπει από τη φωτογραφία: αρχή της επικεφαλίδας της ερώτησης (αριθμός, τύπος, βαθμοί)]

Έστω το μη μηδενικό μητρώο

\[A \in \mathbb{R}^{n \times n}\]

τάξης \(n - 1\). Έστω ότι γνωρίζετε τη διάσπαση SVD του \(A = U\Sigma V^T\) και άρα ότι \(Au_j = \sigma_j v_j\) όπου \(\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \dots \sigma_n\). Με χρήση αυτής της πληροφορίας, να επιλέξετε διανύσματα \(g, h\) έτσι ώστε το \(B = A + gh^T\) να είναι αντιστρέψιμο.

  • [ ] \(g = u_1, h = v_1\)
  • [ ] \(g = u_n, h = v_n\)
  • [ ] \(g = u_1, h = v_n\)
  • [ ] \(g = u_n, h = v_1\)

149160144_3745687585510398_8557246332622565729_n.jpg

Ερώτηση 1 (Πολλαπλής Επιλογής (Μοναδική Απάντηση) — 20 βαθμοί)

Έστω συμμετρικό θετικά ορισμένο μητρώο \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\), με \(n \ge 10\). Έστω επίσης ότι έχουμε στη διάθεση μας τη σύνθετη αναδρομική συνάρτηση Cholesky, με το όνομα chol_block(A,r). Το δεύτερο όρισμα εισόδου r, καθορίζει το μέγεθος της διάσπασης και γνωρίζουμε ότι \(r < n\). Θεωρούμε επίσης ότι εκτελούνται οι ακόλουθες εντολές Matlab:

[G]=chol_block(A,r); k = floor(n/r);
if nnz(G) == (n^2+n)/2
    G1 = G(1:r,r+1:n); G2 = G(r+1:n,r+1:n);
    f = nnz(G1)+nnz(G2);
end

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

  • [ ] Η (απλή) συνάρτηση Cholesky αναμένεται να εκτελεστεί k+1 φορές. Επιπλέον, αν η μεταβλητή f λάβει τιμή, τότε αυτή αναμένεται να είναι \(\frac{(n-r)^2+(n-r)}{2}\).
  • [ ] Η (απλή) συνάρτηση Cholesky αναμένεται να εκτελεστεί k φορές. Επιπλέον, αν η μεταβλητή f λάβει τιμή, τότε αυτή αναμένεται να είναι \(\frac{r^2+r}{2}\).
  • [ ] Η (απλή) συνάρτηση Cholesky αναμένεται να εκτελεστεί 1 φορά. Επιπλέον, αν η μεταβλητή f λάβει τιμή, τότε αυτή αναμένεται να είναι \(\frac{r^2+r}{2}\).
  • [ ] Κανένα από τα υπόλοιπα.
Λύσεις (🟡 community)

Κατάσταση: 🟡 community Πηγή: χειρόγραφες λύσεις φοιτητή (φωτογραφίες που ανέβηκαν στο Discord, Φεβρουάριος 2021)

Προσοχή

Οι τρεις φωτογραφίες είναι χειρόγραφες λύσεις φοιτητή, όχι επίσημο κλειδί· κανένα αποτέλεσμα δεν έχει επαληθευθεί από διδάσκοντα. Η IMG_20210210_003934244 έχει διαγραφές και διορθώσεις (π.χ. το στοιχείο A(1,1) «−7» διαγραμμένο και γραμμένο «10»)· η ανάγνωση των μητρώων A και B στο πρώτο θέμα (μιγαδικό γινόμενο AB) δεν είναι απολύτως βέβαιη, αν και οι υπολογισμοί AB συμφωνούν με τα δοθέντα μητρώα όπως αναγράφονται στην IMG_20210211_122034488. Η IMG_20210210_211133 περιέχει και εκφωνήματα των θεμάτων 3–4 (τανυστές, πλήθος πράξεων Φ/Ω), των οποίων η μεταγραφή στο αρχείο της εξέτασης λείπει· οι αριθμοί σε αυτά τα εκφωνήματα δεν έχουν συγκριθεί με φωτογραφία του εκφωνήματος.

Λύσεις — Επιστημονικός Υπολογισμός — Φεβρουάριος 2021 — Πρόοδος

Οι λύσεις προέρχονται από φωτογραφίες χειρόγραφων λύσεων φοιτητή και δεν είναι επίσημο κλειδί. Η μεταγραφή είναι αυτούσια από τα αρχεία· όπου η φωτογραφία περιέχει και εκφωνήματα, αυτά μεταφέρονται όπως είναι και δεν αντιστοιχούν απαραίτητα στη μεταγραφή της εξέτασης.

IMG_20210210_003934244.jpg

[στο πάνω άκρο, κομμένο:] = n(2n−1) 2 1 SII → (A… 8 → Gmres → Krylov

ΘΕΜΑ ΠΡΟΟΔΟΥ

\(A = \begin{pmatrix} -7 & 6 \\ 1-1i & -6-1i \end{pmatrix}\)

\(B = \begin{pmatrix} -10-2i & 7-2i \\ -10+1i & -6+1i \end{pmatrix}\)

\(AB = \begin{pmatrix} 10+20i & -85+20i \\ 49+12i & 42-9i \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} R(c) \\ I(c) \end{pmatrix} =\)

[ετικέτα: πραγματικό μέρος (προς το R(c)), φανταστικό μέρος (προς το I(c))]

[μητρώο, κυκλωμένο πάνω κόκκινο: «πραγματικά μέρη του AB»]

\(\begin{pmatrix} 10 & -85 \\ 49 & 42 \\ 20 & 20 \\ 12 & -9 \end{pmatrix}\)

[κάτω μέρος του μητρώου κυκλωμένο, ετικέτα: «φανταστικά μέρη»]

[κόκκινη σημείωση δυσανάγνωστη, σχετικά με τα φανταστικά μέρη του AB]

Κρατώ τα αρχικά μητρώα.

\(A = \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 1 & -6 \end{pmatrix}\) [το στοιχείο πάνω αριστερά: «−7» διαγραμμένο, με «10» κυκλωμένο από κάτω]

[κόκκινο πλαίσιο, δυσανάγνωστη σημείωση] \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} -7 & 6 \\ 1 & -6 \end{pmatrix}\)

↓ [δυσανάγνωστο] με αλγεβρικά πρόσημα

Πηγαίνω στο αρχικό B → \(B = \begin{pmatrix} -10 & 7 \\ -10 & -6 \\ -2 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)

[κόκκινο πλαίσιο, πάνω δύο γραμμές: «πραγματικό μέρος του B»] [κόκκινο πλαίσιο, κάτω δύο γραμμές: «φανταστικό μέρος του B»]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

IMG_20210210_211133.jpg

Θέμα [δυσανάγνωστο] 3) \(p = (R + tt^T)^s z\) ▸ διανύσματα: \(100\times 1\) ▸ μητρώα: \(100\times 100\).

a) - \(\underline{O} = 7999900\) - \(\underline{O} = 1599980\) - \(\underline{O} = 31999600\) - \(\underline{O} = 159998\)

b) - \(\varphi_{\min} = 1545000\) - \(\varphi_{\min} = 123600\) - \(\varphi_{\min} = 51500\) - \(\varphi_{\min} = 10300\)

Λύση: Για το \(\underline{O}\): - \(tt^T\): \(n^2 = 100^2 = 10.000\) - \(R + tt^T = n \cdot n = 10.000\). - \((R + tt^T)^s = (s-1)(2n^3 - n^2) = 4(2\cdot 100^3 - 100^2) = 7.960.000\) [σημείωση πάνω από την πράξη: \(1.990.000\)] - \((R + tt^T)^s z = 2n^2 - n = 2\cdot 100^2 - 100 = 19.900\)

\(\boxed{\underline{O} = 7999900}\)

Για το \(\varphi\): \(p = (R_{100\times 100} + t_{100\times 1} t^T_{100\times 1}) z_{100\times 1}\).

\(\varphi_{\min} = (100\times 100 + 100\times 1 + (100\times 1)) + 100\times 1\)

\(\varphi_{\min}: 10.000 + 300 = 10.300\)

Θέμα [δυσανάγνωστο] 4) \(p = (X + ss^T)^6 x\) ▸ διανύσματα: \(20\times 1\) ▸ μητρώα: \(20\times 20\)

Λύση: Για το \(\underline{O}\): - \(ss^T\): \(n^2 = 20\times 20 = 400\) - \(X + ss^T = n\cdot n = 400\) - \((X + ss^T)^6 = (6-1)(2n^3 - n^2) = 5(2\cdot 20^3 - 20^2) = 78000\) - \((X + ss^T)^6 x = 2n^2 - n = 2\cdot 20^2 - 20 = 780.\)

\(\boxed{\underline{O} = 79980}\)

Για το \(\varphi\): \((X_{20\times 20} + S_{20\times 1} S^T_{20\times 1})^6 X_{20\times 1}\)

\(\varphi_{\min} = 20\times 20 + 20\times 1 + 20\times 1 + 20\times 1 \Rightarrow \boxed{\varphi_{\min} = 460}\)

Σημείωση: ολόκληρη η σελίδα είναι χειρόγραφη λύση φοιτητή, και η διατύπωση των θεμάτων είναι επίσης χειρόγραφη. Το κείμενο μεταγράφεται όπως γράφτηκε. Οι αριθμητικές τιμές δεν ελέγχθηκαν.

IMG_20210211_122034488.jpg

ΘΕΜΑ ΠΡΟΔΟΥ

\(A = \begin{pmatrix} -7 & 6 \\ 1-1i & -6-1i \end{pmatrix}\)

\(B = \begin{pmatrix} -10-2i & 7-2i \\ -10+1i & -6+1i \end{pmatrix}\)

\(AB = \begin{pmatrix} 10+20i & -85+20i \\ 49+12i & 42-9i \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} R(c) \\ I(c) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -85 \\ 49 & 42 \\ 20 & 20 \\ 12 & -9 \end{pmatrix}\)

[Σημειώσεις στο περιθώριο, κόκκινες: «πραγματικό μέρος» δίπλα στο \(R(c)\)· «φανταστικό μέρος» κάτω από το \(I(c)\)· «πραγματικά μέρη του AB» με βέλος προς την πάνω ομάδα των δύο γραμμών· «φανταστικά» με βέλος προς την κάτω ομάδα.]

[Σημείωση (μπλε): «Καταγω τα αρχικά μητρώα» με βέλος προς τον πίνακα A.]

\(\begin{pmatrix} 10 & 6 & 0 & 0 \\ 1 & -6 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -7 & 6 \\ -1 & -1 & 1 & -6 \end{pmatrix}\)

[Στο πρώτο στοιχείο της πρώτης γραμμής, το «10» είναι κυκλωμένο και πάνω από αυτό είναι γραμμένο «-7».] [Κόκκινη σημείωση πάνω από το τετράγωνο με τα στοιχεία 0 0 / 1 1: δυσανάγνωστο.]

με αλλαγμένα πρόσημα

Πηγαίνω στο αρχικό B →

\(B = \begin{pmatrix} -10 & 7 \\ -10 & -6 \\ -2 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)

[Κόκκινες σημειώσεις: πάνω από τα δύο πρώτα στοιχεία γραμμής «πραγματικό μέρος του B»· κάτω από τα δύο τελευταία «φανταστικό μέρος του B».]

Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή