Ρομποτική — Ιούνιος 2025¶

Μεταγραφή από τη φωτογραφία 20250612_160525.jpg (τυπωμένο θέμα, μία σελίδα). Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.

20250612_160525.jpg¶

ΤΜΗΜΑ Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών ΤΜΗΜΑ Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ

Εξετάσεις: Ιούνιος 2025

ΘΕΜΑ 1° (2.5 μονάδες) Να προσδιορισθεί η θέση των τοπικών συστημάτων συντεταγμένων του κάθε συνδέσμου και να βρεθούν τα χαρακτηριστικά των συνδέσμων (πίνακας D-H) του βραχίονα. Στο σχήμα που θα φτιάξετε να φαίνεται ευδιάκριτα ο ορισμός τοπικών συστημάτων και των χαρακτηριστικών των συνδέσμων.

[Σχήμα: Ρομποτικός βραχίονας με συνδέσμους, αρθρώσεις και τελικό επενεργητή]

ΘΕΜΑ 2° (2.5 μονάδες) Το σύστημα συντεταγμένων του άκρου εργασίας $\{E\}$ ως προς το σύστημα της βάσης $\{B\}$ δίνεται από τον μετασχηματισμό: $$^B M_E = \begin{bmatrix} 0.866 & -0.50 & 0.0 & 5.0 \\ 0.50 & 0.866 & 0.0 & -2.0 \\ 0.0 & 0.0 & 1.0 & 3.0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Το σύστημα συντεταγμένων $\{K\}$ ενός κουτιού που βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι είναι στραμμένο κατά γωνία $60^\circ$ ως προς τον άξονα Z του συστήματος του τραπεζιού $\{T\}$ και μετατοπισμένο 1 και 4 μονάδες κατά μήκος των αξόνων X και Y αντίστοιχα. Το σύστημα του τραπεζιού $\{T\}$ είναι μετατοπισμένο ως προς το σύστημα της βάσης 2, 4 και -2 μονάδες κατά τους άξονες X, Y και Z αντίστοιχα. Κάνετε ένα αξονομετρικό ποιοτικό σχέδιο που να δείχνει την σχετική θέση των συστημάτων $\{B\}$, $\{E\}$, $\{T\}$ και $\{K\}$. Υπολογίστε τον μετασχηματισμό που προσδιορίζει τη θέση του κουτιού $\{K\}$ ως προς το σύστημα του άκρου εργασίας $\{E\}$.

ΘΕΜΑ 3° (2.5 μονάδες) Ολονομικό ρομποτικό όχημα βρίσκεται σταματημένο στο σημείο A(0,0) την χρονική στιγμή T=0. Στον χώρο δεν υπάρχουν εμπόδια και θέλετε να σχεδιάσετε την επιθυμητή κίνησή του έτσι ώστε να περάσει από τα σημεία B(10m,10m) κατά τον χρόνο t=1min και να γυρίσει στο σημείο A την χρονική στιγμή T=3min. Υπολογίστε τις εξισώσεις κίνησης στους δύο άξονες x,y έτσι ώστε να είναι ρεαλιστική η πορεία που θα σχεδιάσετε.

ΘΕΜΑ 4° (2.5 μονάδες) Αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα 36Km/h. Στο κέντρο του μπροστινού ανεμοθώρακα (παρμπρίζ, pare-brise) βρίσκεται τοποθετημένη μια pinhole κάμερα που περιέχει οπτικό αισθητήρα. Το οριζόντιο μέγεθος κάθε φωτοκυψέλης (pixel) είναι $1\mu\text{m}$. Ο ρυθμός λήψης του video είναι 25 φωτογραφίες κάθε δευτερόλεπτο. Το αυτόματο σύστημα επεξεργασίας του βίντεο που υπάρχει ενσωματωμένο στο αυτοκίνητο αναγνωρίζει ένα ακίνητο εμπόδιο το οποίο καταγράφεται στην οριζόντια κατεύθυνση στο pixel 30 δεξιά από το κεντρικό pixel του αισθητήρα. Μετά από 50 συνεχόμενες φωτογραφίες του βίντεο το ίδιο ακίνητο εμπόδιο καταγράφεται στην οριζόντια θέση του pixel 40 πάλι δεξιά από το κεντρικό pixel του αισθητήρα. Το αυτοκίνητο έχει πλάτος 2.5m. Ο μηχανισμός λήψης εικόνων βίντεο ακολουθεί το μοντέλο του σκοτεινού θαλάμου με εστιακή απόσταση f=1mm.

Όταν το αυτοκίνητο φτάσει στο εμπόδιο αυτό θα βρίσκεται στην δεξιά ή στην αριστερή πλευρά του;
Ποιά ήταν η απόσταση του εμποδίου από την κάμερα κατά τον πρώτο εντοπισμό του εμποδίου;
Πόση θα είναι η ελάχιστη απόσταση του εμποδίου από την κάμερα και σε ποιά χρονική στιγμή θα συμβεί αυτό;
Το αυτοκίνητο θα πέσει πάνω στο εμπόδιο;

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)

Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, deepseek-flash), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο

Προσοχή

Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.

AI λύσεις — 2025-06¶

Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.

Θέμα 1°¶

Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI

Στην αρχική φωτογραφία 20250612_160525.jpg απεικονίζεται καθαρά στην πάνω δεξιά γωνία το κινηματικό διάγραμμα του ρομποτικού βραχίονα (πανομοιότυπο με εκείνο του Ιουνίου 2023). Πρόκειται για έναν επίπεδο/χωρικό βραχίονα 6 βαθμών ελευθερίας με διαδοχή πρισματικών (P) και περιστροφικών (R) αρθρώσεων τύπου P-R-P-R-P-R:

Άρθρωση 1 (Πρισματική - P): Κατακόρυφο στέλεχος στη βάση (έδαφος) με πρισματικό ολισθητήρα κατακόρυφης μετατόπισης $d_1^*$.
Άρθρωση 2 (Περιστροφική - R): Κυκλική άρθρωση στην κορυφή του πρώτου στελέχους με άξονα περιστροφής κάθετο στο επίπεδο της σελίδας ($\odot$), μεταβλητή γωνία $\theta_2^*$.
Άρθρωση 3 (Πρισματική - P): Πρισματικός ολισθητήρας κατά μήκος του κεκλιμένου στελέχους, μετατόπιση $d_3^*$.
Ενδιάμεσος σύνδεσμος: Σταθερή άκαμπτη γωνιακή κάμψη (αγκώνας) που συνδέει το κεκλιμένο στέλεχος με την επόμενη περιστροφική άρθρωση.
Άρθρωση 4 (Περιστροφική - R): Κυκλική άρθρωση με άξονα κάθετο στο επίπεδο της σελίδας ($\odot$), μεταβλητή γωνία $\theta_4^*$.
Άρθρωση 5 (Πρισματική - P): Οριζόντιος πρισματικός ολισθητήρας με οριζόντια μετατόπιση $d_5^*$.
Άρθρωση 6 (Περιστροφική - R): Κυκλική άρθρωση καρπού με άξονα κάθετο στο επίπεδο της σελίδας ($\odot$), μεταβλητή γωνία $\theta_6^*$.
Τελικός επενεργητής: Στέλεχος μήκους $L_e$ που καταλήγει σε αρπάγη (gripper).

Επειδή δεν δίνονται αριθμητικές τιμές μηκών στο θέμα, ορίζουμε συμβολικά τα μήκη των σταθερών τμημάτων: - $L_0$: αρχικό ύψος βάσης μέχρι τον πρώτο πρισματικό σύνδεσμο. - $a_3$: σταθερή απόσταση/offset κατά μήκος της κοινής καθέτου στον γωνιακό σύνδεσμο μεταξύ αρθρώσεων 3 και 4. - $L_e$: μήκος από τον καρπό (άρθρωση 6) έως το σημείο δράσης της αρπάγης.

1. Κανόνες Τοποθέτησης Τοπικών Συστημάτων κατά Denavit-Hartenberg (D-H)¶

Ο άξονας $z_{i-1}$ τοποθετείται κατά μήκος του άξονα κίνησης της άρθρωσης $i$:
Για περιστροφική άρθρωση: ο άξονας περιστροφής.
Για πρισματική άρθρωση: ο άξονας μετατόπισης.
Ο άξονας $x_i$ τοποθετείται κατά μήκος της κοινής καθέτου των $z_{i-1}$ και $z_i$, με κατεύθυνση από τον $z_{i-1}$ προς τον $z_i$.
Ο άξονας $y_i$ συμπληρώνει το δεξιόστροφο καρτεσιανό σύστημα ($y_i = z_i \times x_i$).

2. Τοποθέτηση Τοπικών Συστημάτων Συντεταγμένων¶

Σύστημα $\{0\}$ (Βάση):
Αρχή $O_0$ στο σταθερό έδαφος.
$z_0$: κατακόρυφος προς τα πάνω (άξονας μετατόπισης άρθρωσης 1).
$x_0$: οριζόντιος προς τα δεξιά.
$y_0 = z_0 \times x_0$.
Σύστημα $\{1\}$:
Αρχή $O_1$ στο κέντρο της άρθρωσης 2.
$z_1$: κάθετος στο επίπεδο του σχεδίου (άξονας περιστροφής άρθρωσης 2, $\odot$).
$x_1$: κάθετος στους $z_0$ και $z_1$.
Σύστημα $\{2\}$:
Αρχή $O_2$ στην άρθρωση 2.
$z_2$: κατά μήκος του κεκλιμένου στελέχους (άξονας μετατόπισης άρθρωσης 3).
$x_2$: κάθετος στους $z_1$ και $z_2$.
Σύστημα $\{3\}$:
Αρχή $O_3$ στο κέντρο της άρθρωσης 4.
$z_3$: κάθετος στο επίπεδο του σχεδίου (άξονας περιστροφής άρθρωσης 4, $\odot$).
$x_3$: κάθετος στους $z_2$ και $z_3$.
Σύστημα $\{4\}$:
Αρχή $O_4$ στην άρθρωση 4.
$z_4$: οριζόντιος προς τα δεξιά (άξονας μετατόπισης άρθρωσης 5).
$x_4$: κάθετος στους $z_3$ και $z_4$ (κατακόρυφος).
Σύστημα $\{5\}$:
Αρχή $O_5$ στο κέντρο της άρθρωσης 6.
$z_5$: κάθετος στο επίπεδο του σχεδίου (άξονας περιστροφής άρθρωσης 6, $\odot$).
$x_5$: κατά μήκος του στελέχους του επενεργητή προς την αρπάγη.
Σύστημα $\{6\}$ (Τελικός Επενεργητής $\{E\}$):
Αρχή $O_6$ στο κέντρο των σιαγόνων της αρπάγης.
$z_6$: κατεύθυνση προσέγγισης της αρπάγης.
$x_6$: παράλληλο στο άνοιγμα των σιαγόνων.

3. Πίνακας Παραμέτρων D-H¶

Οι 4 παράμετροι Denavit-Hartenberg ορίζονται ως: - $\theta_i$: γωνία περιστροφής περί τον $z_{i-1}$ από τον $x_{i-1}$ στον $x_i$ (μεταβλητή $\theta_i^*$ για R). - $d_i$: μετατόπιση κατά μήκος του $z_{i-1}$ από την αρχή $O_{i-1}$ στην τομή με τον $x_i$ (μεταβλητή $d_i^*$ για P). - $a_i$: απόσταση κατά μήκος του $x_i$ μεταξύ των αξόνων $z_{i-1}$ και $z_i$. - $\alpha_i$: γωνία στροφής περί τον $x_i$ από τον $z_{i-1}$ στον $z_i$.

Σύνδεσμος $i$	$\theta_i$	$d_i$	$a_i$	$\alpha_i$	Τύπος Άρθρωσης
1	$0^\circ$	$d_1^*$	$0$	$+90^\circ$	P (πρισματική)
2	$\theta_2^*$	$0$	$0$	$-90^\circ$	R (περιστροφική)
3	$0^\circ$	$d_3^*$	$a_3$	$+90^\circ$	P (πρισματική)
4	$\theta_4^*$	$0$	$0$	$-90^\circ$	R (περιστροφική)
5	$0^\circ$	$d_5^*$	$0$	$+90^\circ$	P (πρισματική)
6	$\theta_6^*$	$0$	$L_e$	$0^\circ$	R (περιστροφική)

(Το $*$ υποδεικνύει τη μεταβλητή μεγέθους κάθε άρθρωσης).

Ο ομογενής μετασχηματισμός $A_i$ από το σύστημα $i-1$ στο σύστημα $i$ υπολογίζεται από τον τυπικό τύπο: $$ A_i = \begin{pmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i\cos\alpha_i & \sin\theta_i\sin\alpha_i & a_i\cos\theta_i \ \sin\theta_i & \cos\theta_i\cos\alpha_i & -\cos\theta_i\sin\alpha_i & a_i\sin\theta_i \ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & d_i \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ και η συνολική κινηματική εξίσωση θέσης/προσανατολισμού του τελικού επενεργητή ως προς τη βάση είναι $T_0^6 = A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6$.

Θέμα 2°¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Θεωρώ ότι η μετάθεση του $\{K\}$ ως προς $\{T\}$ δίνεται στους άξονες του $\{T\}$, δηλαδή [ {}^{T}M_K=\mathrm{Trans}(1,4,0)\,R_z(60^\circ), ] και ότι το $\{T\}$ έχει άξονες παράλληλους με το $\{B\}$: [ {}^{B}M_T=\mathrm{Trans}(2,4,-2). ] Τότε [ {}^{B}M_K={}^{B}M_T\,{}^{T}M_K ] έχει προσανατολισμό $R_z(60^\circ)$ και θέση [ p_K^B=(2,4,-2)+(1,4,0)=(3,8,-2). ] Η δεδομένη [ {}^{B}M_E= \begin{bmatrix} \sqrt3/2 & -1/2 & 0 & 5\ 1/2 & \sqrt3/2 & 0 & -2\ 0 & 0 & 1 & 3\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ] αντιστοιχεί σε στροφή $R_z(30^\circ)$ και θέση $p_E^B=(5,-2,3)$. Άρα [ {}^{E}M_K=({}^{B}M_E)^{-1}{}^{B}M_K. ] Η θέση του $\{K\}$ ως προς $\{E\}$ είναι [ p_K^E=R_z(30^\circ)^T\big((3,8,-2)-(5,-2,3)\big) =R_z(-30^\circ)(-2,10,-5), ] οπότε [ p_K^E=(5-\sqrt3,\;1+5\sqrt3,\;-5)\approx(3.268,\;9.660,\;-5). ] Ο προσανατολισμός είναι [ R_K^E=R_z(-30^\circ)R_z(60^\circ)=R_z(30^\circ). ] Άρα [ {}^{E}M_K= \begin{bmatrix} \sqrt3/2 & -1/2 & 0 & 5-\sqrt3\ 1/2 & \sqrt3/2 & 0 & 1+5\sqrt3\ 0 & 0 & 1 & -5\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 0.866 & -0.500 & 0 & 3.268\ 0.500 & 0.866 & 0 & 9.660\ 0 & 0 & 1 & -5\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. ]

Ποιοτικό σχέδιο: το $\{T\}$ είναι μετατοπισμένο κατά $(2,4,-2)$ από το $\{B\}$ με παράλληλους άξονες· το $\{K\}$ βρίσκεται στο $(3,8,-2)$ ως προς $\{B\}$ και είναι στραμμένο κατά $60^\circ$ περί τον $Z$· το $\{E\}$ βρίσκεται στο $(5,-2,3)$ και είναι στραμμένο κατά $30^\circ$ περί τον $Z$.

Θέμα 3°¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Επιλέγω ευθύγραμμη πορεία $A\to B\to A$, με στιγμιαία στάση στο $B$ για αναστροφή, και χρόνο $t$ σε min. Μια ρεαλιστική επιλογή με μηδενική ταχύτητα στα άκρα και στο $B$ είναι:

Για $0\le t\le 1$: [ x(t)=y(t)=10t^2(3-2t), ] αφού $x(0)=y(0)=0$, $x(1)=y(1)=10$ και [ \dot x(0)=\dot y(0)=\dot x(1)=\dot y(1)=0. ]

Για $1\le t\le 3$, θέτοντας $s=t-1\in[0,2]$: [ x(t)=y(t)=10+2.5s^3-7.5s^2 =10+2.5(t-1)^3-7.5(t-1)^2. ] Τότε $x(1)=y(1)=10$, $x(3)=y(3)=0$, και [ \dot x(1)=\dot y(1)=\dot x(3)=\dot y(3)=0. ] Άρα το όχημα περνά από $A(0,0)$ στο $t=0$, από $B(10,10)$ στο $t=1\ \mathrm{min}$, και επιστρέφει στο $A(0,0)$ στο $t=3\ \mathrm{min}$, με συνεχή και φραγμένη ταχύτητα.

Θέμα 4°¶

Αξιοπιστία: μία λύση AI, δεν έχει αντιπαραβληθεί με δεύτερη · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή

Θεωρώ $t=0$ τη στιγμή του πρώτου εντοπισμού, $50$ καρέ μετά τον πρώτο εντοπισμό άρα [ \Delta t=\frac{50}{25}=2\ \mathrm{s}. ] Η ταχύτητα είναι [ v=36\ \mathrm{km/h}=10\ \mathrm{m/s}. ] Σε σύστημα της κάμερας με $Z$ μπροστά και $X$ δεξιά, η οριζόντια θέση στο αισθητήριο δίνεται από τη σχέση της pinhole κάμερας: [ p=\frac{fX}{s_{\text{pix}}Z}, ] όπου $f=10^{-3}\ \mathrm{m}$ και $s_{\text{pix}}=10^{-6}\ \mathrm{m}$. Επειδή το εμπόδιο είναι ακίνητο και το αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα, το $X$ μένει σταθερό. Έχουμε [ \frac{p_2}{p_1}=\frac{40}{30}=\frac{Z_1}{Z_2}. ] Επίσης [ Z_1-Z_2=v\Delta t=10\cdot 2=20\ \mathrm{m}. ] Λύνοντας, [ \frac{4}{3}=\frac{Z_1}{Z_2},\qquad Z_1-Z_2=20 ] προκύπτει [ Z_1=80\ \mathrm{m},\qquad Z_2=60\ \mathrm{m}. ] Το πλάγιο 오ffset είναι [ X=\frac{p_1s_{\text{pix}}Z_1}{f} =\frac{30\cdot10^{-6}\cdot80}{10^{-3}} =2.4\ \mathrm{m}. ] Άρα το εμπόδιο βρίσκεται $2.4\ \mathrm{m}$ δεξιά της κεντρικής γραμμής του αυτοκινήτου.

Όταν το αυτοκίνητο φτάσει στο ύψος του εμποδίου, το εμπόδιο θα βρίσκεται στη δεξιά πλευρά του αυτοκινήτου, αφού $X=+2.4\ \mathrm{m}>0$.
Κατά τον πρώτο εντοπισμό, η επιμήκης απόσταση είναι $Z_1=80\ \mathrm{m}$. Η πραγματική ευθύγραμμη απόσταση από την κάμερα είναι [ d_1=\sqrt{Z_1^2+X^2} =\sqrt{80^2+2.4^2} \approx 80.04\ \mathrm{m}. ] Δηλαδή, αν ζητείται η απόσταση κατά τον άξονα κίνησης, είναι $80\ \mathrm{m}$, ενώ η απόσταση κάμερας–εμποδίου είναι περίπου $80.04\ \mathrm{m}$.
Η ελάχιστη απόσταση του εμποδίου από την κάμερα συμβαίνει όταν το αυτοκίνητο έχει προχωρήσει κατά $Z_1=80\ \mathrm{m}$, δηλαδή μετά από [ t_{\min}=\frac{80}{10}=8\ \mathrm{s} ] από τον πρώτο εντοπισμό. Τότε η ελάχιστη απόσταση είναι [ d_{\min}=|X|=2.4\ \mathrm{m}. ] Ισοδύναμα, συμβαίνει $6\ \mathrm{s}$ μετά τον δεύτερο εντοπισμό.
Το πλάτος του αυτοκινήτου είναι $2.5\ \mathrm{m}$, άρα το δεξί άκρο του απέχει $1.25\ \mathrm{m}$ από την κεντρική γραμμή. Το εμπόδιο απέχει $2.4\ \mathrm{m}$ από την κεντρική γραμμή, άρα υπάρχει περιθώριο [ 2.4-1.25=1.15\ \mathrm{m}. ] Με την παραδοχή ότι το εμπόδιο θεωρείται σημειακό, το αυτοκίνητο δεν θα πέσει πάνω στο εμπόδιο.

✔ Επιβεβαίωσε · ✖ Βρήκα λάθος

✖ Βρήκα λάθος στη μεταγραφή

Σύνδεσμος \(i\)	\(\theta_i\)	\(d_i\)	\(a_i\)	\(\alpha_i\)	Τύπος Άρθρωσης
1	\(0^\circ\)	\(d_1^*\)	\(0\)	\(+90^\circ\)	P (πρισματική)
2	\(\theta_2^*\)	\(0\)	\(0\)	\(-90^\circ\)	R (περιστροφική)
3	\(0^\circ\)	\(d_3^*\)	\(a_3\)	\(+90^\circ\)	P (πρισματική)
4	\(\theta_4^*\)	\(0\)	\(0\)	\(-90^\circ\)	R (περιστροφική)
5	\(0^\circ\)	\(d_5^*\)	\(0\)	\(+90^\circ\)	P (πρισματική)
6	\(\theta_6^*\)	\(0\)	\(L_e\)	\(0^\circ\)	R (περιστροφική)