Ρομποτική — Ιούνιος 2023¶
Μεταγραφή από τη φωτογραφία IMG_20230615_095422.jpg (τυπωμένο θέμα, μία σελίδα).
IMG_20230615_095422.jpg¶
[Λείπει από τη φωτογραφία: η πάνω γραμμή της κεφαλίδας (όνομα τμήματος) κόβεται από το άνω άκρο της φωτογραφίας]
ΤΜΗΜΑ Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ
Εξετάσεις Ιούνιος 2023
ΘΕΜΑ 1° Να προσδιορισθεί η θέση των τοπικών συστημάτων συντεταγμένων του κάθε συνδέσμου και να βρεθούν τα χαρακτηριστικά των συνδέσμων (πίνακας D-H) του βραχίονα. Στο σχήμα που θα φτιάξετε να φαίνεται ευδιάκριτα ο ορισμός τοπικών συστημάτων και των χαρακτηριστικών των συνδέσμων.
[Σχήμα: Ρομποτικός βραχίονας με συνδέσμους, αρθρώσεις και τελικό επενεργητή]
ΘΕΜΑ 2° Α. Για τον επίπεδο ρομποτικό βραχίονα του σχήματος να προσδιορισθεί ο Ιακωβιανός πίνακας και να υπολογισθεί στις θέσεις α) \(\theta_1=30^\circ\), \(\theta_2=60^\circ\), \(\theta_3=-30^\circ\) και β) \(\theta_1=60^\circ\), \(\theta_2=0^\circ\), \(\theta_3=0^\circ\). Εντοπίστε την ιδιαιτερότητα που έχει κάποια από τις δύο θέσεις και εξηγήστε τι συμβαίνει στον βραχίονα και γιατί. Β. Εξηγείστε σε ποιες περιπτώσεις και πως χρησιμοποιούμε τον Ιακωβιανό πίνακα.
[Σχήμα: Επίπεδος ρομποτικός βραχίονας με τρεις περιστροφικές αρθρώσεις και τελικό επενεργητή]
ΘΕΜΑ 3° Στον δισδιάστατο χώρο υπάρχουν τα σημεία a,b,c,d,e,z όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Θέλετε να σχεδιάσετε την διαδρομή που θα πραγματοποιήσει όχημα ξεκινώντας από το σημείο Α και τερματίζει στο σημείο z, διανύοντας την συντομότερη διαδρομή. Οι αριθμοί που βρίσκονται στο μέσω των ευθειών που συνδέουν σημεία δείχνουν την γεωμετρική απόσταση μετακίνησης του οχήματος ανάμεσα στα σημεία, π.χ. 1 είναι η απόσταση ανάμεσα στα σημεία b,c. Ο αριθμός που βρίσκεται σε κάθε σημείο δείχνει την εκτιμούμενη απόσταση του οχήματος από το σημείο τερματισμού z όταν αυτό βρίσκεται στο αντίστοιχο σημείο. Π.χ. στο σημείο c το νούμερο 8 υποδεικνύει ότι αν το όχημα φτάσει στο σημείο c, χρειάζεται περίπου 8 μονάδες απόστασης για να φτάσει στο σημείο z. Εφαρμόστε τον αλγόριθμο A* και, 1. Υπολογίστε την συνολική πραγματική ελάχιστη απόσταση μετακίνησης από το a στο z 2. Υπολογίστε τα σημεία διέλευσης. Αν η διαδρομή ανάμεσα στα σημεία b και d δεν είναι πλέον προσβάσιμη για το όχημα υπολογίστε ξανά το ερώτημα 1 και 2.
[Σχήμα: Γράφος αναζήτησης με κόμβους a (11), b (8), c (8), d (4), e (2), z και ακμές a-b: 5, a-c: 4, b-c: 1, b-d: 5, c-d: 8, c-e: 10, d-e: 2, d-z: 6, e-z: 5]
ΘΕΜΑ 4° Ρομποτικό σκάφος κινείται σε ανοικτή θάλασσα με σταθερή ταχύτητα 10 ναυτικά μίλια την ώρα και κατεύθυνση Ανατολικά (90 μοίρες). Την χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στην θέση (0,0) στο χάρτη. Την ίδια χρονική στιγμή (t=0) στην θέση (30,10) ναυτικά μίλια στο χάρτη ξεκινά δεξαμενόπλοιο από την θέση ακινησίας με κατεύθυνση Νότια (180 μοίρες) με στόχο να πλευρίσει το ρομποτικό σκάφος, κρατώντας σταθερή παράλληλη πορεία με αυτό, έτσι ώστε να μεταφορτώσει τα κατάλληλα καύσιμα. Η διάρκεια μεταφοράς καυσίμου εν πλω από το ένα σκάφος στο άλλο διαρκεί 1 ώρα. Κατόπιν το δεξαμενόπλοιο πρέπει να γυρίσει στην θέση από την οποία ξεκίνησε. Θεωρείστε ότι δεν υπάρχει κανένα εμπόδιο ναυσιπλοΐας στη θάλασσα. Υπολογίστε στην θέση του δεξαμενόπλοιου (x(t),y(t)) σαν πολυωνυμικές συναρτήσεις χρόνου για τις τρεις διαφορετικές πορείες του: α. Προσέγγιση στο ρομποτικό σκάφος β. Μεταφόρτωση καυσίμου. γ. Επιστροφή στο λιμάνι. Μπορείτε να κάνετε ότι υποθέσεις χρειάζεστε για να επιλύσετε το πρόβλημα αρκεί να μην παραβιάζουν τα δεδομένα της εκφώνησης.
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, deepseek-flash), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2023-06¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1°¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Στην αρχική φωτογραφία IMG_20230615_095422.jpg απεικονίζεται καθαρά στην πάνω δεξιά γωνία το σχηματικό διάγραμμα του ρομποτικού βραχίονα:
Πρόκειται για έναν βραχίονα 6 βαθμών ελευθερίας με διαδοχή πρισματικών (P) και περιστροφικών (R) αρθρώσεων τύπου P-R-P-R-P-R:
1. Άρθρωση 1 (Πρισματική - P): Κύλινδρος/έμβολο στη βάση με κατακόρυφη μετατόπιση \(d_1^*\).
2. Άρθρωση 2 (Περιστροφική - R): Κυκλική άρθρωση με άξονα περιστροφής κάθετο στο επίπεδο του σχεδίου (γωνία \(\theta_2^*\)).
3. Άρθρωση 3 (Πρισματική - P): Πρισματικός ολισθητήρας κατά μήκος του κεκλιμένου στελέχους (μετατόπιση \(d_3^*\)).
4. Ενδιάμεσος σύνδεσμος: Σταθερή γωνιακή κάμψη (γωνία \(\beta\)) του στελέχους που οδηγεί στην άρθρωση 4.
5. Άρθρωση 4 (Περιστροφική - R): Κυκλική άρθρωση με άξονα περιστροφής κάθετο στο επίπεδο του σχεδίου (γωνία \(\theta_4^*\)).
6. Άρθρωση 5 (Πρισματική - P): Οριζόντιος πρισματικός ολισθητήρας με οριζόντια μετατόπιση \(d_5^*\).
7. Άρθρωση 6 (Περιστροφική - R): Κυκλική άρθρωση καρπού με άξονα κάθετο στο επίπεδο του σχεδίου (γωνία \(\theta_6^*\)).
8. Τελικός επενεργητής: Στέλεχος μήκους \(L_e\) που καταλήγει σε αρπάγη (gripper).
Επειδή δεν δίνονται αριθμητικές τιμές διαστάσεων, ορίζουμε συμβολικά τα μήκη των σταθερών τμημάτων: - \(L_0\): αρχικό ύψος βάσης μέχρι την είσοδο του πρώτου πρισματικού συνδέσμου. - \(L_{3a}, L_{3b}\): μήκη των δύο τμημάτων του άκαμπτου γωνιακού συνδέσμου μεταξύ των αρθρώσεων 3 και 4. - \(L_e\): μήκος από την άρθρωση 6 έως το σημείο αναφοράς της αρπάγης.
1. Κανόνες Τοποθέτησης Τοπικών Συστημάτων κατά Denavit-Hartenberg (D-H)¶
- Ο άξονας \(z_{i-1}\) τοποθετείται κατά μήκος του άξονα κίνησης της άρθρωσης \(i\):
- Αν η άρθρωση \(i\) είναι περιστροφική, ο \(z_{i-1}\) είναι ο άξονας περιστροφής.
- Αν η άρθρωση \(i\) είναι πρισματική, ο \(z_{i-1}\) είναι ο άξονας μετατόπισης.
- Ο άξονας \(x_i\) τοποθετείται κατά μήκος της κοινής καθέτου των αξόνων \(z_{i-1}\) και \(z_i\), με κατεύθυνση από τον \(z_{i-1}\) προς τον \(z_i\).
- Ο άξονας \(y_i\) συμπληρώνει το δεξιόστροφο καρτεσιανό σύστημα (\(y_i = z_i \times x_i\)).
2. Τοποθέτηση Τοπικών Συστημάτων Συντεταγμένων¶
- Σύστημα \(\{0\}\) (Βάση):
- Αρχή \(O_0\) στο σταθερό έδαφος.
- \(z_0\): κατακόρυφος άξονας προς τα πάνω (άξονας μετατόπισης της άρθρωσης 1).
- \(x_0\): οριζόντιος προς τα δεξιά.
- \(y_0 = z_0 \times x_0\) (προς το εσωτερικό/εξωτερικό της σελίδας).
- Σύστημα \(\{1\}\):
- Αρχή \(O_1\) στο κέντρο της περιστροφικής άρθρωσης 2.
- \(z_1\): κάθετος στο επίπεδο του σχεδίου (άξονας περιστροφής της άρθρωσης 2, προς τον παρατηρητή \(\odot\)).
- \(x_1\): κάθετος στον \(z_0\) και στον \(z_1\) (οριζόντιος).
- Σύστημα \(\{2\}\):
- Αρχή \(O_2\) στην άρθρωση 2.
- \(z_2\): κατά μήκος της κατεύθυνσης μετατόπισης της πρισματικής άρθρωσης 3 (κεκλιμένος άξονας).
- \(x_2\): κάθετος στους \(z_1, z_2\).
- Σύστημα \(\{3\}\):
- Αρχή \(O_3\) στο κέντρο της περιστροφικής άρθρωσης 4.
- \(z_3\): κάθετος στο επίπεδο του σχεδίου (άξονας περιστροφής της άρθρωσης 4, \(\odot\)).
- \(x_3\): κάθετος στους \(z_2, z_3\).
- Σύστημα \(\{4\}\):
- Αρχή \(O_4\) στην άρθρωση 4.
- \(z_4\): οριζόντιος προς τα δεξιά (άξονας μετατόπισης της πρισματικής άρθρωσης 5).
- \(x_4\): κατακόρυφος προς τα πάνω (ή κάθετος στους \(z_3, z_4\)).
- Σύστημα \(\{5\}\):
- Αρχή \(O_5\) στο κέντρο της περιστροφικής άρθρωσης 6.
- \(z_5\): κάθετος στο επίπεδο του σχεδίου (άξονας περιστροφής της άρθρωσης 6, \(\odot\)).
- \(x_5\): κατά μήκος του στελέχους του επενεργητή προς την αρπάγη.
- Σύστημα \(\{6\}\) (Τελικός Επενεργητής \(\{E\}\)):
- Αρχή \(O_6\) στο κέντρο των σιαγόνων της αρπάγης.
- \(z_6\): κατά μήκος της κατεύθυνσης προσέγγισης της αρπάγης.
- \(x_6\): παράλληλο στο άνοιγμα των σιαγόνων.
3. Πίνακας Χαρακτηριστικών Συνδέσμων (Πίνακας Παραμέτρων D-H)¶
Οι 4 παράμετροι Denavit-Hartenberg ορίζονται ως εξής: - \(\theta_i\): στροφή περί τον \(z_{i-1}\) από τον \(x_{i-1}\) στον \(x_i\) (μεταβλητή σε περιστροφικές αρθρώσεις R, \(\theta_i^*\)). - \(d_i\): μετατόπιση κατά μήκος του \(z_{i-1}\) από την αρχή \(O_{i-1}\) στην τομή με τον \(x_i\) (μεταβλητή σε πρισματικές αρθρώσεις P, \(d_i^*\)). - \(a_i\): απόσταση κατά μήκος του \(x_i\) μεταξύ \(z_{i-1}\) και \(z_i\). - \(\alpha_i\): στροφή περί τον \(x_i\) από τον \(z_{i-1}\) στον \(z_i\).
| Σύνδεσμος \(i\) | \(\theta_i\) | \(d_i\) | \(a_i\) | \(\alpha_i\) | Τύπος Άρθρωσης |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(0^\circ\) | \(d_1^*\) | \(0\) | \(+90^\circ\) | P (πρισματική) |
| 2 | \(\theta_2^*\) | \(0\) | \(0\) | \(-90^\circ\) | R (περιστροφική) |
| 3 | \(0^\circ\) | \(d_3^*\) | \(a_3\) | \(+90^\circ\) | P (πρισματική) |
| 4 | \(\theta_4^*\) | \(0\) | \(0\) | \(-90^\circ\) | R (περιστροφική) |
| 5 | \(0^\circ\) | \(d_5^*\) | \(0\) | \(+90^\circ\) | P (πρισματική) |
| 6 | \(\theta_6^*\) | \(0\) | \(L_e\) | \(0^\circ\) | R (περιστροφική) |
(Όπου \(*\) δηλώνει τη μεταβλητή της κάθε άρθρωσης, και \(a_3\) είναι η προβολή/μετατόπιση του γωνιακού συνδέσμου κατά μήκος της κοινής καθέτου).
Ο ομογενής μετασχηματισμός \(A_i\) από το σύστημα \(i-1\) στο σύστημα \(i\) υπολογίζεται από τον τυπικό τύπο: $$ A_i = \begin{pmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i\cos\alpha_i & \sin\theta_i\sin\alpha_i & a_i\cos\theta_i \ \sin\theta_i & \cos\theta_i\cos\alpha_i & -\cos\theta_i\sin\alpha_i & a_i\sin\theta_i \ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & d_i \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ και η συνολική κινηματική εξίσωση θέσης/προσανατολισμού της αρπάγης ως προς τη βάση είναι \(T_0^6 = A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6\).
Θέμα 2°¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Α. Έστω επίπεδος 3R βραχίονας με μήκη \(l_1,l_2,l_3\) και γωνίες \(\theta_1,\theta_2,\theta_3\), με \(\theta_{12}=\theta_1+\theta_2\) και \(\theta_{123}=\theta_1+\theta_2+\theta_3\). Για τη θέση του τελικού επενεργητή [ x=l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_{12}+l_3\cos\theta_{123},\qquad y=l_1\sin\theta_1+l_2\sin\theta_{12}+l_3\sin\theta_{123}, ] ο Ιακωβιανός θέσης είναι [ J= \begin{pmatrix} -l_1\sin\theta_1-l_2\sin\theta_{12}-l_3\sin\theta_{123} & -l_2\sin\theta_{12}-l_3\sin\theta_{123} & -l_3\sin\theta_{123}\[2mm] l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_{12}+l_3\cos\theta_{123} & l_2\cos\theta_{12}+l_3\cos\theta_{123} & l_3\cos\theta_{123} \end{pmatrix}. ] Αν ζητείται και ο προσανατολισμός του άκρου, προστίθεται τρίτη γραμμή \(\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}\).
Για \(\theta_1=30^\circ,\theta_2=60^\circ,\theta_3=-30^\circ\) έχουμε \(\theta_{12}=90^\circ,\theta_{123}=60^\circ\), άρα [ J= \begin{pmatrix} -\frac12l_1-l_2-\frac{\sqrt3}{2}l_3 & -l_2-\frac{\sqrt3}{2}l_3 & -\frac{\sqrt3}{2}l_3\[2mm] \frac{\sqrt3}{2}l_1+\frac12l_3 & \frac12l_3 & \frac12l_3 \end{pmatrix}. ] Εδώ οι σύνδεσμοι δεν είναι όλοι συνευθειακοί, οπότε για μη εκφυλισμένα μήκη ο πίνακας θέσης έχει τάξη \(2\) (δεν είναι ιδιάζουσα θέση).
Για \(\theta_1=60^\circ,\theta_2=0^\circ,\theta_3=0^\circ\) έχουμε \(\theta_{12}=\theta_{123}=60^\circ\), άρα [ J= \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt3}{2}(l_1+l_2+l_3) & -\frac{\sqrt3}{2}(l_2+l_3) & -\frac{\sqrt3}{2}l_3\[2mm] \frac12(l_1+l_2+l_3) & \frac12(l_2+l_3) & \frac12l_3 \end{pmatrix}. ] Εδώ οι γραμμές είναι γραμμικά εξαρτημένες, άρα η θέση είναι ιδιάζουσα. Όλοι οι σύνδεσμοι είναι ευθυγραμμισμένοι (πλήρης έκταση). Ο τελικός επενεργητής δεν μπορεί να αποκτήσει ταχύτητα κατά τη διεύθυνση του βραχίονα παρά μόνο κάθετα σε αυτόν· το άκρο βρίσκεται στο όριο του χώρου εργασίας.
Η μεταγραφή δεν περιέχει τα αριθμητικά μήκη \(l_1,l_2,l_3\) του σχήματος· αν δοθούν, αντικαθίστανται στις παραπάνω εκφράσεις.
Β. Ο Ιακωβιανός χρησιμοποιείται: 1. Στη διαφορική κινηματική, από \(\dot{x}=J(\theta)\dot{\theta}\) για υπολογισμό ταχύτητας του άκρου από τις ταχύτητες των αρθρώσεων. 2. Στην αντίστροφη διαφορική κινηματική, \(\dot{\theta}=J^{\#}\dot{x}\) (ψευδοαντίστροφος αν ο \(J\) δεν είναι τετραγωνικός ή είναι ιδιάζων), π.χ. σε επαναληπτική επίλυση αντίστροφης κινηματικής και έλεγχο τροχιάς. 3. Στη στατική/δυναμική, από \(\tau=J^T F\) για μετασχηματισμό δυνάμεων στο άκρο σε ροπές/δυνάμεις αρθρώσεων. 4. Στην ανάλυση ιδιαζουσών θέσεων, ευελιξίας (manipulability) και στον σχεδιασμό/έλεγχο κίνησης.
Θέμα 3°¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Έστω \(g(n)\) το πραγματικό κόστος από το \(a\) και \(h(n)\) η δοσμένη ευρετική. Ο αλγόριθμος A* επεκτείνει κόμβους με ελάχιστο \(f=g+h\).
Αρχικά: \(a(0+11=11)\). - Από \(a\): \(b\) έχει \(g=5\), \(f=5+8=13\)· \(c\) έχει \(g=4\), \(f=4+8=12\). - Επεκτείνεται το \(c\): \(d\) παίρνει \(g=4+8=12\), \(f=16\)· \(e\) παίρνει \(g=4+10=14\), \(f=16\). - Επεκτείνεται το \(b\): μέσω \(b\), το \(d\) βελτιώνεται σε \(g=5+5=10\), \(f=10+4=14\). - Επεκτείνεται το \(d\): το \(e\) βελτιώνεται σε \(g=10+2=12\), \(f=14\)· το \(z\) παίρνει \(g=10+6=16\), \(f=16\). - Επεκτείνεται το \(e\) χωρίς βελτίωση του \(z\), και τέλος επεκτείνεται το \(z\) με \(g(z)=16\).
- Η ελάχιστη πραγματική απόσταση είναι [ d_{\min}(a,z)=16. ]
- Μια βέλτιστη διαδρομή που επιστρέφει ο A* είναι [ a\to b\to d\to z ] με κόστος \(5+5+6=16\). Υπάρχει επίσης ισότιμη βέλτιστη διαδρομή [ a\to c\to b\to d\to z ] με κόστος \(4+1+5+6=16\).
Αν η ακμή \(b-d\) δεν είναι προσβάσιμη, αφαιρείται η σύνδεση \(b-d\). Τότε: - Από \(a\): \(b\) έχει \(g=5\)· \(c\) έχει \(g=4\). - Το \(c\) δίνει \(d\) με \(g=4+8=12\), \(f=16\), και \(e\) με \(g=14\), \(f=16\). - Το \(b\) δεν μπορεί πλέον να βελτιώσει το \(d\) μέσω \(b-d\). - Από το \(d\): \(z\) παίρνει \(g=12+6=18\). Ο A* επιστρέφει \(g(z)=18\).
Άρα, χωρίς την \(b-d\): 1. Η νέα ελάχιστη πραγματική απόσταση είναι [ d_{\min}(a,z)=18. ] 2. Η βέλτιστη διαδρομή είναι [ a\to c\to d\to z ] με κόστος \(4+8+6=18\).
Θέμα 4°¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Θεωρώ \(x\) προς Ανατολή και \(y\) προς Βορρά, άρα η ταχύτητα του ρομποτικού σκάφους είναι σταθερή [ (x_R(t),y_R(t))=(10t,0), ] με \(t\) σε ώρες και αποστάσεις σε ναυτικά μίλια. Θεωρώ τα σκάφη σημεία και συμπίπτουσες θέσεις κατά την προσέγγιση/παράλληλη πορεία· αν υπάρχει μικρή σταθερή εγκάρσια απόσταση, προστίθεται σταθερή μετατόπιση στο \(y\). Επειδή η εκφώνηση δεν ορίζει διάρκειες προσέγγισης και επιστροφής, επιλέγω χρόνο προσέγγισης \(3\) h, ώστε η σύζευξη να γίνει όταν το ρομποτικό σκάφος φθάσει στο \(x=30\), και χρόνο επιστροφής \(3\) h. Οι αρχικές/τελικές ταχύτητες στα άκρα όπου το σκάφος είναι ακίνητο λαμβάνονται μηδενικές, ενώ κατά τη μεταφόρτωση η ταχύτητα ταυτίζεται με την ταχύτητα του ρομποτικού σκάφους, \((10,0)\).
α. Προσέγγιση, \(0\le t\le 3\): [ x_1(t)=30-\frac{10}{3}t^2+\frac{10}{9}t^3, ] [ y_1(t)=10-\frac{10}{3}t^2+\frac{20}{27}t^3. ] Ελέγχοντας: \((x_1(0),y_1(0))=(30,10)\), \((x_1'(0),y_1'(0))=(0,0)\)· επίσης \((x_1(3),y_1(3))=(30,0)\) και \((x_1'(3),y_1'(3))=(10,0)\).
β. Μεταφόρτωση καυσίμου, \(3\le t\le 4\), διάρκεια \(1\) h: [ x_2(t)=10t,\qquad y_2(t)=0. ] Άρα στο διάστημα αυτό το δεξαμενόπλοιο κινείται παράλληλα και με ίδια ταχύτητα με το ρομποτικό σκάφος.
γ. Επιστροφή στο λιμάνι, \(4\le t\le 7\), θέτοντας \(s=t-4\): [ x_3(t)=40+10s-10s^2+\frac{50}{27}s^3, ] [ y_3(t)=\frac{10}{3}s^2-\frac{20}{27}s^3, \qquad s=t-4. ] Δηλαδή [ x_3(t)=40+10(t-4)-10(t-4)^2+\frac{50}{27}(t-4)^3, ] [ y_3(t)=\frac{10}{3}(t-4)^2-\frac{20}{27}(t-4)^3. ] Τότε στο \(t=4\): θέση \((40,0)\) και ταχύτητα \((10,0)\), ενώ στο \(t=7\): θέση \((30,10)\) και ταχύτητα \((0,0)\). Άρα το δεξαμενόπλοιο επιστρέφει στη θέση εκκίνησης και σταματά.