Ρομποτική — Ιούνιος 2022¶
Μεταγραφή από δύο σελίδες: received_279215734641344.jpg (σελίδα 1/2) και received_1217226095651099.jpg (σελίδα 2/2).
received_279215734641344.jpg¶
ΤΜΗΜΑ Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών ΤΜΗΜΑ Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ
Εξετάσεις Ιούνιος 2022
ΘΕΜΑ 1° (3 μονάδες) Να προσδιορισθεί η θέση των τοπικών συστημάτων συντεταγμένων του κάθε συνδέσμου και να βρεθούν τα χαρακτηριστικά των συνδέσμων (πίνακας D-H) του βραχίονα που φαίνεται στο Σχ.1. Στο σχήμα που θα φτιάξετε να φαίνεται ο ορισμός τοπικών συστημάτων και των χαρακτηριστικών των συνδέσμων.
[Σχήμα: Σχ 1. Ρομποτικός βραχίονας με συνδέσμους, αρθρώσεις και τελικό επενεργητή]
ΘΕΜΑ 2° (2 μονάδες) Το σύστημα συντεταγμένων του άκρου εργασίας \(\{E\}\) ως προς το σύστημα της βάσης \(\{B\}\) δίνεται από τον μετασχηματισμό: $\(^B M_E = \begin{bmatrix} 0.866 & -0.50 & 0.0 & 5.0 \\ 0.50 & 0.866 & 0.0 & -2.0 \\ 0.0 & 0.0 & 1.0 & 3.0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)$ Το σύστημα συντεταγμένων \(\{K\}\) ενός κουτιού που βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι είναι στραμμένο κατά γωνία \(30^\circ\) ως προς τον άξονα Z του συστήματος του τραπεζιού \(\{T\}\) και μετατοπισμένο 2 και 3 μονάδες κατά
received_1217226095651099.jpg¶
μήκος των αξόνων X και Y αντίστοιχα. Το σύστημα του τραπεζιού \(\{T\}\) είναι μετατοπισμένο ως προς το σύστημα της βάσης 4, 5 και -2 μονάδες κατά τους άξονες X, Y και Z αντίστοιχα. Κάνετε ένα αξονομετρικό ποιοτικό σχέδιο που να δείχνει την σχετική θέση των συστημάτων \(\{B\}\), \(\{E\}\), \(\{T\}\) και \(\{K\}\). Υπολογίστε τον μετασχηματισμό που προσδιορίζει τη θέση του κουτιού \(\{K\}\) ως προς το σύστημα του άκρου εργασίας \(\{E\}\).
ΘΕΜΑ 3° (2 μονάδες) Ρομποτικό όχημα βρίσκεται στο σημείο A(0,0). Στον χώρο δεν υπάρχουν εμπόδια και θέλετε να σχεδιάσετε την επιθυμητή κίνησή του έτσι ώστε να περάσει από τα σημεία B(4,1), Γ(1,5), Δ(8,4) T(7,9) και να γυρίσει στο σημείο A διανύοντας την μικρότερη συνολική απόσταση. Χρησιμοποιείστε τον αλγόριθμο A* για να βρείτε την χρονική ακολουθία των σημείων έτσι ώστε το ρομποτικό όχημα να διανύσει την ελάχιστη απόσταση.
ΘΕΜΑ 4° (3 μονάδες) Ρομποτικό μη-ολονομικό όχημα βρίσκεται στο σημείο A(0,0) με αρχική κατεύθυνση 270 μοιρών. Στον χώρο δεν υπάρχουν εμπόδια και θέλετε να υπολογίσετε την επιθυμητή τροχιά (x(t),y(t)) που θα πρέπει να πραγματοποιήσει το ρομποτικό όχημα αν θέλετε να ξεκινήσει από το σημείο A (αρχική ταχύτητα μηδέν) να μεταβεί στο T(7,9) και να επιστρέψει στο A με κατεύθυνση τερματισμού 90 μοιρών και τελική ταχύτητα μηδέν. Επιθυμητός συνολικός χρόνος διαδρομής 30 δευτερόλεπτα. 1. Υπολογίστε τις x(t), y(t). 2. Υπολογίστε την ταχύτητα του οχήματος όταν αυτό περνάει από το σημείο T και την τιμή της επιτάχυνσής του. 3. Πότε και σε ποια θέση θα έχει αναπτύξει την μέγιστη ταχύτητά του; 4. Πότε και σε ποια θέση το όχημα θα έχει τον μεγαλύτερο κίνδυνο ολίσθησης;
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, deepseek-flash, gemini-3.7-flash), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2022-06¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1°¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Προσδιορισμός τοπικών συστημάτων συντεταγμένων (σύμβαση Denavit-Hartenberg) και πίνακας παραμέτρων D-H:
Στο πρωτότυπο φύλλο θεμάτων (received_279215734641344.jpg, Σχ. 1) απεικονίζεται το πλήρες κινηματικό διάγραμμα του βραχίονα, χωρίς όμως αριθμητικές διαστάσεις (μήκη/αποστάσεις), οπότε τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά ορίζονται συμβολικά.
1. Κινηματική Αλυσίδα και Τύποι Αρθρώσεων¶
Από τη βάση προς τον τελικό επενεργητή: - Βάση (Σύνδεσμος 0): Σταθερή έδραση στο έδαφος. - Άρθρωση 1: Περιστροφική άρθρωση βάσης (ορθογώνιο με διαιρετική γραμμή) με κατακόρυφο άξονα περιστροφής \(Z_0\) (περιστροφή κορμού/yaw, γωνία \(\theta_1^*\)). - Άρθρωση 2: Πρισματική άρθρωση (έμβολο/κύλινδρος) επί της κατακόρυφης στήλης με άξονα ολίσθησης \(Z_1\) συνευθειακό/παράλληλο με τον \(Z_0\) (κατακόρυφη ανύψωση \(d_2^*\)). - Άρθρωση 3: Περιστροφική άρθρωση (κυκλικός σύνδεσμος/άρθρωση πείρου) στην κορυφή της στήλης, με οριζόντιο άξονα περιστροφής \(Z_2\) κάθετο στο επίπεδο του σχεδίου (ανύψωση βραχίονα/pitch, γωνία \(\theta_3^*\)). - Άρθρωση 4: Επί του κεκλιμένου συνδέσμου, άρθρωση συστροφής/roll (ορθογώνιο) με άξονα \(Z_3\) κατά μήκος του διαμήκους άξονα του συνδέσμου (γωνία \(\theta_4^*\)) (ή εναλλακτικά πρισματική τηλεσκοπικής επιμήκυνσης \(d_4^*\)). - Άρθρωση 5: Περιστροφική άρθρωση (κυκλικός σύνδεσμος) με άξονα \(Z_4\) κάθετο στο επίπεδο του βραχίονα (παράλληλο στον \(Z_2\), γωνία \(\theta_5^*\)). - Άρθρωση 6: Μετά από άκαμπτο γωνιακό σύνδεσμο (elbow), άρθρωση περιστροφής καρπού/roll (ορθογώνιο) με άξονα \(Z_5\) κατά μήκος του τελικού στελέχους (γωνία \(\theta_6^*\)). - Τελικός Επενεργητής: Δίχαλο αρπάγης (gripper).
2. Τοποθέτηση Τοπικών Συστημάτων Συντεταγμένων (D-H)¶
Σύμφωνα με τους κανόνες Denavit-Hartenberg: 1. Άξονας \(Z_i\): Τοποθετείται κατά μήκος του άξονα κίνησης της άρθρωσης \(i+1\). - \(Z_0\): Κατακόρυφος άξονας περιστροφής της άρθρωσης 1. - \(Z_1\): Κατακόρυφος άξονας μετάθεσης της πρισματικής άρθρωσης 2 (συνευθειακός με \(Z_0\)). - \(Z_2\): Οριζόντιος άξονας της άρθρωσης 3 (κάθετος στο επίπεδο της σελίδας \(\odot\)). - \(Z_3\): Άξονας κατά μήκος του κεκλιμένου συνδέσμου (άρθρωση 4). - \(Z_4\): Οριζόντιος άξονας της άρθρωσης 5 (κάθετος στο επίπεδο της σελίδας \(\odot\)). - \(Z_5\): Άξονας κατά μήκος του τελικού συνδέσμου (προσέγγιση αρπάγης). 2. Άξονας \(X_i\): Τοποθετείται κατά μήκος της κοινής καθέτου των αξόνων \(Z_{i-1}\) και \(Z_i\) (\(X_i = \pm Z_{i-1} \times Z_i\)). Αν \(Z_{i-1} \parallel Z_i\), το \(X_i\) επιλέγεται κάθετο σε αυτούς προς την κατεύθυνση της επόμενης άρθρωσης. 3. Άξονας \(Y_i\): Συμπληρώνει το δεξιόστροφο σύστημα: \(Y_i = Z_i \times X_i\).
3. Πίνακας Παραμέτρων D-H \((\theta_i, d_i, a_i, \alpha_i)\)¶
Έστω \(d_1\) το σταθερό ύψος της βάσης μέχρι την πρισματική άρθρωση, \(d_2^*\) η μεταβλητή κατακόρυφη μετατόπιση, \(a_3\) το μήκος του κεκλιμένου συνδέσμου, και \(a_5, d_6\) οι αποστάσεις του καρπού και της αρπάγης:
| Σύνδεσμος \(i\) | Γωνία \(\theta_i\) | Μετατόπιση \(d_i\) | Μήκος \(a_i\) | Στρέψη \(\alpha_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\theta_1^*\) | \(d_1\) | 0 | \(0^\circ\) |
| 2 | \(0^\circ\) | \(d_2^*\) | 0 | \(90^\circ\) |
| 3 | \(\theta_3^*\) | 0 | \(a_3\) | \(-90^\circ\) (ή \(90^\circ\)) |
| 4 | \(\theta_4^*\) | \(d_4\) | 0 | \(90^\circ\) |
| 5 | \(\theta_5^*\) | 0 | \(a_5\) | \(-90^\circ\) (ή \(0^\circ\)) |
| 6 | \(\theta_6^*\) | \(d_6\) | 0 | \(0^\circ\) |
(Ο αστερίσκος \(*\) υποδηλώνει τη μεταβλητή άρθρωσης: \(\theta_i^*\) για περιστροφικές και \(d_i^*\) για πρισματικές).
Θέμα 2°¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Θεωρώ το προφανές μεταγραφικό σφάλμα στην τελευταία γραμμή του \(^B M_E\) ότι είναι \([0\;0\;0\;1]\). Έχουμε [ ^B M_E=\begin{bmatrix} c&-s&0&5\ s&c&0&-2\ 0&0&1&3\ 0&0&0&1 \end{bmatrix},\quad c=\frac{\sqrt3}{2},\ s=\frac12, ] άρα το \(\{E\}\) έχει στροφή \(+30^\circ\) περί τον \(Z\) ως προς \(\{B\}\).
Το τραπέζι \(\{T\}\) είναι μετατοπισμένο κατά \((4,5,-2)\) χωρίς στροφή: [ ^B M_T=\begin{bmatrix} 1&0&0&4\ 0&1&0&5\ 0&0&1&-2\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}. ] Το κουτί \(\{K\}\) ως προς το τραπέζι έχει στροφή \(30^\circ\) περί \(Z\) και μετατόπιση \((2,3,0)\): [ ^T M_K= \begin{bmatrix} c&-s&0&2\ s&c&0&3\ 0&0&1&0\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}. ] Άρα [ ^B M_K={}^B M_T\,{}^T M_K = \begin{bmatrix} c&-s&0&6\ s&c&0&8\ 0&0&1&-2\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}. ] Η ζητούμενη θέση του κουτιού ως προς το άκρο εργασίας είναι [ ^E M_K=\left({}^B M_E\right)^{-1}{}^B M_K. ] Επειδή τα \(\{E\}\) και \(\{K\}\) έχουν την ίδια στροφή, η σχετική στροφή είναι μονάδα. Μετατοπίζοντας στο σύστημα \(\{E\}\): [ p_{K/E}=R_E^T(p_K-p_E), ] όπου [ p_K-p_E=(6-5,\;8-(-2),\;-2-3)=(1,10,-5), ] και [ R_E^T= \begin{bmatrix} c&s&0\ -s&c&0\ 0&0&1 \end{bmatrix}. ] Άρα [ p_{K/E}= \begin{bmatrix} c+s\,10\ -s+c\,10\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5+\frac{\sqrt3}{2}\[2mm] -\frac12+5\sqrt3\[2mm] -5 \end{bmatrix}. ] Επομένως [ ^E M_K= \begin{bmatrix} 1&0&0&\dfrac{10+\sqrt3}{2}\[2mm] 0&1&0&\dfrac{10\sqrt3-1}{2}\[2mm] 0&0&1&-5\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} 1&0&0&5.866\ 0&1&0&8.160\ 0&0&1&-5\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}. ] Ποιοτικά: το \(\{B\}\) είναι στο \((0,0,0)\)· το \(\{T\}\) στο \((4,5,-2)\) με άξονες παράλληλους στο \(\{B\}\)· το \(\{K\}\) στο \((6,8,-2)\) με στροφή \(30^\circ\) περί \(Z\)· το \(\{E\}\) στο \((5,-2,3)\) με την ίδια στροφή \(30^\circ\) περί \(Z\) όπως το \(\{K\}\).
Θέμα 3°¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Οι αποστάσεις είναι Ευκλείδειες. Με A* στο γράφο των 4 ενδιάμεσων σημείων (και επιστροφής στο A), η ελάχιστη συνολική διαδρομή βρίσκεται για την ακολουθία [ A\to B\to \Delta\to T\to \Gamma\to A, ] ή ισοδύναμα με την αντίστροφη [ A\to \Gamma\to T\to \Delta\to B\to A. ] Το συνολικό μήκος είναι [ d_{\min}=AB+B\Delta+\Delta T+T\Gamma+\Gamma A. ] Υπολογίζοντας: [ AB=\sqrt{(4-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{17}, ] [ B\Delta=\sqrt{(8-4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=5, ] [ \Delta T=\sqrt{(7-8)^2+(9-4)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}, ] [ T\Gamma=\sqrt{(1-7)^2+(5-9)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}, ] [ \Gamma A=\sqrt{(0-1)^2+(0-5)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}. ] Άρα [ d_{\min}=\sqrt{17}+5+2\sqrt{26}+2\sqrt{13} \approx 4.1231+5+10.1980+7.2111 =26.5322. ] Επομένως η χρονική/χωρική ακολουθία είναι: [ \boxed{A(0,0)\to B(4,1)\to \Delta(8,4)\to T(7,9)\to \Gamma(1,5)\to A(0,0)} ] με ελάχιστη συνολική απόσταση \(\approx 26.532\) μονάδες. Η αντίστροφη φορά έχει το ίδιο ελάχιστο μήκος.
Θέμα 4°¶
Αξιοπιστία: δεν λύθηκε
Δεν λύθηκε: από την εκφώνηση δεν ορίζεται μοναδική τροχιά \((x(t),y(t))\). Δίνονται μόνο οριακές θέσεις, μηδενικές ταχύτητες, αρχική/τελική κατεύθυνση και ένα ενδιάμεσο σημείο \(T\), χωρίς μέθοδο παρεμβολής ή κριτήριο βελτιστοποίησης· ακόμη και με τις κατευθύνσεις, επειδή η ταχύτητα στα άκρα είναι μηδέν, υπάρχουν άπειρες τροχιές που ικανοποιούν τις συνθήκες. Απαιτείται πρόσθετη παραδοχή για την οικογένεια τροχιών (π.χ. πολυωνυμική παρεμβολή ορισμένου βαθμού, spline, χρονικός νόμος κ.λπ.).