Ρομποτική — Σεπτέμβριος 2018¶
Μεταγραφή από τη φωτογραφία received_795165335307305.jpg (τυπωμένο θέμα, μία σελίδα). Σημείωση: η φωτογραφία περιέχει χειρόγραφες απαντήσεις φοιτητή.
received_795165335307305.jpg¶
ΤΜΗΜΑ Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ
Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2018
ΘΕΜΑ 1° (2 μονάδες) Να προσδιορισθεί η θέση των τοπικών συστημάτων συντεταγμένων του κάθε συνδέσμου και να βρεθούν τα χαρακτηριστικά των συνδέσμων. Στο σχήμα να φαίνεται ορισμός τοπικών συστημάτων και των χαρακτηριστικών των συνδέσμων.
[Σχήμα: Ρομποτικός βραχίονας με συνδέσμους, αρθρώσεις και τελικό επενεργητή]
ΘΕΜΑ 2° (2 μονάδες) Το σύστημα συντεταγμένων της κάμερας \(\{K\}\) έχει στραφεί κατά 30 μοίρες ως προς τον άξονα των Y του \(\{0\}\) και η αρχή του είναι στο σημείο [0 1 -2]. Το εστιακό μήκος της κάμερας είναι 0.02. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου [2 2 1] πάνω στο επίπεδο της εικόνας. Υποθέστε ότι όλα τα μεγέθη είναι σε μέτρα και η κάμερα έχει 1280X1024 εικονοστοιχεία. Το μέγεθος κάθε εικονοστοιχείου είναι \(10^{-4}\text{X}10^{-4}\text{ mXm}\) και το σημείο τομής του οπτικού άξονα με το επίπεδο της εικόνας είναι στο (640, 512). Να βρεθούν οι συντεταγμένες του δοθέντος σημείου στο διακριτοποιημένο επίπεδο της εικόνας.
ΘΕΜΑ 3° (3 μονάδες) Α) Να αποδειχθεί ότι ισχύει η Εξ. (3.45) με βάση την (3.21) και την αρχή των δυνατών έργων. Β) Βρείτε τις διαμορφώσεις ενικότητας του επίπεδου βραχίονα δύο βαθμών ελευθερίας. Επίσης να υπολογίσετε το μέτρο επιδεξιότητας για τα σημεία του άκρου y=1 και y=2 πάνω στον άξονα των Y. Να βρεθεί για ποιες διαμορφώσεις του βραχίονα το μέτρο επιδεξιότητας γίνεται μέγιστο. Υποθέστε ότι \(l_1=l_2=1\).
ΘΕΜΑ 4° (3 μονάδες) Το άκρο εργασίας πρέπει να κινηθεί πάνω σε ευθεία γραμμή από το θέση/προσανατολισμό \(M_A\) στον \(M_B\), στρεφόμενο με γραμμικά μεταβαλλόμενη γωνιακή επιτάχυνση περί τον άξονα \(\mathbf{n}\) κατά μια γωνία \(\theta\), ενώ η αρχική και τελική γωνιακή ταχύτητα να είναι μηδενικές σε χρονικό διάστημα ίσο με 3 δευτερόλεπτα. Αν
βρείτε το διάνυσμα \(\mathbf{n}\) και την γωνία \(\theta\). Επίσης τον ενδιάμεσο προσανατολισμό και τη γωνιακή ταχύτητα στο ένα τρίτο του χρόνου για την κίνηση από το \(M_A\) στο \(M_B\).
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, deepseek-flash, gemini-3.7-flash), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2018-09¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα 1¶
Αξιοπιστία: λύθηκε με βάση τις φωτογραφίες του θέματος· μία λύση AI
Προσδιορισμός τοπικών συστημάτων συντεταγμένων (σύμβαση Denavit-Hartenberg) και πίνακας παραμέτρων D-H:
Από το σχήμα του βραχίονα στην εικόνα received_795165335307305.jpg:
- Ο βραχίονας διαθέτει σταθερή βάση και 3 αρθρώσεις σε διαδοχικούς ορθογώνιους συνδέσμους:
1. Άρθρωση 1: Περιστροφική με κατακόρυφο άξονα \(Z_0\) στη βάση.
2. Άρθρωση 2: Περιστροφική με οριζόντιο άξονα \(Z_1\) (κάθετο στον \(Z_0\)).
3. Άρθρωση 3: Περιστροφική με οριζόντιο άξονα \(Z_2\) (παράλληλο στον \(Z_1\), δομή τύπου anthropomorphic/elbow).
4. Τελικός επενεργητής / αρπάγη με άξονα εργαλείου \(Z_3\).
Τοποθέτηση συστημάτων συντεταγμένων D-H: - Σύστημα \(\{0\}\) (Βάση): Αρχή στο σημείο της βάσης, \(Z_0\) κατακόρυφος, \(X_0\) οριζόντιος (αυθαίρετα επιλεγμένος). - Σύστημα \(\{1\}\): Αρχή στην τομή του \(Z_0\) με τον άξονα της άρθρωσης 2 (ή στην άρθρωση 2). Ο άξονας \(Z_1\) κατά μήκος του άξονα της 2ης άρθρωσης (οριζόντιος), \(X_1 = \pm (Z_0 \times Z_1)\) κατά μήκος της κοινής καθέτου (οριζόντιος κατά μήκος του συνδέσμου 1). - Σύστημα \(\{2\}\): Αρχή στην 3η άρθρωση. Ο άξονας \(Z_2\) παράλληλος στον \(Z_1\). Ο άξονας \(X_2\) κατά μήκος του συνδέσμου 2 (από άρθρωση 2 προς άρθρωση 3). - Σύστημα \(\{3\}\) (Τελικός επενεργητής): Αρχή στο κέντρο του τελικού επενεργητή, \(Z_3\) κατά την κατεύθυνση προσέγγισης (approach), \(X_3\) παράλληλος στον \(X_2\).
Πίνακας Παραμέτρων D-H \((\theta_i, d_i, a_i, \alpha_i)\):
| Σύνδεσμος \(i\) | \(\theta_i\) | \(d_i\) | \(a_i\) | \(\alpha_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\theta_1^*\) | \(d_1\) | \(a_1\) | \(90^\circ\) |
| 2 | \(\theta_2^*\) | 0 | \(a_2\) | \(0^\circ\) |
| 3 | \(\theta_3^*\) | 0 | \(a_3\) | \(0^\circ\) |
(Όπου \(\theta_i^*\) συμβολίζει τη γωνία περιστροφής της άρθρωσης \(i\), \(d_1\) είναι το ύψος της βάσης, και \(a_1, a_2, a_3\) τα μήκη των αντίστοιχων συνδέσμων).
Θέμα 2¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Με σύμβαση δεξιόστροφης στροφής περί τον άξονα \(Y\) του \(\{0\}\), ο προσανατολισμός της κάμερας ως προς το \(\{0\}\) είναι [ R_{0K}=R_y(30^\circ)= \begin{bmatrix} \cos30^\circ&0&\sin30^\circ\ 0&1&0\ -\sin30^\circ&0&\cos30^\circ \end{bmatrix}. ] Το σημείο στο σύστημα της κάμερας είναι [ P_K=R_{0K}^{T}(P_0-o_K) =R_y(30^\circ)^T \begin{bmatrix} 2\2\1 \end{bmatrix} - R_y(30^\circ)^T \begin{bmatrix} 0\1\-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.23205\1\3.59808 \end{bmatrix}. ] Άρα \(X=0.23205\), \(Y=1\), \(Z=3.59808\). Η προβολή στο επίπεδο εικόνας δίνει [ x=\frac{fX}{Z}=0.0012899\text{ m},\qquad y=\frac{fY}{Z}=0.0055585\text{ m}. ] Με μέγεθος εικονοστοιχείου \(10^{-4}\) m και κέντρο \((640,512)\): [ u=640+\frac{x}{10^{-4}}\approx 652.90,\qquad v=512+\frac{y}{10^{-4}}\approx 567.59. ] Άρα περίπου \((u,v)\approx(653,568)\) εικονοστοιχεία.
Θέμα 3¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Α) Υποθέτω, όπως συνηθίζεται, ότι η (3.21) είναι η σχέση διαφορικής κινηματικής [ \delta x=J(q)\,\delta q ] και η (3.45) είναι η σχέση δυνάμεων/ροπών [ \tau=J^T F. ] Από την αρχή των δυνατών έργων, το έργο της δύναμης/ροπής \(F\) στο άκρο είναι [ \delta W=F^T\delta x=F^T J\,\delta q. ] Το αντίστοιχο έργο στις αρθρώσεις είναι \(\delta W=\tau^T\delta q\). Εξισώνοντας για αυθαίρετο \(\delta q\), [ F^T J\,\delta q=\tau^T\delta q\quad\Rightarrow\quad J^TF=\tau, ] που είναι η ζητούμενη σχέση.
Β) Για επίπεδο βραχίονα δύο βαθμών ελευθερίας με \(l_1=l_2=1\), [ x=\cos\theta_1+\cos(\theta_1+\theta_2),\qquad y=\sin\theta_1+\sin(\theta_1+\theta_2). ] Ο Ιακωβιανός έχει ορίζουσα [ \det J=l_1l_2\sin\theta_2=\sin\theta_2, ] άρα το μέτρο επιδεξιότητας είναι [ \mu=|\det J|=|\sin\theta_2|. ] Οι διαμορφώσεις ενικότητας είναι [ \theta_2=0\ \text{ή}\ \theta_2=\pi \quad(\bmod 2\pi), ] δηλαδή τεντωμένος ή διπλωμένος βραχίονας.
Για σημεία πάνω στον άξονα \(Y\), \(x=0\). Ισχύει [ x^2+y^2=l_1^2+l_2^2+2l_1l_2\cos\theta_2 =2+2\cos\theta_2. ] Για \(y=1\): [ 1=2+2\cos\theta_2\Rightarrow \cos\theta_2=-\frac12 \Rightarrow \theta_2=\pm\frac{2\pi}{3}, ] και [ \mu=\left|\sin\left(\pm\frac{2\pi}{3}\right)\right|=\frac{\sqrt3}{2}. ] Οι αντίστοιχες διαμορφώσεις είναι \((\theta_1,\theta_2)=(\pi/6,2\pi/3)\) ή \((5\pi/6,-2\pi/3)\).
Για \(y=2\): [ 4=2+2\cos\theta_2\Rightarrow \cos\theta_2=1 \Rightarrow \theta_2=0, ] άρα [ \mu=0 ] (οριακή/ενική διαμόρφωση με \(\theta_1=\pi/2\)).
Το μέγιστο \(\mu=1\) επιτυγχάνεται όταν [ |\sin\theta_2|=1\Rightarrow \theta_2=\pm\frac{\pi}{2}\quad(\bmod \pi). ] Αν περιοριστούμε σε άκρο πάνω στον άξονα \(Y\), τότε για \(\theta_2=\pi/2\) είναι \(\theta_1=\pi/4\) και \(y=\sqrt2\), ενώ για \(\theta_2=-\pi/2\) είναι \(\theta_1=3\pi/4\) και \(y=\sqrt2\) (με τις αντίστοιχες λύσεις για \(y=-\sqrt2\)).
Θέμα 4¶
Αξιοπιστία: δεν λύθηκε
Δεν λύθηκε: ο πίνακας προσανατολισμού του \(M_A\) είναι [ R_A= \begin{bmatrix} -1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1 \end{bmatrix}, ] με \(\det R_A=-1\), άρα δεν είναι πίνακας στροφής. Επομένως δεν ορίζεται φυσικά η ζητούμενη περιστροφή περί άξονα \(\mathbf n\) από το \(M_A\) στο \(M_B\) χωρίς διόρθωση των δεδομένων.