Εξόρυξη Δεδομένων και Μηχανική Μάθηση — Ιούνιος 2024¶
Μεταγραφή από δύο στιγμιότυπα της εξέτασης του 2024 (Screenshot_2024-06-09 και Screenshot_2024-06-12).
Screenshot_2024-06-09_at_1.08.18_PM.png¶
[Σχήμα/πίνακας κομμένος στο πάνω μέρος: ορατή μόνο η τελευταία γραμμή με τιμές 0.2, 0.9, 0.3, 0.1, 1.00. Η κεφαλίδα και η αρχή του πίνακα δεν φαίνονται στο στιγμιότυπο.]
β. Ο αλγόριθμος k-means παράγει συστάδες που εκ φύσεως έχουν συμπαγές σχήμα. Επιδείξτε, πως ο αλγόριθμος μπορεί να τροποποιηθεί ώστε να παράγει και συστάδες με ελλειπτικό σχήμα.
Screenshot_2024-06-12_at_1.24.48_AM.png¶
γ) Δώστε τον μαθηματικό τύπο των τεχνικών για τον υπολογισμό της \(\mathrm{dis}(A,B)\) όπου \(A\) και \(B\) είναι δύο μη σημειακά αντικείμενα.
Λύσεις (⚪ AI, μη επαληθευμένο)
Κατάσταση: ⚪ AI, μη επαληθευμένο Πηγή: λύσεις AI (antigravity-gemini, deepseek-flash, gemini-3.7-flash), ανεξάρτητη επανάληψη και αντιπαραβολή· καμία δεν έχει ελεγχθεί από άνθρωπο
Προσοχή
Λύση από AI — ελέγξτε την· δεν έχει επαληθευτεί από άνθρωπο. Η ένδειξη «δύο λύσεις συμφωνούν» δεν σημαίνει ότι η απάντηση είναι σωστή.
AI λύσεις — 2024-06¶
Οι λύσεις γράφτηκαν από μοντέλα AI και δεν έχουν ελεγχθεί από άνθρωπο. Η αρίθμηση ακολουθεί το αρχείο θεμάτων.
Θέμα Screenshot_2024-06-09_at_1.08.18_PM.png — β¶
Αξιοπιστία: δύο ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν · εμπιστοσύνη λύτη: υψηλή
Ο κλασικός \(k\)-means ελαχιστοποιεί το [ \sum_{k}\sum_{x\in C_k}\lVert x-\mu_k\rVert^2 ] με κοινή Ευκλείδεια μετρική, γι' αυτό παράγει κατά κανόνα σφαιρικές/ισότροπες συστάδες. Για ελλειπτικές συστάδες, δίνουμε σε κάθε συστάδα \(k\) δικό της πίνακα συνδιακύμανσης \(\Sigma_k\) και χρησιμοποιούμε απόσταση Mahalanobis: [ d_k^2(x)=(x-\mu_k)^T\Sigma_k^{-1}(x-\mu_k). ] Η ανάθεση γίνεται με [ c(x)=\arg\min_k d_k^2(x), ] ή, στην πιθανοτική εκδοχή GMM/EM, με [ c(x)=\arg\min_k\left(d_k^2(x)+\ln\det\Sigma_k-2\ln\pi_k\right). ] Στη συνέχεια ενημερώνονται ανά συστάδα: [ \mu_k=\frac1{|C_k|}\sum_{x\in C_k}x, \qquad \Sigma_k=\frac1{|C_k|}\sum_{x\in C_k}(x-\mu_k)(x-\mu_k)^T. ] Στην πράξη προσθέτουμε κανονικοποίηση, π.χ. \(\Sigma_k+\lambda I\), για να αποφεύγονται εκφυλισμένοι/ιδιάζοντες πίνακες. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι σύγκλιση. Αυτή η τροποποίηση αντιστοιχεί σε hard EM για μείγμα Gaussians με πλήρεις πίνακες συνδιακύμανσης· η soft εκδοχή GMM/EM παράγει ακόμη γενικότερες ελλειπτικές συστάδες, με διαφορετικό προσανατολισμό και άξονες ανά συστάδα.
Θέμα Screenshot_2024-06-12_at_1.24.48_AM.png — γ¶
Αξιοπιστία: 2 από 3 ανεξάρτητες λύσεις συμφωνούν (η άλλη διαφωνούσε) · εμπιστοσύνη λύτη: μέτρια
Παραδοχή: \(A,B\) είναι μη σημειακά αντικείμενα με την έννοια συνόλων σημείων/συστάδων, όπως στη συσταδοποίηση. Έστω \(d(a,b)\) η απόσταση δύο σημείων. Οι βασικές τεχνικές είναι:
- Single linkage (ελάχιστη απόσταση): [ \mathrm{dis}{\min}(A,B)=\min d(a,b). ]
- Complete linkage (μέγιστη απόσταση): [ \mathrm{dis}{\max}(A,B)=\max d(a,b). ]
- Average linkage (μέση απόσταση): [ \mathrm{dis}{\mathrm{avg}}(A,B)= \frac{1}{|A|\,|B|}\sum d(a,b). ]}\sum_{b\in B
- Centroid distance: [ \mathrm{dis}{\mathrm{cent}}(A,B)=\lVert \mu_A-\mu_B\rVert, \quad \mu_A=\frac1{|A|}\suma. ]
- Ward distance (αύξηση του SSE κατά τη συνένωση): [ \mathrm{dis}_{\mathrm{Ward}}(A,B)= \frac{|A|\,|B|}{|A|+|B|}\lVert \mu_A-\mu_B\rVert^2. ]
- Medoid/representative distance: [ \mathrm{dis}(A,B)=d(m_A,m_B), ] όπου \(m_A,m_B\) είναι αντιπροσωπευτικά σημεία/medoids των \(A,B\).
Αν τα \(A,B\) είναι αυθαίρετα σύνολα σημείων και όχι συστάδες, συχνή επιλογή είναι η απόσταση Hausdorff: [ \mathrm{dis}{H}(A,B)= \max\left{ \supd(a,b),\; \sup_{b\in B}\inf_{a\in A}d(a,b) \right}. ] Αν πρόκειται για σύνολα χαρακτηριστικών/διακριτά αντικείμενα, αντίστοιχα χρησιμοποιείται π.χ. η απόσταση Jaccard: [ \mathrm{dis}_{J}(A,B)=1-\frac{|A\cap B|}{|A\cup B|}. ]}\inf_{b\in B